Статистические методы в инженерых исследоваиях. Специальные главы математики (стр. 8 )

Комбинации факторов в опытах №12 и 14, в которых достигнут максимальный выход процесса, является оптимальной на данном этапе исследования. В этих опытах получено примерно 3-кратное увеличение выхода по сравнению с исходной точкой (центром эксперимента).

7. ИССЛЕДОВАНИЕ ОТКЛИКА В ОБЛАСТИ ЭКСТРЕМУМА

Неадекватность линейной модели является характерным признаком выхода в область экстремума. Для описания области экстремума применяются полиноминальные модели с учетом квадратов, а иногда и более высоких степеней факторов, которые позволяют установить точное положение экстремума методами аналитической геометрии. Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай построения поверхности второго порядка. Любая такая поверхность описывается уравнением второго порядка.

Чтобы построить полином, содержащий квадраты факторов, требуется каждый фактор варьировать не менее чем на трех уровнях. Если при этом плану эксперимента необходимо придать некоторые свойства (ортогональности, рототабельности), опытные точки в факторном пространстве следует расположить специальным образом.

Ортогональное планирование, предназначенное для построения квадратичных моделей, называют ортогональным планированием второго порядка. Если необходимо обеспечить постоянство дисперсии предсказанного значения отклика Sy2 на сфере радиуса r=(åxi2)1/2, применяется рототабельное планирование второго порядка. В данном курсе рассматривается только ортогональное планирование второго порядка, как наиболее простое и обладающее наименьшей трудоемкостью.

7.1. Ортогональное планирование второго порядка

Полином второго порядка в общем случае содержат первые и вторые степени переменных и все возможные их парные произведения, т. е. полином «К» переменных имеет N2 коэффициентов

N2=C2K+2K+1 (7.1)

где CK2=(K-1)K/2! – число сочетаний из К элементов по два. Так, при К=2, N=1+4+1=6:

Y=b0+b1x1+b2x2+b12x1x2+b11x12+b22x22,

а при К=3, N=3+6+1=10:

Y=b0+b1x1+b2x2+b12x1x2+b3x3+b13x1x3+b23x2x3+b11x12+b22x22+b33x32.

Для построения таких полиномов можно применить трехуровневый полный факторный эксперимент ПФЭ-3K, при котором необходимо поставить N=3 опытов. Величина N3 всегда больше N2 и разность (N3-N2) быстро возрастает при увеличении К. Поэтому вместо ПФЭ-3K используются различные композиционные планы, которые обладают меньшей избыточностью опытных точек и дают практически тот же результат при меньших затратах времени и затрат средств.

За основу, или ядро композиционного плана принимается план ПФЭ-2K (ПФЭ-2K-p). Ядро плана снабжается дополнительными или звездными точками. Если эти точки расположены симметрично относительно центра плана на окружности или сфере диаметром a, план называется центральным. Ортогональные центрально-композиционные планы (ОЦКП) имеют

Nц=2K+2K+1 (7.2)

опытных точек, где 2K – число точек ПФЭ-2K; 2K – число звездных точек; 1 – одна точка берется в центре плана (см. рис.7.1).

Рис.7.1 Опытные точки ОЦКП двухфакторного эксперимента

Величину d/2=a называют звездным плечом. С увеличением факторов «К» отношение N3/Nц быстро возрастает (см. табл.7.1)

Таблица 7.1

Значения N2, N3, Nц

N	Число факторов K
	2	3	4	5	6
N2=C2K+2K+1	6	10	15	21	28
N3=3K	9	27	81	247	729
N4=2K+2K+1	9	15	25	43	77

Следовательно, ОЦКП обладает меньшей трудоемкостью по сравнению с ПФЭ-3K. План ОЦКП включает в себя все точки ПФЭ-3K (рис.7.1), по две звездочки на каждой оси и одну центральную точку.

Рассмотрим матрицу планирования Xn и структурную матрицу ЦПКП для отклика, зависящего от двух факторов:

(7.3)

В графах 4, 5 табл. 7.2 записан план Хn, изображенный на рис.7.1, а в графах 3-8 структурная матрица.

Таблица 7.2

ОЦКП план Хn и структурная матрица для двух факторов

U	Тип точки	Xou	Xп	X11u=X21u-m	X22u= X22u-m	X1u	yu
X1u	X2u
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	Ядро плана ПФЭ-22	+	-	-	1-m	1-m	+	Y1
2	+	+	-	1-m	1-m	-	Y2
3	+	-	+	1-m	1-m	-	Y3
4	+	+	+	1-m	1-m	+	Y4
5	Звездные точки	+	-a	0	a2-m	-m	0	Y5
6	+	+a	0	a2-m	-m	0	Y6
7	+	0	-a	-m	a2-m	0	Y7
8	+	0	+a	-m	a2-m	0	Y8
9	Центр плана	+	0	0	-m	-m	0	Y9
	åx2iu	9	6	6	2	2	4

ОЦКП включает ПФЭ-2K или ДФЭ-2K-p (табл.7.2; К=2), который называют ядром плана. Затем идут 2K звездных точек и одна точка в центре плана. Отклик yu измеряется при всех наборах факторов в соответствии с план-матрицей Хn.

В структурной матрице, соответствующей плану Хn и уравнению (7.3), преобразуются столбцы квадратов факторов (графы 6,7). Цель преобразования состоит в том, чтобы обеспечить условия симметрии (2.5)

i =1,2,3,…,k. (7.4)

и ортогональности (2.7)

(7.5)

столбцов структурной матрицы X.

Выполнение условий (7.4 и 7.5) обеспечивается соответствующим выбором звездного плеча a и параметра смещения m. Подставляя в уравнение (7.4) значения xiu2, находим

2k+2a2-Nцm=0 (7.6)

Ядро плана	Кол - во	a	m
ПФЭ-22	9	1, 0000	2/3=0,667
ПФЭ-23	15	1,1215	2/15=0,730
ПФЭ-24	25	1,4140	0,200
ПФЭ-25-1	27	1,5470	0,770
ПФЭ-25-2	43	1,5960	0,863
ПФЭ-26-1	45	1,7240	0,843

Перемножая столбцы x’iu, x’ju, в общем случае получим еще одно уравнение