Методические рекомендации по изучению учебной дисциплины, задания на домашнюю контрольную работу для учащихся заочной формы обучения по специальности 2-53 01 05 «Автоматизированные электроприводы» (стр. 5 )

д)

Решение. Имеем неопределенность вида . Чтобы от нее избавиться разделим числитель и знаменатель дроби на наивысшую в данной дроби степень х, т. е. на :

Здесь воспользовались тем, что при выражения , , , стремятся к нулю.

е)

Решение. Имеем неопределенность вида , поэтому разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень х в данной дроби, а это х:

ж)

Решение. При х = 0 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, имеем неопределенность вида 0 / 0. Чтобы от нее избавиться воспользуемся первым замечательным пределом .

Так как при , то согласно первому замечательному пределу

з)

Решение. Здесь имеем неопределенность , для раскрытия которой воспользуемся вторым замечательным пределом .

Пусть . Тогда при , поэтому, используя второй замечательный предел, получим 

Итак,

и)

Решение. Поделив числитель и знаменатель дроби на х, сведем данный предел ко второму замечательному пределу

:

5 Найти частные производные и полные дифференциалы первого и второго порядка функции   

Решение. Сначала найдем частные производные первого порядка:

По формуле найдем полный дифференциал первого порядка функции:

Дифференцируя каждую из полученных функций по х и по у, получим частные производные второго порядка:

 

 

Как и следовало ожидать, 

По формуле найдем полный дифференциал второго порядка функции:

6 Найти интегралы:

а)   б)   в)   г) ;

д)   е)   ж)

Решение. а) Данный интеграл не является табличным, поэтому для сведения его к табличному произведем замену. Пусть , тогда  Подставляя полученные значения в подынтегральное выражение, получим:

б) Решения следующих примеров будем оформлять кратко.

в)

 

г) Представим исходный интеграл в виде разности двух интегралов, первый из которых – табличный, а для нахождения второго необходима подстановка.

Таким образом,  

д) Данный интеграл найдем методом интегрирования по частям. Обозначим: Для применения формулы интегрирования по частям необходимо знать еще v и  du. Дифференцируя равенство , получим Интегрируя равенство , найдем Подставляя значения  u, v, du, dv в формулу , найдем искомый интеграл:

е) Применим формулу интегрирования по частям :

.

Полученный интеграл снова находится интегрированием по частям:

Таким образом,

ж) Применим формулу интегрирования по частям :

Полученный интеграл можно найти способом подстановки:

Таким образом,

7 Найти общее или частное решение дифференциального уравнения:

а) ;