Статистические методы в инженерых исследоваиях. Специальные главы математики (стр. 9 )

2K(1-m)2-2m(a2–m)=(2k-4)m2+m2=0 (7.7)

Система уравнений (7.6 и 7.7) позволяет найти два неизвестных параметра m и a в зависимости от количества факторов «К» и количества опытных точек

(7.8)

Расчеты по (7.8) для некоторых видов ядра плана приведены в табл. 7.3, из которой видно, что при большом количестве факторов для сокращений объема работы целесообразно в качестве ядра ОЦКП брать планы ДФЭ-2K-p.

7.2 Вычисление bi - коэффициентов квадратичной модели

Столбцы структурной матрицы Х ОЦКП ортогональны, поэтому bi-коэффициенты определяются по общей формуле (3.7):

(7.9)

где в отличии от (3.7) знаменатель не остается постоянным при различных i. При двухфакторном ОЦКП значения помещены в последней строке табл. 7.2.

Вычисления по формуле (7.9) можно упростить, пользуясь частными формулами для трех видов коэффициентов – bi, bij, bii:

(7.10)

После определения bi–коэффициентов находим:

(7.11)

где К – число факторов, хi2 – преобразованная переменная, x’i=xi2–m.

Подставляя в уравнение (7.11) выражения для x’i, получаем уравнение регрессии в стандартной форме:

(7.12)

(7.13)

7.3. Статистический анализ уравнения регрессии второго порядка

По аналогии с линейным планированием статистический анализ уравнения второго порядка заключается в определении статистической значимости bi – коэффициентов модели (7.11) или (7.12) и дисперсии предсказанного значения отклика. Коэффициенты модели (7.11) статистически независимы, т. к. планирование ортогональное, а изменения отклика равноточные и независимые:

S2y1 = S2y2 = ……= S2yNц = S2y.

Определение статистической значимости bi-коэффициентов нелинейной модели аналогично операции, рассмотренной в разделе 3.7. Отличие состоит в том, что сумма (знаменатель в формуле 7.9) неодинакова для различных значений i. Сумму квадратов, кодированных переменных i-го столбца, стоящие в знаменателе формулы (7.9), для облегчения вычислений сведены в табл.7.4. Предполагаем, что построчечные дисперсии однородны для ОЦКП Sy2=Sy2/n (здесь число повторов обозначено через n, чтобы не смешивать со смещением m). Тогда

(7.14)

Таблица 7.4

Сумма квадратов

Столбец матрицы	Ядро плана	Выражение для суммы квадратов
ПФЭ		ДФЭ
22	23	24	25	25-1
Xou	9	15	25	47	27	2K+2K+1
Xiu	6	10,95	20	37,1	20,8	2K+2a2
Xiu×Xju	4	8	16	32	16	2K(ПФЭ); 2K-p(ДФЭ)
X’iu=X2iu-m	2	4,36	8	16,77	3,24	2K(1-m)2+2(a2-m)+2(K-1)m2

Подставляя формулы для из табл. 7.4, получим оценки дисперсий для коэффициентов квадратичной модели

(7.15)

Число степеней свобода fb для дисперсий всех коэффициентов будет одно и то же и равно числу степеней свобода fy дисперсии воспроизводимости Sy2:

fb = fy

В отличие от моделей ПФЭ и ДФЭ bi-коэффициенты квадратичной модели имеют разные дисперсии (см. 7.15). Это означает, что ОЦКП не обладает свойствами рототабельности.

Значимость b-коэффицивктов модели (7.12) проверяется по обычной методике. Задавшись уровнем значимости a, по fb=fy из таблиц находим tкр.=tтабл. и вычисляем произведение tкр.Sb=bкр. для четырех типов коэффициентов.

После отбрасывания статически незначимых b-коэффициентов, определяется дисперсия адекватности и проверяется адекватность модели одним из способов, изложенных в разделе 3.8.

Статистический анализ модели (7.12) отличается от анализа модели (7.11). В последней все коэффициенты статистически независимы, а в модели (7.12) коэффициент b0 коррелирован с коэффициентами при квадратах факторов, что видно из выражения (7.13). Его дисперсия не может быть определена по формуле (7.15-1), а вычисляется на основе выражения (7.13).

(7.16)

где S2bi и S2bii рассчитываются по формулам (7.15).

