Статистические методы в инженерых исследоваиях. Специальные главы математики (стр. 2 )

Под универсальностью параметра оптимизации понимают его способность всесторонней характеристики объекта исследования.

Параметр оптимизации должен быть количественным, задаваться числом. В тех случаях, когда возникают трудности с количественной оценкой параметров оптимизации, прибегают к числовому кодированию. С количественной природой параметра оптимизации связаны требования его выражения одним числом, а также однозначность в статистическом смысле (при любом сочетании факторов выход должен определяться одним с точностью ошибки эксперимента числовым выражением).

Требование статистической эффективности сводится фактически к выбору параметра оптимизации, определяемого с наибольшей возможной точностью.

Требование физического смысла связано с последующей интерпретацией результатов эксперимента.

Конечная цель исследований может иметь несколько параметров оптимизации. Необходимо стремиться и искать возможность уменьшения количества параметров оптимизации путем их обобщения и рассмотрения части параметров как ограничений. Иногда прибегают к переформулированию задачи.

Свойства системы можно описывать различными моделями, одновременно имеющими право на существование. Однако, всегда можно говорить о том, что одни из этих моделей хороши в каком-то смысле, другие – хуже. Дня выбора конкретной модели необходимо конкретно сформулировать требования. К ним относится адекватность, содержательность, простота и т. д. Адекватность модели определяет ее способность предсказывать результаты эксперимента в некоторой области с требуемой точностью. Содержательность модели определяется ее способностями не только объяснить уже известные факты, но и выявить новые, не замеченные явления, а также, в какой-то степени, предсказывать дальнейшее развитие и выдвигать перед исследователем новые проблемы. Простота модели во многом определяет эффективность ее использования. В теории математического планирования эксперименте наибольшее распространение получили полиномиаотные модели.

2.3. Полный факторный эксперимент

Традиционным способом испытаний является однопараметрический эксперимент, при котором все переменные, кроме исследуемой, фиксируются на постоянных уровнях. Поочередно варьируя переменными, получают зависимости, трудно сопоставимые и не отражающие взаимодействия параметров. При этом затрачивается много труда и времени. Факторное планирование как раз устраняет все эти недостатки.

При факторном планировании число уровней для каждого из факторов не может бить меньше двух. Так как число уровней определяет число состояний «черного ящика», и, следовательно, сложность эксперимента, то число уровней редко выбирают большее трех. Экспериментальные планы, в которых все факторы варьируются на двух уровнях, называются планами типа 2k , где k – количество факторов. А эксперимент, в котором реализуются все возможные комбинации уровней всех факторов, называют полным факторным экспериментом. Нетрудно видеть, что для того, чтобы исчерпать все возможные комбинации для факторов на двух уровнях, следует поставить.

2.4. Кодирование переменных

Для облегчения расчета коэффициентов регрессии по результатам факторного эксперимента производят так называемое кодирование или преобразование переменных по следующей формуле:

i= 1,2,3,….k (2.4)

где xi – кодированное текущее значение фактора; - значение фактора на одном из уровней в натуральных переменных; - значение i – это фактора в натурных переменных на так называемом основном уровне, который является среднеарифметическим между выбранными уровнями фактора (см. рис. 2.3а), а - натуральное значение интервала варьирования, величина которого равна разности между любым из уровней и основным уровнем фактора.

Выбор интервалов варьирования в области определения факторов фактически означает выбор некоторой подобласти, предназначенной для изучения. Эта подобласть симметрична относительно нулевого уровня, то есть ее центра. Для качественных факторов нулевой уровень не имеет физического смысла, что, однако, несущественно.

Рис. 2.3. Геометрическое изображение двухфакторного эксперимента:

а - в натуральных переменных;

б - в кодированных переменных.

Кодирование переменных представляет собой линейное преобразование факторного пространства, заключающееся в переносе начала координат в нулевую точку (см. рис. 2.3б) и выбор масштабов по осям в единицах интервалов варьирования. В относительных единицах значения факторов на верхнем и нижнем уровнях при таком преобразовании будут соответственно +1 и -1, пределы варьирований кодированных переменных λ1= λ2=1.

2.5. Матрицы планирования

Запись значений границ интервалов в относительных единицах ±1 приводит к стандартиой форме записи матрицы планирования, использующей только знаки. План, например, факторного эксперимента ПФЭ-22 показан в таблице 2.1, а геометрическое изображение плана в виде квадрата, вершины которого соответствуют номерам и условиям опытов (фиг. 2.3б). Для реализаций этого плана необходимо поставить N=2k т. е. N=22=4 опыта, а математическая модель будет иметь вид y=b0+b1x1+b2x2+b12x1x2 и требует определения N=22=4 коэффициентов.

