Статистические методы в инженерых исследоваиях. Специальные главы математики (стр. 5 )

Эти величины определяются по формулам (1.11), например:

(3.1)

где m - число повторов.

Полученные данные заносятся в таблицу 3.1 и используется в дальнейшей обработке данных.

3.4. Исключение грубых ошибок

Грубые ошибки и промахи искажают результаты эксперимента и поэтому должны быть исключены. Имеется несколько способов исключения промахов, но чаще используется r-критерий. В соответствии с этим критерием данные строки, в которой подозревается промах, ранжируются, т. е. располагаются в возрастающем порядке yu1<yu3<yu2<…<yum где m – число параллельных опытов. Одно из крайних значений, например, yu1 считается подозрительным или промахом, если оно далеко отстоит от всех остальных. В этом случае необходимо проверить основную статистическую гипотезу H0:yu1 принадлежит остальной совокупности. Альтернативной гипотезой является гипотеза H1:yu1 не принадлежит остальной совокупности, т. е. его резкое отличие объясняется промахом в работе.

Доля проверки гипотезы H0 определяется расчетное значение критерия:

(3.2)

если сомнительным считается наименьшее в строке значение yu1 и

(3.3)

если сомнительным считается наибольшее в строке yum. Величина rkp по числу степеней fu=m-1 уровню значимости берется из таблицы r-распределения (см. приложение 1). Если расчетное значение rmin или rmax окажется меньше rkp гипотеза H0 принимается с надежностью вывода p=1-a т. е. сомнительное крайнее значение отклика считается принадлежащим остальному ансамблю yuj. В противном случае при rmin или rmax> rkp гипотеза H0 в отклоняется, т. е. резко выделяющиеся выборки yu1 или yum из дальнейшей обработки исключаются и в данной строке остается (m-1) наблюдений. Это приводит к нарушению условия ортогональности эксперимента, что затрудняет использование метода наименьших квадратов. Поэтому для применения стандартных процедур обработки данных надо исключить наблюдение, признанное промахом и провести в этой точке дополнительное измерение.

3.5. Проверка однородности построчечных дисперсий

Цель проверки – определить, являются ли измерения отклика во всех точках (строчках) плана равноточными или нет. Если разброс yuj в некоторой u-й строчке объясняется не только ошибкой измерения, но и шумом самого объекта исследований, проверяется однородность рассеивания, обусловленная обеими причинами. Понятие однородность нескольких оценок дисперсий S21, S22 означает, что все величины S2u являются оценками – одной и той же дисперсии s2u, которая называется дисперсией воспроизводимости или дисперсией опытов. В этом случае различия между оценками S2u, u=1,2,3,…,N объясняются их случайным характером, т. к. всякая статистика – случайная величина.

Дня проверки однородности оценок S2u применяют f-критерий, критерий Кохрена G и реже критерий Бартлетта. Строже работает критерий Кохрена, когда число поворотов во всех строках постоянно: m=const , u =1,2,...,N:

(3.4)

где S2u max – наибольшая построчная дисперсия.

С величиной G связаны два параметра fu=m-1 – число степеней свободы дисперсии S2u max; f∑ = N – число степеней свободы суммы, стоящей в знаменателе. По числам fu и f∑ и уровню значимости a (обычно =0,05) из распределения Кохрена (см. приложение 1) находят Gkp. Гипотеза об однородности дисперсий принимается, если Gp<= Gkp. При Gp> Gkp дисперсии признаются не однородными и принимаются меры для достижения их однородности, например, стабилизацией условий эксперимента, использованием одного и того же прибора для измерения отклика и т. д.

3.6. Дисперсия воспроизводимости

Выполнение требования однородности построчных дисперсий позволяет определить дисперсию воспроизводимости как среднеарифметическое построчных дисперсией:

(3.5)

Величина Sy=ÖS2y является оценкой среднеквадратического отклонения и называется ошибкой опытов.

Формула (3.5) может применяться, если в каждой строке проведено m>1 параллельных опытов. Если m=1, т. е. в каждой строке проведен один опыт, то дисперсию воспроизводимости можно определить по ряду параллельных опытов в одной и той же области эксперимента, например, в центре локальной области исследования. После проведения m опытов дисперсию воспроизводимости находят по (1.9 или 1.11).