Дисперсию предсказанного значения определяем по уравнению (7.11), в котором все слагаемые независимы:

(7.17)

Оценки дисперсий, стоящих в правой части, определяются по формулам (7.15). При этом число степеней .

7.4. Каноническая форма уравнений второго порядка

В общем случае планирование второго порядка позволяет получить уравнение второй степени «К» переменных

(7.18)

Среди «К» переменных всегда можно выделить интересующие исследователя две переменных, например х1 и х2. Тогда в трехмерном пространстве уравнение

(7.19)

описывает некоторую поверхность второго порядка. В аналитической геометрии доказывается что переносом и поворотом, системы координат уравнение второй степени (7.19) можно привести к виду

(7.20)

который называется канонической формой уравнения второго порядка.

Переход от уравнения (7.19) к канонической форме (7.20) осуществляется в три этапа:

1. Сначала определяется стационарная точка х1 ст. и х2 ст. т. е. точка, где частные производные и о6ращаются в нуль. Затем вычисляется значение отклика в стационарной точке и система координат переносится в стационарную точку х1 ст.,х2 ст., которая представляет максимум, минимум или седловую точку (минимакс). На третьем этапе система координат поворачивается на некоторый угол так, чтобы оси совместились с главными осями ZO1Z2, в которых записывается каноническая форма уравнений (7.20).

Рассмотрим переход к канонической форме в общем виде на примере уравнения (7.18).

Определение стационарной точки. Из (7.20) получаем систему уравнений:

(7.21)

Рис.7.3. Преобразование координат для получения канонической формы кривой

Отсюда находим координаты стационарной точки

(7.22)

которые удовлетворяют системе (7.23).

2. Вычисление значения отклика в стационарной точке. Из уравнения (7.19) следует

(7.23)

Введем систему координат OU1U2, начало которой помещается в стационарной точке 0. На рис. 7.3. показана исходная и новая системы координат, между которыми имеют место соотношения

U1=X1-X1ст., U2=X2-X2ст. или X1=U1+X1ст., X2=U2+X2ст.

Подставляя в уравнение (7.18) последние два выражения, получаем однородный многочлен второй степени

(7.24)

который называется квадратичной формой переменных u1 и u2.

3.Переход от квадратичной формы (7.24) к канонической (7.20)

Воспользуемся матричной формой записи уравнения (7.24)

или в общем виде , где U – вектор-столбец независимых переменных; В – матрица квадратичной формы.

В теории матриц доказывается, что коэффициенты li в уравнении (7.20) являются собственными значениями матрицы B, т. е. корнями характеристического уравнения

(7.25)

где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица квадратичной формы.

Для случая двух переменных характеристическое уравнение (7.25) имеет вид

(7.26)

Коэффициенты канонической формы (7.20) определяются как корни характеристического уравнения (7.26). Каноническая форма позволяет установить вид поверхности отклика.

Приложение 1

Таблица 1

Значение критерия Стьюдента (t-критерий)

Число степеней свободы	Уровни значимости	Число степеней свободы	Уровни значимости
10%	5%	1%	10%	5%	1%
1	6,31	12,71	63,66	18	1,73	2,10	2,88
2	2,92	4,30	9,93	19	1,73	2,00	2,86
3	2,35	3,18	5,84	20	1,73	2,09	2,85
4	2,13	2,78	4,60	21	1,72	2,08	2,83
5	2,02	2,57	4,03	22	1,72	2,07	2,82
6	1,94	2,45	3,71	23	1,71	2,07	2,81
7	1,90	2,37	3,50	24	1,71	2,06	2,80
8	1,86	2,31	3,36	25	1,71	2,06	2,79
9	1,83	2,26	3,25	26	1,71	2,06	2,78
10	1,81	2,23	3,17	27	1,70	2,05	2,77
11	1,80	2,20	3,11	28	1,70	2,05	2,76
12	1,78	2,18	3,06	29	1,70	2,04	2,76
13	1,77	2,16	3,01	30	1,70	2,04	2,75
14	1,76	2,15	2,98	40	1,68	2,02	2,70
15	1,75	2,13	2,95	60	1,67	2,00	2,66
16	1,75	2,12	2,92	120	1,66	1,98	2,62
17	1,74	2,11	2,90		1,65	1,96	2,58

Число степеней свободы f=N-1, где N – число опытов в матрице исследований.