План эксперимента ПФЭ-22, показанный в таблице 2.1 имеет один столбец с фиктивной переменной X0 которому во всех опытах придается значение +1, и столбец произведения X1X2. При этом столбцы матрицы X1 и X2 задают планирование (определяют условия опытов), а столбцы X0 и X1X2 используются только для расчетов коэффициентов b0 и b12 (коэффициент взаимодействия факторов X1 и X2 модели.

Таблица 2.1 План эксперимента ПФЭ-22

№ опыта	Переменные	Выход
X0	X1	X2	X1X2
1	+	-	-	+	Y1
2	+	+	-	-	Y2
3	+	-	+	-	Y3
4	+	+	+	+	Y4

Матрицу планирования для любого числа независимых переменных можно получить из матрицы планирования для двух независимых переменных, используя разные приемы. Один из них основан на правиле чередования знаков. В таблице 2.2 знаки в первом столбце меняются поочередно, во втором столбце они чередуются через два, в третьем через четыре к так далее по степеням двойки. Геометрическим представлением планов при К>3 является гиперкуб в К-мерном пространстве.

Таблица 2.2 План эксперимента ПФЭ-23

№ опыта	Переменные	Выход
	Х1	Х2	Х3	yu
1	-	-	-	Y1
2	+	-	-	Y2
3	-	+	-	Y3
4	+	+	-	Y4
5	-	-	+	Y5
6	+	-	+	Y6
7	-	+	+	Y7
8	+	+	+	Y8

Геометрическая интерпретация плана ПФЭ-23 дана на рис.2.4.

Рис. 2.4. Геометрическое изображение трех факторного эксперимента.

Плану полного факторного эксперимента (ПФЭ) присущи критерии оптимальности: ортогональность и ротатабельность. Ортогональность плана обеспечивает получение независимых оценок коэффециентов регрессии. Ротатабельность плана позволяет получить одинаковую дисперсию предсказанных значений функции отклика во всех равноудаленных от центра эксперимента точках.

Составленные описанным способом матрицы планирования и их геометрические образы (рис. 2.3б и рис. 2.4) обладают тремя важными свойствами: симметрии, нормировки и ортогональности.

Свойство симметрии состоит в том, что все наборы факторов (точки плана) симметричны относительно центра плана, или сумма элементов любого столбца матрицы планирования равна нулю:

i=1,2,3,….K (2.5)

Свойство нормировки имеет вид

i=1,2,3,….K, (2.6)

т. е. сумма квадратов любого столбца равна количеству строк.

Свойство ортогональности состоит в том, что сумма произведения любых двух столбцов равна нулю:

i ¹ j, i, j =1,2,3,….K (2.7)

Матрицы планирования показывают, в каких точках факторного пространства надо произвести измерения выхода (отклика), т. е. произвести опыты. А столбцы X1(i=1,2,3,…,) определяют условия проведения опытов. Например (см. табл. 2.1): опыт по третьей строке (U=3) проводится при условии, когда фактор X1, находится на нижнем уровне, а фактор Х2 – на верхнем.

В целях «рандомизации» опыты проводятся не в том порядке, какой указан в плане, а в случайной последовательности, организованной по таблице случайных чисел или с помощью лотереи.

2.6. Организация варьирования факторов

Многофакторный эксперимент может проводиться на реальных объектах, макетах, электронных моделях, набранных на АВМ и ЦВМ. В радиоэлектронных устройствах и автоматике фактор чаше всего можно представить параметрами пассивных элементов R, L, С, токами и напряжениями, а условия окружающей среды температурой, давлением, влажностью и т. д. В большинстве случаев факторы варьируются на двух уровнях , и для контроля адекватности часто необходимо измерять отклик в центре локальной области исследований, когда все факторы принимают значения основного уровня = или в кодированных переменных = 0. Следовательно, в экспериментальной установке, нужно предусмотреть возможность установки трех уровней каждого фактора. Целесообразнее варьирование осуществлять с помощью набора дискретных элементов, которые переключаются в зависимости от требуемого уровня в соответствии с условиями проведения опытов по строкам план-матрицы эксперимента.

Рис. 2.5 Схемы варьирования сопротивлений на трех уровнях

На рис.2.5 показана схема реализации верхнего (В), нижнего (Н) и основного (О) уровней с помощью последовательного и параллельного соединений. А само переключение в простейшем случае осуществляется с помощью шагового искателя.