В некоторых лабораторных экспериментах (на ЦВМ, например) повторные измерения в отдельных точках плана дают один и тот же результат. Тогда для расчета дисперсии воспроизводимости можно воспользоваться метрологическими характеристиками измерительных приборов и устройств.

В паспортных данных приборов указывается класс точности (К, % от предела измерения Ашк). Это позволяет определить максимальную ошибку измерения

(3.6)

Случайная ошибка прибора подчиняется нормальному закону распределения. В машиностроении считается, что rmax=3sy, при этом вероятность попадания в интервал – 3sy<=y<=3sy, P=0,9973 и является технической единицей.

В радиоэлектронной аппаратуре стабильность активных и пассивных элементов значительно ниже и надежность Р=0,95 вполне приемлема. Для данной вероятности rmax=2sy. Подставляя rmax в выражение (3.6), получаем

или (3.7)

По метрологическим характеристикам вычисляется не оценка S2y, а дисперсия s2y.

3.7. Вычисление bi коэффициентов и проверка их значимости

Определение bi-коэффициентов состоит в отыскании точечных оценок bi-коэффициентов параметров теоретической модели (2.2). В результате расчета bi-коэффициентов и проверки их статистической значимости получается эмпирическое уравнение регрессии – математическая модель (2.3).

Для расчета bi-коэффициентов используется общая процедура метода наименьших квадратов (МНК), а так же формализованные алгоритмы, например, метод Иэтса.

На основе метода наименьших квадратов

B=(XT·X)-1·XT·Y (3.8)

Развертывая выражение (3.8) на примере двухфакторного эксперимента, получим:

- диагональная матрица;

XT·X= x =

- диагональная матрица при обращении матрица становится диагональной

(XT·X)-1=

 

XT·Y= x =

B = = x

Отсюда

b0=(y1+y2+y3+y4)/4; b2=(-y1-y2+y3+y4)/4;

b1=(-y1+y2-y3+y4)/4; b3=(y1-y2-y3+y4)/4;

Или в общем виде для ортогональных планов имеем

(3.10)

где - величина, расположенная на пересечении i-го столбца и u-й строки матрицы планирования.

Если опыты ставятся в соответствии с планом ПФЭ-2K, то для расчета коэффициентов регрессии удобно использовать формализованную схему, предложенную Иэйтсом. Согласно этой схеме, вычисляют сначала парные суммы y1+y2; y3+y4 и так далее для всех yu, затем разности y2-y1; y4-y3 и так далее так же для всех yu, располагая результаты в такой же вертикальный столбец рядом с вектором-столбцом yu (1-й шаг в таблице 3.2). С полученными таким образом 2 значениями повторяют операции попарного сложения и вычитания и строят следующий столбец. Общее число таких столбцов должно равняться (К+ 1), включая исходный вектор-столбец результатов yu, Результаты последнего столбца, деление на число опытов в матрице, и будут оценками для коэффициентов регрессии bi.

Полученные оценки коэффициентов модели являются независимыми друг от друга. Их численные значения и знаки указывают на силу и характер влияния факторов. Чем больше величина коэффициента, тем больше влияние оказывает фактор на параметр оптимизации. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается, а если минус, то уменьшается.

Проверка правильности численного расчета bi коэффициентов проводится по формуле:

(3.11)

Таблица 3.2

Схема расчета коэффициентов регрессии по методу Иэйтса для ПФЭ-23

№	X1X2X3	yu	1 шаг	2 шаг	3 шаг	обозн. строк
1	- - -	Y1	Y1+Y2	Y1+Y2+Y3+Y4	Y1+Y2+Y3+Y4+Y5+Y6+Y7+Y8	“1”
2	+ - -	Y2	Y3+Y4	Y5+Y6+Y7+Y8	Y2-Y1+Y4-Y3+Y6-Y5+Y8-Y7	X1
3	- + -	Y3	Y5+Y6	Y2-Y1+Y4-Y3	Y3+Y4-Y1-Y2+Y7+Y8-Y5-Y6	X2
4	+ + -	Y4	Y7+Y8	Y6-Y5+Y8-Y7	Y4-Y3-Y2+Y1 Y8-Y7-Y6+Y5	X12
5	- - +	Y5	Y2-Y1	Y3+Y4-Y1-Y2	Y5+Y6+Y7+Y8-Y1-Y2-Y3-Y4	X3
6	+ - +	Y6	Y4-Y3	Y7+Y8-Y5-Y6	Y6-Y5+Y8-Y7-Y2+Y1-Y4+Y3	X31
7	- + +	Y7	Y6-Y5	Y4-Y3-Y2+Y1	Y7+Y8-Y5-Y6-Y3-Y4 +Y1+Y2	X32
8	+ + +	Y8	Y8-Y7	Y8-Y7-Y6+Y5	Y8-Y7-Y6+Y5-Y4+Y3+Y2-Y1	X321

