Методические рекомендации по изучению учебной дисциплины, задания на домашнюю контрольную работу для учащихся заочной формы обучения по специальности 2-53 01 05 «Автоматизированные электроприводы» (стр. 6 )

б) , ; 

в) , если  у = 1, =5 при х = 0.

Решение. а) Это уравнение с разделяющимися переменными. Преобразуем его:

   

Проинтегрируем левую и правую части полученного уравнения:

    .

Последнее выражение и является общим решением дифференциального уравнения. Найдем теперь его частное решение, удовлетворяющее условию  :

      С = 0.

Тогда частное решение дифференциального уравнения имеет вид 

б) Преобразуем данное уравнение:

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Для того чтобы разделить переменные, поделим обе части уравнения на , т. е. и , а затем проинтегрируем:

  ,  ,

.

Для удобства потенцирования представим

,  ,  ,  , 

Выражение  , является общим интегралом данного дифференциального уравнения, а у=0 – его особое решение.

в) Это линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Запишем характеристическое уравнение и решим его:

 

  .

Поскольку характеристическое уравнение имеет комплексные корни, причем б = 3,  в = 2, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

Дифференцируя общее решение, найдем у′:

Подставим теперь начальные данные в выражения для у и у′: 

 

откуда и Таким образом, искомое частное решение имеет вид:

8 Исследовать сходимость ряда:

а)

Решение. Используем предельный признак Д'Аламбера. Заменяем в заданной формуле общего члена ряда номер n на n+1 и получаем формулу следующего члена ряда . Затем находим предел отношения последующего члена ряда к предыдущему при неограниченном увеличении номера :

l =

Так как l = 0 < 1 , то данный ряд по признаку Д'Аламбера сходиться.

б) 

Решение. Вычисляем

l =

Так как l =, то данный ряд по признаку Д'Аламбера расходиться.

в) .

Решение. Так как

то применим радикальный признак Коши к ряду

Вычисляем

l =

Ряд    сходится, а значит, сходится и исходный

ряд  , согласно свойству числовых рядов.

9 Решить комбинаторную задачу:

а) Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если повторение цифр невозможно и  в каждом числе должна быть цифра 1?

Решение. Для получения четырехзначных чисел, кроме цифры 1, нужны еще три цифры, которые можно выбрать способами. Полученные в каждом способе четыре цифры (вместе с цифрой 1) можно переставлять местами и составлять новые четырехзначные числа. В результате получим: