Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых в пространстве (стр. 8 )

8. (2 б.) Из точки А к плоскости б проведен перпендикуляр АВ и наклонные АС и AD. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

A. Если ВС = см, BD = см, то АС <AD.

Б. Если АВ = см, АС = см, BD = см, то ВС = 2 см, AD = 1 см.

B. Если АС = 2 см, ACB = 45°, DB = см, то AD = 4 см.
Г. Если AD=AC и BC = DC, то DBC = 45°.

9. (2 б.) Точка К находится на расстоянии см от вершин равно­стороннего треугольника ABC со стороной см. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

A.        Основание перпендикуляра КО, проведенного к плоскости ABC,
обязательно является центром вписанной в треугольник ABC
окружности.

Б. Расстояние от точки К до плоскости ABC равно 1 см.

B. Середина отрезка КС находится на расстоянии 1 см от плоскости  ABC.

Г. Если M, L, N — середины отрезков KA, КВ, КС, то расстояние

между плоскостями ABC и MLN равно 1 см.

10. (3 б.) Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором АВ = а, ВС = b, СС1 = с (а < b < с). Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

A.        Треугольник АВС1 обязательно прямоугольный.
Б. Треугольник АВС1 может быть правильным.

B.        Прямые ас1 и ВD1 перпендикулярны.

Г. Величина угла АС1В равна arctg.

11. (3 б.) В пирамиде SABC, каждое ребро которой равно а, из точ­ки S проведен перпендикуляр SO к плоскости ABC. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

A.        Точка О — точка пересечения высот треугольника ABC.
Б. Прямая АС перпендикулярна плоскости SOB.

B.        Проекция наклонной SA на плоскость ABC втрое меньше наклонной.

Г. Угол между SB и SO равен arcсos .

12. (3 б.) Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

A. Расстояние от точки D до точки В1 равно а.

Б. Расстояние от прямой ВС до прямой А1D1 равно а.

B. Расстояние от вершины С до плоскости ВDС1 равно .

Г. Расстояние между плоскостью ВDС1 и прямой В1D1 равно .

Вариант 3

Записывая ответы на задания теста, обведите буквы, отвечающие утверждениям, которые вы считаете правильными, и зачеркните буквы, отвечающие утверждениям, которые вы считаете непра­вильными. Например, если вы считаете правильными утверждения А и В, а неправильными — утверждения Б и Г, запишите  Б  Г. Если хотя бы одна буква из 4-х будет не отмечена, задание считается невыполненным.

1. (0,5 б.) Точка S лежит вне плоскости равнобокой трапеции АВСD

  (АВ || СD), SА┴АВ, SА┴АD. Выберите правильное утверждение.

A.        Прямые АD и АВ перпендикулярны.

Б. Прямая АD перпендикулярна плоскости АВS.

B.        Прямая АS не перпендикулярна прямой АС.
Г. Прямая АS перпендикулярна плоскости ВСD.

2. (0,5 б.) Из точки А к плоскости б проведен перпендикуляр АВ и наклонные АС и АD. Выберите правильное утверждение.

A. Среди отрезков АD, АВ, DВ наименьшим является АD.

Б. Среди отрезков АD, АВ, АС наименьшим является АВ.

B. Если DВ > ВС, то АС > АD.

Г. Если DВ = АВ, то DАВ = 30°.

3. (0,5 б.) ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед, АD = 1 см, DС = 2 см, DD1 = 3 см. Выберите правильное утверждение.

A.        Расстояние от точки А до точки С равно 1 см.

Б. Расстояние от точки D до плоскости BCC1 равно 2 см.

B.        Расстояние от прямой А1С1 до плоскости ABC равно 2 см.
Г. Расстояние между плоскостями АDD1 и ВСС1 равно 3 см.

4. (1 б.) В пространстве дана прямая а и точка А на ней. Отметьте,

какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

A.        Через точку А можно провести только одну прямую
перпендикулярную прямой а.

Б. Через точку А можно провести бесконечное множество прямых, перпендикулярных прямой а.

B.        Через точку А можно провести только одну плоскость,
перпендикулярную прямой а.

Г. Через точку А можно провести две различные плоскости, перпендикулярные прямой а.

5. (1 б.) Через центр О правильного шестиугольника ABCDEF про-

веден перпендикуляр SO к плоскости ABC. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

A. Расстояния от точки S до вершин шестиугольника ABCDEF разные.
Б. Угол OAS равен углу OCS.

B. Если ОА = 1 см, SO = 1 см, то SA = см.
Г. Если SO = ОВ, то OSB = 30°.

6. (1 б.) Отрезок АВ не пересекает плоскость б, точка С — середина

отрезка АВ. Расстояния от точек А и С до плоскости б соответ­ственно равны 1 см и 3 см. Длина отрезка АВ равна 5 см. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

A.        Расстояние от точки В до плоскости б равно 5 см.

Б. Расстояние от точки В до плоскости б может равняться 6 см.

B.        Расстояние между перпендикулярами AA1 и ВВ1 проведенными
к плоскости б, обязательно меньше 5 см.

Г. Расстояние между параллельными плоскостями, которые проведены через перпендикуляры АА1 и ВВ1 к плоскости б, обязательно равно 3 см.

7. (2 б.) Расстояния от точки S до всех вершин прямоугольника ABCD одинаковые, точка О — точка пересечения диагоналей АС и BD прямоугольника ABCD. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

A.        Прямая SO перпендикулярна прямой АС.

Б. Прямая SO перпендикулярна плоскости ABC.

B.        Прямая АС обязательно перпендикулярна плоскости BDS.
Г. Если АВ = 6 см, ВС = 8 см и AS = 13 см, то SO = 12 см.

8. (2 б.) Из точки А к плоскости б проведен перпендикуляр АВ и наклонные АС и AD. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правильные, а какие — неправильные.

A.        Если АС - AD = 2 см, то ВС = BD.

Б. Если АВ = см, ВС = см, AD = 2 см, то АС = 2 см, BD = 1 см.

B.        Если АВ = 2 см, BAD = 30°, СВ = см, то АС = 4 см.
Г. Если СВ = BD, AD = CD, то CAD = 45°.

9. (2 б.) Точка К равноудалена от вершин прямоугольного треуголь­ника ABC (C = 90°), АС = 6 см, ВС = 8 см, КС = 13 см. Отметьте, какие из следующих четырех утверждений правиль­ные, а какие — неправильные.