Эффект взаимодействия, двух факторов называется эффектом взаимодействия первого порядка, взаимодействие трех факторов – взаимодействие второго порядка и т. д.

Из полного факторного эксперимента нельзя извлечь информацию о квадратичных членах модели, т. к. соответствующие оценки смешаны с b0. Действительно, в матрице, показанной в таблице 2.1, столбцы X21X22 (если их дописать) совпадают друг с другом и со столбцом X0. Поэтому нельзя сказать, за счет чего получена величина b0. Она включает значение свободного, члена и вклада квадратных членов. Для получения квадратичных членов моделей используют композиционные планы, так называемые центральные композиционные планы ЦКП.

Статистическая значимость bi-коэффициентов определяется по t-критерию Стьюдента. Для этого необходимо знать дисперсию коэффициентов S2bi. Дисперсия коэффициентов может быть определена с помощью выражений (3.12), если известна дисперсия воспроизводимости S2y (значения отклика во всех точках u=1,2,…,N; S21 = S22=S2N. В этом случае по теореме о дисперсии суммы независимых случайных величин из формул (3.1) имеем:

(3.12)

Находя значимость bi-коэффициентов, проверяем основную статистическую гипотезу H0:bI=M[bi]=0 против альтернативы H1:bI=M[bi]¹0. Значение t-критерия вычисляется по формуле:

(3.13)

Число степеней свободы t статистики tp равно числу степеней свободы дисперсии воспроизводимости S2y т. е. fp-fy=N(m-1).

Критическое значение tкр=tтабл берется из таблиц распределения Стьюдента по уровню значимости a и числу степеней свободы fy (см. приложение 1) . Условие принятия гипотезы Н0:

(3.14)

Или говоря другими словами – коэффициенты bi можно считать отличными от нуля (или, то же самое, значимыми), если:

(3.15)

Уровень значимости a характеризует степень достоверности выводов, сделанных на основании неравенства (3.15). Например, если принимаем достаточным 5% уровень значимости, то наше утверждение об отличии рассчитанного значения bi, от нуля будет справедливо с вероятностью 95%.

3.8. Проверка адекватности модели

Понятие «адекватность» является относительным и зависит от принятого критерия адекватности. В технике широкое применение имеет при оценке адекватности модели F-критерий Фишера. В основе этого критерия лежит сравнение двух видов рассеивания – рассеивания экспериментальных точек yui относительно построченных средних и рассеивания (разброса) построчечных средних относительно предсказанной по уравнению регрессии yu. Первое характеризуется формулой S2y (3.5) или

(3.16)

второе формулой

(3.17)

где l – число коэффициентов модели после оценки их значимости, - значение отклика, предсказанное по уравнению регрессии поверхности отклика (по модели), m – число параллельных опытов по строкам плана.

Расчетное значение критерия вычисляется по формуле:

(3.18)

Критическое или табличное значение берется из таблиц F-распределения (см. приложение 1) для уровня значимости a и степеней свободы Sy=N(m-1) и Saд =N-l.

Гипотеза адекватности принимается, если Fрасч<Fтабл. Модель, удовлетворяющая условию адекватности, может использоваться для дальнейшей работы. Если модель не удовлетворяет условию адекватности, то для уменьшения S2ад уменьшают пределы варьирования или переходят к планированию второго порядка (см. раздел 7.1).

