Математика, информатика, физика. Методические рекомендации (стр. 4 )

, к. п.н., доцент кафедры

математики и информационных технологий 

ПИ ФГБОУ ВО ТОГУ, г. Хабаровск

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

В  ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач, систематическое изложение которой было предложено еще древнегреческим математиком Диофантом в его произведении «Арифметика». Диофант суммировал и расширил накопленный до него опыт решения уравнений в целых числах.

Уравнения, коэффициенты которых являются целыми или натуральными числами и решения нужно найти только целые или натуральные, являются математическими моделями многих практических задач. Как правило, эти уравнения содержат несколько неизвестных (такие уравнения называют неопределенными), поэтому общие методы решения алгебраических уравнений здесь применять затруднительно.

В этой статье рассмотрим некоторые методы решения неопределенных нелинейных уравнений в целых числах.

1. Метод выражения одной переменной через другую

и выделение целой части

Идея этого метода следующая:

1) Из первоначального уравнения выражаем одну неизвестную через другую. Обязательно необходимо проверить, будет ли решением уравнения пара чисел, в которой значение одной переменной, приведет к тому, что знаменатель дроби будет равен 0. Значение переменной, приводящее знаменатель дроби к нулю, необходимо исключить из множества решений уравнения).

2) В полученной дроби выделяем целую часть.

3) Находим такие значения переменной, при которых полученная «дробная часть» будет целым числом.

Пример 1.

Решить в целых числах уравнение:  .

1) Выразим через .

Чтобы выразить переменную , нужно будет разделить на . Следовательно, должно выполняться неравенство . Исследуем сразу, имеет ли уравнение решения при . Если подставить в уравнение , получим: 13 = 12 – неверное числовое равенство. Очевидно, что это уравнение решений в целых числах при не имеет. Следовательно, можно предположить, что . Тогда .

2) Выделим в полученной дроби целую часть, для этого числитель дроби представим в виде:  . Получим:

.

Теперь числитель дроби почленно разделим на знаменатель:

.

3) Так как находим только целые решения, то должно быть целым числом, следовательно, дробь должна быть целым числом. Это будет только в том случае, когда числитель дроби 7 будет делиться на ее знаменатель (). Делителями числа 7 являются следующие числа: .

Рассмотрим возможные случаи:

тогда ;

, тогда ;

, тогда ;

, тогда .

Ответ: (5; 4); (; 2); (); (; 10).

Пример 2.

Решить в целых числах уравнение:  .

Решение.

1) Заметим, что ни x, ни y не могут быть равны нулю.

Выразим через : , при этом .

2) Выделим в полученной дроби целую часть, для этого числитель дроби представим в виде: . Получим:

3) Так как находим только целые решения, то должно быть целым числом, следовательно, дробь должна быть целым числом. Это будет только в том случае, когда числитель дроби 25 будет делиться на ее знаменатель (). Делителями числа 25 являются следующие числа: ; .