Математика, информатика, физика. Методические рекомендации (стр. 1 )

Печатается по решению

научно-методического совета

КГБОУ ДО ХКЦРТДиЮ

протокол № 4 от 01.01.2001  г.

МИФ: математика, информатика, физика. Методические рекомендации / Сост. . – Хабаровск: КГБОУ ДО ХКЦРТДиЮ, 2017. – 37 с.

Ответственный редактор:
Ответственный за выпуск:	, директор ЦТТ КГБОУ ДО ХКЦРТДиЮ
Научные консультанты: по математике	, к. п.н., доцент кафедры математики и информационных технологий ПИ ФГБОУ ВО ТОГУ, г. Хабаровск;
по физике	, старший преподаватель кафедры физики ПИ ФГБОУ ВО ТОГУ, г. Хабаровск;
по информатике	, старший преподаватель кафедры математики и информационных технологий ПИ ФГБОУ ВО ТОГУ, г. Хабаровск
Компьютерная верстка:

В данных методических рекомендациях представлены статьи педагогов высшего профессионального образования и методиста центра технического творчества Хабаровского краевого центра развития творчества детей и юношества по математике, физике и информатике.

Методические рекомендации адресованы педагогическим работникам, осуществляющим физико-математическое обучение детей.

© КГБОУ ДО ХКЦРТДиЮ, 2017

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ        2

МАТЕМАТИКА        3

Различные определения вероятностей        3

Некоторые методы решения уравнений в целых числах        13

ФИЗИКА        19

Координатный способ решения задач по кинематике        19

Решение задач по статике        26

ИНФОРМАТИКА        34

Анализ сложности алгоритмов         34

ВВЕДЕНИЕ

В данных методических рекомендациях представлены статьи педагогов высшего профессионального образования по математике, физике и методиста центра технического творчества КГБОУ ДО ХКЦРТДиЮ по информатике.

По математике предлагаются материалы с различными вариантами определений вероятностей (классическое, геометрическое), с такими методами, как выражение одной переменной через другую и выделение целой части, разложение на множители, испытание остатков.

В разделе «Физика» представлены статьи для решения задач по кинематике координатным способом и по статике.

По информатике предлагается материал по анализу сложности алгоритмов и применение к решению некоторых задач для учащихся, интересующихся программированием.

Основной целью методических рекомендаций является сжатое, структурированное изложение принципов проведения теоретических и практических занятий для повышения интереса учащихся к физико-математическому образованию.

МАТЕМАТИКА

, к. п.н., доцент кафедры

математики и информационных технологий 

ПИ ФГБОУ ВО ТОГУ, г. Хабаровск

РАЗЛИЧНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

На современном этапе развития математики и особенно ее приложений все большую актуальность и востребованность приобретает теория вероятностей. Для изучения многих реальных процессов и явлений создаются математические модели, отражающие закономерности, имеющие место в случайных явлениях. Созданы специальные теории, например такие как теория массового обслуживания, теория игр, теория случайного поиска и др. Математическим аппаратом всех таких теорий служит теоретические и практические положения теории вероятностей.

               В представленных материалах вы найдете:

основной понятийный аппарат теории вероятностей; три определения вероятности (классическое, полной вероятности и геометрическое); примеры вычисления вероятностей.

Основные понятия теории вероятностей

Как любой другой раздел математики, теория вероятностей имеет свой понятийный аппарат, который используется при формулировке определений, доказательстве теорем и выводе формул. Рассмотрим понятия, которые будем использовать при дальнейшем изложении теории.

       Испытание – осуществление комплекса условий.

Исход испытания (элементарное событие) – любой результат, который можно получить при проведении испытания.

Примеры:

1) Испытание: подбрасывается игральный кубик.

Исходы испытания: щ1 – на верхней грани кубика появилось одно очко;

щ2 – на верхней грани кубика появилось два очка;

щ3 – на верхней грани кубика появилось три очка;

щ4 – на верхней грани кубика появилось четыре очка;

щ5 – на верхней грани кубика появилось пять очков;

щ6 – на верхней грани кубика появилось шесть очков.