Адекватность на основе F-критерия устанавливается при выполнении двух обязательных условий:

1. Количество параллельных опытов m>1, т. к. при m=0 не может быть использована формула (3.12)

2. Статистически значимых коэффициентов модели должно быть меньше, чем количество опытных точек (l<N), т. к. при l=N формула (3.17) не работает.

Проверка адекватности модели при m>1 и l=N. В этом случае предсказанное значение выхода в центре локальной области цп=b0. Действительное значение выхода в центре плана определяют, поставив m0 параллельных опытов в центре. Далее находят среднее цп и дисперсию отклика S2цп (последняя имеет степень свободы Sцп=m0-1), после чего по критерию Стьюдента определяется статистическая значимость отклонения

(3.19)

Если отклонение åцп, статистически незначимо, модель признается адекватной. Проверка адекватности при m=1 и l<N.

В этом случае формула (3.16) не работает. Поэтому в центре плана ставят m0 опытов, по которым вычисляют оценки и S2цп. Адекватность проверяется по F-критерию по формуле (3.17), где вместо оценки S2y берется S2y с числом степеней свободы fцп=m0-1.

Проверка адекватности модели по данным технического задания.

В технике широко применяется так называемый допусковый контроль, когда изделие или система считаются годными, если его определяющий (выходной) параметр находится в заранее установленных пределах. Такой контроль можно использовать при проверке адекватности модели.

При заданном допуске d модель считается адекватной, если |yu- u|<=d, т. е. для адекватности модели необходимо, чтобы абсолютная величина разности между фактическим и предсказанным значениями отклика во всех опытных точках u=1,2...,N и в центре плана была меньше d. Допусковый контроль, как правило, неизбежен при цифровом моделировании, когда повторные опыты дают один и тот же результат.

Если величина d заранее неизвестна, её можно приближенно определить по паспортным данным на элементы и характеристики объекта исследования.

4. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МОДЕЛЕЙ

4.1. Основные эффекты

Модели 2.3, полученные в результате реализаций ДФЭ-2K-p или ПФЭ-2K позволяет раскрыть существо изучаемых процессов. Если модель адекватна, то она может быть использована как интерполяционная формула для вычисления выхода в любой точке локальной области исследования. Для прояснения смысла коэффициентов bi в линейном уравнении рассмотрим однофакторную зависимость y=b0+b1x1.

Рис.4.1 Графическое представление функции

Рис.4.2. Результат факторного эксперимента, поставленного в специальной области

Рис.4.3. Результат факторного эксперимента при малых пределах варьирования

При адекватности линейной модели b0 характеризует значения выхода в центре локальной области исследований.

Величина коэффициента показывает, на сколько единиц изменяется выход при изменении фактора X1 на единицу варьирования. Из рис. 4.1 видно, что величина коэффициента модели определяет угол наклона прямой Y=b0+bo1x1.

На рис. 4.2 представлен случай, когда точка факторного 0 оказалась в почти стационарной области. Видно, что изменение фактора X1 от -1 до +1 приводит к незначительному изменению выхода. В этом случае коэффициент может оказаться статистически незначимым.

На рис 4.3 представлен, случай, когда выбранная единица варьирования слишком мала и изменение выхода так же мало и сравнимо с ошибкой в его определении. В этом случае коэффициент b1 может оказаться статистически незначимым. Для выяснения, какая именно из возможных причин незначимости коэффициентов имеет место в действительности, необходимо поставить два эксперимента: первый, в котором «незначимый» фактор будет исключен (убран) из системы; и второй – с измененными пределами варьирования.

Рис. 4.4. Интерпретация модели в нелинейной области функции отклика

На рис.4.4 показано значение выхода y0 в центре локальной области исследования и значение b0 модели, когда эксперимент проводится в нелинейной области функции отклика. Легко показать, что разность (y0-b0) является оценкой кривизны функции отклика, т. е. оценкой квадратичных членов регрессии.

Поэтому в общем случае . Наиболее объективной оценкой влияния факторов на выход является не коэффициент bi, а полученные экспериментально оценки выхода при переходе фактора с нижнего на верхний уровень. Эти оценки называются основными эффектами:

(4.2)

4.2. Понятие о взаимодействии в системе

Многофакторные исследования позволяют не только найти основные эффекты влияния факторов на выход системы, но и определить взаимодействия в системе факторов.