Математика, информатика, физика. Методические рекомендации (стр. 3 )

7. Вычислить вероятность события А по формуле (2).

Решим задачу, которая была сформулирована выше, по этому алгоритму.

Задача 3.

1. Сначала наудачу выбирают один билет, а потом выбирают еще один билет.

2. Событие Н1: вытянули билет, который «наш» ученик знает.

  Событие Н2: вытянули билет, который «наш» ученик не знает.

3. Вероятности событий Н1, Н2 найдем по формуле (1).

Число исходов испытания на первом этапе: n = 30

Число исходов, благоприятствующих для Н1:  m = 26.

Тогда .

Число исходов, благоприятствующих для Н2:  m = 4. 

Тогда .

4. 

5. Событие А: «наш» ученик знает вытянутый билет.

6. Найдем условные вероятности по формуле (1).

Число исходов испытания на втором этапе: n = 29.

Число исходов, благоприятствующих для А, при условии, что Н1 произошло:  m = 25. Тогда .

Число исходов, благоприятствующих для А, при условии, что Н2 произошло:  m = 26. Тогда .

7. Найдем вероятность события А по формуле (2):

Ответ: .

Задача 4.

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежат 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется. 

Решение.

1. Испытание: сначала ковбой выбирает пистолет, потом из него стреляет.

2. Событие Н1: ковбой выбрал пристрелянный револьвер.

Событие Н2: ковбой выбрал непристрелянный револьвер.

3. Найдем вероятности событий Н1 и Н2:

Число исходов испытания на первом этапе: n = 10.

Число исходов, благоприятствующих для Н1: m = 4. Тогда .

Число исходов, благоприятствующих для Н2: m = 6. Тогда .

4.  = 1.

5. Событие А: Джон промахнулся.

6. Найдем условные вероятности события А. В условии даны вероятности попадания для двух типов револьверов. Нам нужны вероятности промахов, следовательно:  ; 

7. Найдем вероятность события А по формуле (2): .

Ответ: вероятность промаха равна 0,46.

Геометрическое определение вероятности

Выше мы рассмотрели случай испытания с конечным числом равновозможных исходов (пункт 2). Аналогичная ситуация возникает в некоторых геометрических задачах, связанных со случайным выбором точки на прямой, плоскости или в пространстве, однако в этом случае число равновозможных исходов бесконечно.

Выберем на географической карте России, не глядя, одну точку (зажмурим глаза и покажем в нее указкой). Какова вероятность того, что эта точка окажется на территории Хабаровского края? Очевидно, для ответа на этот вопрос нужно знать, какую часть всей площади карты составляет площадь Хабаровского края. Отношение этих площадей и даст искомую вероятность.

Такую же картину мы имеем и в общем случае, когда в некоторой области G случайно выбирается точка. Если предположить, что попадание в любую точку области равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в любую область А будет равна отношению площадей .

Такое определение вероятности называется геометрическим.

Замечания. 1. Точно так же можно определить геометрическую вероятность в пространстве (вместо площадей здесь надо брать объемы тел) и на прямой (здесь – длины отрезков).

2. Равновозможность исходов испытания в случае геометрической вероятности во многих случаях определяется неоднозначно.

       Задача 5 (задача о встрече). Дима и Сергей договорились о встрече между 9 и 10 часами утра. Пришедший первым ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит (если не встретились). Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый наудачу выбирает момент своего прихода.

Решение.

Пусть х – время прихода Димы, y – время прихода Сергея, тогда по условию ; (в качестве единиц масштаба берем минуты). Геометрически эти неравенства определяют на плоскости Охy квадрат со стороной, равной 60.

Точки этого квадрата изображают время встречи, так как мальчики приходят в случайный момент времени, то все исходы испытания (моменты встречи) равновозможны.

Событие А – Дима и Сережа встретились – произойдет, если разность между моментами их прихода будет не более 15 минут (по модулю), геометрически такие точки (благоприятствующие для А исходы) определяют внутри квадрата заштрихованную полосу (см. рисунок).

В соответствии с определением геометрической вероятности, вероятность события А будет равна отношению площади заштрихованной полосы к площади квадрата. Площадь заштрихованной полосы может быть вычислена как разность между площадью квадрата и площадями двух равных равнобедренных прямоугольных треугольников с катетом, равным 45. Таким образом, получаем:

Ответ: Р(А) = 0,44.

Задачи для самостоятельного решения

       

1. Все буквы русского алфавита написаны на 33 одинаковых карточках. Какова вероятность того, что на наудачу извлеченной карточке написанная буква окажется гласной?

2. Одновременно подбрасываются 2 игральных кубика.

А) Какова вероятность того, что на кубиках выпадет равное количество очков?

Б) Какова вероятность того, что число, выпавшее на первом кубике, больше числа, выпавшего на втором кубике?

       3. Автомобильные номера состоят из 3 букв и 3 цифр. Какова вероятность того, что наугад выбранный номер будет состоять из 3 одинаковых цифр и 3 одинаковых букв, если при составлении номеров используются 28 букв и 10 цифр?

       4.  Пустые горшочки с медом Винни-Пух ставит на полочку вместе с полными для того, чтобы вид уменьшающегося числа горшков не слишком портил ему настроение. В настоящий момент в Пуховом буфете вперемежку стоят 5 горшочков с медом и 6 абсолютно пустых. Какова вероятность того, что в двух взятых на ужин горшочках окажется мед?

5. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,03. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет бракована системой контроля.

       6. В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см?

       7. На отрезке [0; 5] случайно выбирается точка. Найти вероятность того, что расстояние от нее до правого конца отрезка не превосходит 1,6 единиц.

       8. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов равновозможно в течение суток. Найдите вероятность того, что ни одному из них не придется ждать освобождения причала, если время разгрузки – 1 час.