Математика, информатика, физика. Методические рекомендации (стр. 6 )

3. Метод испытания остатков

Этот метод основан на исследовании возможных остатков левой и правой частей уравнения от деления на некоторое фиксированное натуральное число.

Рассмотрим примеры, которые раскрывают сущность данного метода.

Пример 8.

Решить в целых числах уравнение x2 + 1 = 3y.

Решение.

1) Заметим, что правая часть уравнения делится на 3 при любом целом y.

2) Исследуем, какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.

По теореме о делении с остатком целое число х либо делится на 3, либо при делении на 3 в остатке дает 1 или 2.

Если х = 3k, то правая часть уравнения на 3 не делится.

Если х = 3k+1, то x2 + 1= (3k+1)2+1=3m+2, следовательно, опять левая часть на 3 не делится.

Если х = 3k+2, то x2 + 1= (3k+2)2+1=3m+2, следовательно, и в этом случае левая часть уравнения на 3 не делится.

Таким образом, мы получили, что ни при каких целых х левая часть уравнения на 3 не делится, при этом правая часть уравнения делится на 3 при любых значениях переменной y. Следовательно, уравнение в целых числах решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Пример 9.

Решить в целых числах 

Решение.

1) Рассмотрим, какие остатки от деления на 4 могут быть у чисел вида . Остатки от деления на 4 чисел х и y могут быть 0, 1, 2 или 3.

Тогда у чисел и они могут быть 0 или 1. Следовательно, у чисел они могут быть 0, 1 или 2.

2. Правая часть уравнения при делении на 4 дает остаток 3.

Так как правая и левая часть уравнения дают разные остатки при делении на одно и то же число, уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения в целых числах:

1.

2.

3.

4.

5. xІ - yІ = 91

6. 2ху = хІ + 2y

7. Существует ли такое целое х, что ?

8. Существуют ли такие целые числа х и  y, что ?

ФИЗИКА

, старший преподаватель кафедры физики

ПИ ФГБОУ ВО ТОГУ, г. Хабаровск

КООРДИНАТНЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПО КИНЕМАТИКЕ

Главной задачей кинематики является математическое (уравнениями, графиками, таблицами и т. п.) определение положения и характеристик движения точек или тел во времени, или, другими словами, выявить закономерность, которая определяет положение тела в пространстве в данный момент времени. Закон движения должен давать зависимость координат x, y, z от времени. Для упрощения расчетов часто тело принимают за материальную точку. Тогда положение материальной точки в пространстве в любой момент времени (закон движения) можно определять с помощью зависимости координат от времени x = x (t), y = y (t), z = z (t) (координатный способ).

Так как любое движение рассматривается в определенной системе отсчета, то первоначально необходимо выбрать систему отсчета.

Тогда в случае равномерного движения вдоль оси ОХ уравнение движения примет вид: x=x0+Vxt, где x0 – координата тела (или точки) в начальный момент времени, Vx – проекция вектора скорости тела на ось ОХ,  t – время движения тела.

Уравнение для описания равнопеременного движения при применении координатного способа при решении задач принимает вид:  .

Алгоритм решения задач координатным способом

Записать кратко условие задачи. Выбрать систему отсчета. Определить начальные значения координат по всем осям. Определить начальное значение скорости относительно всех осей координат. Определить начальное значение ускорения относительно всех осей координат. Составить уравнение движения. Составить дополнительные уравнения, связывающие отдельные кинематические  характеристики в соответствии с условием задачи. Решить систему уравнений относительно искомых величин в общем виде. Перевести единицы измерения физических величин в одну систему. Подставить числовые данные. Проанализировать получившийся ответ.

Рассмотрим применение алгоритма на примере решения задач.

Примет 1. Мяч брошен с высоты 10 метров вертикально вверх со скоростью 14 метров в секунду. Через какое время он упадет на землю?

Можно найти время движения мяча как сумму времени равнозамедленного движения вверх и времени равноускоренного падения мяча от точки максимальной высоты до земли.

Вариант решения 1. Время равнозамедленного движения вверх – t1 найдем, понимая, что в точке максимальной высоты (В) скорость мяча уменьшилась до нуля, т. е.