2.7. Дробный факторный эксперимент

В полном факторном эксперименте опыты реализуются при всех возможных наборах уровней факторов. Например, для двухуровневого – факторного эксперимента опыты проводятся в N=2K точках факторного пространства. При этом очевидно, что с введением каждого нового фактора число опытов в матрице ПФЭ-2K удваивается (при K=2, N=4, при K=3, N=8, при K=4, N=16 и т. д. ).

На основе опытов в N точках факторного пространства можно найти N=2K коэффициентов уравнения регрессии. Если число факторов k³4, эффекты взаимодействия высокого порядка становятся статистически незначимыми. Практика эксперимента показывает, что при k=q³4 влияние сомножителей x1,x2,…,x4 – на отклик взаимно компенсируется, и соответствующий коэффициент b123…,q становится статистически незначимым. Следовательно, при большом количестве факторов можно строить такие планы, которые позволяют определить только линейные эффекты факторов, эффекты их парных и иногда тройных взаимодействий. Уменьшение количества отыскиваемых коэффициентов позволяет сократить расходы времени и средств на проведение эксперимента и обработку его данных.

Пусть в эксперименте участвуют 10 факторов. Априори известно, что надо учитывать только линейные эффекты и парные взаимодействия, а взаимодействия более высоких порядков являются статистически незначимыми. Так как число факторов K=10, то необходимо найти Nоп=С010+С110+С210=1+10+45=56 коэффициентов (здесь С2К=(K-1)*K/2!). Полный факторный эксперимент позволяет определять N=210=1024 коэффициентов. Полагая, что объем работы пропорционален количеству определяемых коэффициентов, можно заключить, что наличие априорной информация позволяет в 1024/56-17,3 раза сократить затраты времени и средств. В следующем разделе будет показано, что в данном случае необходимо проводить дробный факторный эксперимент, содержащий 64 опытные точки и объем работы сокращается в 1024/64 = 16 раз.

Таким образом, в экспериментах с большим количеством факторов число определяемых коэффициентов Nоп может быть значительно меньше опытных точек ПФЭ N=2K. Отсюда возникает задача построения планов эксперимента, в которых количество опытов равно или чуть больше количества подлежащих определению bi-коэффициентов. Этому принципиальному положению отвечают реплики (части) ПФЭ-2K, кратные 2p , где p - целое положительное число. Такие эксперименты называются дробными факторными экспериментами (ДФЭ)2K-p. Количество опытных точек в дробном факторном эксперименте ДФЭ-2K-p в 2p раз меньше, чем в ПФЭ-2К, Здесь, как и ранее K – общее количество факторов, варьируемых в эксперименте; p – число факторов, введенных путем замены незначимых взаимодействий; (K-p) – количество исходных факторов. Т. к. ДФЭ-2K-p есть часть ПФЭ-2K, то ДФЭ называют также дробными репликами факторного эксперимента. Например, ДФЭ образующий половину ДФЭ-2K, обозначают ДФЭ-2K-1 и называют полурепликой ПФЭ-2K, ДФЭ-2K-2 содержит 2K/22=1/4*2K опытных точек и называется 1/4 репликой ПФЭ-2K и т. д.

2.8. Планирование дробных факторных экспериментов

Как отмечалось в предыдущем разделе, планы ДФЭ могут быть образованы заменой статистически незначимых взаимодействий дополнительными факторами. Рассмотрим как организуются частные реплики на основе ПФЭ-22 и ПФЭ-23. По аналогии могут быть построены и другие ДФЭ.

Построение плана ДФЭ-23-1 .

В ДФЭ-23-1 план строился из четырех опытных точек N=23-1=22=4 Ядром плана является ПФЭ-22, на основе которого можно определить модель

Если взаимодействие x1x2 статистически незначимо, то соответствующий столбец в плане ПФЭ-22 (см. таблицу 2.1) можно использовать для включения некоторого нового фактора X3 – построить план ДФЭ-23-1. ДФЭ-23-1 является полурепликой ПФЭ-22 и позволяет получить трехфакторную модель y=b0+b1x1+b2x2+b3x3 по результатам четырех опытов

Таблица 2.3 План эксперимента ДФЭ-23-1

№ опыта	Переменные	Yu
X0	X1	X2	X3= X1 X2
1	+	-	-	+	Y1
2	+	+	-	-	Y2
3	+	-	+	-	Y3
4	+	+	+	+	Y4

Построение плана ДФЭ-24-1