Всего возможно 6 исходов испытания (или 6 элементарных событий).

2) Испытание: ученик сдает экзамен.

       Исходы испытания: щ1 – ученик получил двойку;

щ2 – ученик получил тройку;

щ3 – ученик получил четверку;

щ4– ученик получил пятерку.

Всего возможно 4 исхода испытания (или 4 элементарных события).

       Замечание. Обозначение щ является стандартным обозначением для элементарного события, в дальнейшем мы будем пользоваться им.

       Будем называть исходы данного испытания равновозможными, если исходы испытания имеют одинаковые шансы на появление.

       Пространство элементарных событий – множество всех элементарных событий (исходов испытания), которые могут появиться при проведении испытания.

       В примерах, которые мы рассмотрели выше, фактически были описаны пространства элементарных событий данных испытаний.

       Замечание. Число точек в пространстве элементарных событий (ПЭС), т. е. число элементарных событий, в дальнейшем будем обозначать буквой n.

       Определение 1.1. Событием называется совокупность некоторого числа точек ПЭС.

События в дальнейшем мы будем обозначать большими латинскими буквами: А, В, С.

Пример:

Испытание: подбрасывается игральный кубик.

ПЭС: .

Событие А: на верхней грани кубика выпало четное число очков.

Заметим, что сформулированное таким образом событие А происходит в том случае, когда на верхней грани кубика выпадает 2, 4, 6 очков, то есть это событие содержит три точки из ПЭС.

Событие В: на верхней грани кубика выпало число очков, кратное 3.

Событие В происходит только в том случае, когда на верхней грани кубика выпадает 3 или 6 очков. Таким образом, это событие одержит 2 точки из ПЭС.

Событие С: на верхней грани кубика выпало число очков меньше 7.

Очевидно, что событие С наступает в любом случае, как бы ни упал кубик, следовательно, это событие содержит все 6 точек из ПЭС.

Определение 1.2. Элементарное событие, при наступлении которого происходит событие А, называется благоприятствующим событием для А  (благоприятствующими для события А являются все точки из ПЭС, содержащиеся в А).

Пример. В условиях предыдущего примера для событий благоприятствующими будут:

Событие А: . Три точки из ПЭС.

Событие В: . Таким образом, это событие содержит 2 точки из ПЭС.

Событие С:. Это событие содержит все 6 точек из ПЭС.

       Определение 1.2. Событие, которое может произойти, а может и не произойти при проведении испытания, называется случайным событием.

Примеры:

1) Купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем и не выиграть.

2) Купленная вещь может оказаться качественной, а может быть и бракованной.

3) За контрольную работу можно получить положительную оценку, а можно получить двойку и т. п.

Все это примеры случайных событий, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти при проведении испытания.

Замечание. Любое элементарное событие также является случайным событием.

Определение 1.3. Событие, которое происходит при любом исходе испытания, называется достоверным.

Определение 1.4. Событие, которое не может произойти ни при каком исходе испытания, называется невозможным.

Пример:

Испытание: подбрасывается игральный кубик.

Событие А: на верхней грани кубика выпало четное число очков.

Событие В: на верхней грани кубика выпало число очков, кратное 3.

Событие С: на верхней грани кубика выпало 7 очков.

Событие D: на верхней грани кубика выпало число очков меньше 7.

События А и В могут произойти, а могут и не произойти при проведении испытания, поэтому это случайные события.

Событие С не может произойти никогда, поэтому оно является  невозможным событием.

Событие D происходит при любом исходе испытания, значит, это достоверное событие.

Классическое определение вероятности

       

В повседневной жизни, говоря о возможности наступления того или иного явления, мы довольно часто употребляем такие слова, как «вероятно», «очень возможно», «скорее всего», «вряд ли возможно», «почти невозможно». При этом мы фактически оцениваем шансы на появление этого явления. В математике оценку шанса на появление какого-либо события или явления можно оценить численно. Для численной оценки возможности наступления того или иного события вводится понятие вероятности.

В теории вероятностей в зависимости от того, каким условиям удовлетворяют испытания, существуют несколько определений вероятности. Рассмотрим первое из них.