Преобразование иррациональных и степенных выражений (стр. 6 )

Получены такие результаты решения этого задания.

4 балла	3 балла	2 балла	1 балл
0,4%	0,2%	0,5%	1,7%

Казалось бы, все свойства логарифмов известны. Нет никаких трудностей (запомнил и применяй свойства). Результаты же выполнения заданий по этой теме плачевны. По отчетам Федерального института педагогических измерений в разные годы с этими заданиями справлялись около 70%. Более точные данные приведены в таблице.

Результаты выполнения заданий базового уровня на тождественные преобразования выражений по теме «Логарифмы»

Группы участников экзамена	Год	Процент решаемости
Общие результаты	2004	50%–93%
2005	53%–93%
2006	80%–81%
2007	77%–82%
Результаты “сильных”	2004	96%–100%
2005	94%–100%
2006	98%–100%
2007	99%–100%
Результаты “слабых”	2004	30%–60%
2005	40%–70%
2006	83%–84%
2007	83%–84%

В целом, из 26 заданий контрольных измерительных материалов ЕГЭ в среднем четыре задания проверяют умение преобразовывать логарифмические выражения. Правда, в 2008 году были варианты, в которых в 8 заданиях присутствовали логарифмы.

Если четыре (восемь!) задания в той или иной степени затрагиваю эту тему, следовательно, при изучении логарифмов, логарифмической функции необходимо без всякой спешки изучить этот материал. Необходимо выполнить большое количество простых заданий, в которых есть логарифмы.

Система подготовки к экзамену заключается как в детальной проработке материала при изучении текущего материала, так и в организации сопуствующего (параллельного) повторения.

Тема предваряется необходимой справочной и формульной информацией по ней, представленной в максимально сжатой форме. Затем подробно разбирается большое количество примеров (практически на каждый преобразовательный приём, когда-либо встречавшийся в заданиях ЕГЭ в группах А и В). В этой части присутствует пример, к которому приведено решение, или несколько аналогичных примеров с небольшими нюансами в решениях.

Затем идут задания для самоподготовки, первая часть которых даётся в традиционной форме (т. е. даётся задание, а в конце данной главы (темы) – представлен ответ), затем даются задания с выбором ответа, причём указано, что до определённого места уровень заданий соответствует группе А, а последующие – группе В.

Повторение темы должно заканчиваться выполнением тематического теста.

Смысл такой организации материала – постепенное нарастание сложности, плавный переход от традиционной формы заданий к тестовой, удобство пользования материалом как учениками, так и учителями.

3. Преобразование логарифмических выражений

3.1. Краткие теоретические сведения

Определение логарифма.

Логарифмом числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b:

при a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Определение логарифма можно записать на математическом языке следующим образом:

, где .

Полученное равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается , логарифм по основанию называется натуральным логарифмом и обозначается .

Свойства логарифмов.

Для всех свойств логарифмов выполняются соответствующие условия:

1. при ;

2. при ;

3. при ;

4. при ;

5. при ;

6. при .

Полезно также знать и другие свойства логарифмов:

7. при ;

8. при ;

9. при .

Полезно также знать и «хитрости» свойств логарифмов:

при ;

при ;

при .

при .

3.2. Примеры с решениями.

1. Вычислите .

Решение.

Ответ: .

2. Вычислите

Решение.

Ответ: .

3. Найдите значение выражения

Решение.

Ответ: .

4. Найдите значение выражения

Решение.

Ответ: .

5. Вычислите

Решение.

Ответ: .

6. Вычислите .

Решение. Т. к. выражение , то решение принимает вид:

7. Вычислите

Решение.

Ответ: .

8. Известно, что . Найдите

Решение.

Ответ: .

9. Найдите значение выражения .

Решение.