Статистические методы в инженерых исследоваиях. Специальные главы математики (стр. 6 )

Смысл, например, парного взаимодействия можно рассмотреть на простейшей модели У=10+2X4+3X2+X1X2 (таблица 4.1).

Сопоставим результаты опытов u=1 и u=2, в которых фактор X1 перемещается с нижнего на верхний уровень при постановке уровня X2 результатами опытов u =3 и u =4, в которых такой же переход совершается при верхнем уровне X2 .

Таблица 4.1

Пример влияния парного взаимодействия

u	X1	X2	X1 X2	=10+2X1+3X2+X1X2
1	-	-	+	10 – 2 - 3 + 1 = 6
2	+	-	-	10 + 2 – 3 - 1 =8
3	-	+	-	10 - 2 + 3 – 1 -10
4	+	+	+	10 + 2 + 3 + 1 =16

Основной эффект в опытах u=1 и 2

B­­-1=8-6=2,

а в опытах u=3 и 4

B+1=16-10=6,

Аналогично основной эффект фактора X2 в опытах u=1 и 3 (в которых фактор X1 находится на нижнем уровне)

B-2=10-6=4,

а в опытах u=2 и 4

B2+=16-8=8,

Сопоставление результатов показывает, что эффект каждого из рассматриваемых факторов зависит от того, на каком уровне находится другой, взаимодействующий с ним фактор.

Если в рассматриваемом примере отсутствовало бы взаимодействие между факторами, т. е. y=10+2X1+3X2, то величина основного эффекта каждого из факторов не зависала бы от того, на каком уровне находится второй:

B-1=9-5=4,

B+1=15-11=4,

B-2=11-5=6,

B+2=15-9=6.

4.3. Понятие частного эффекта

При рассмотрении примера в разделе 4.2. видно, что коэффициенты модели bi являются лишь средними оценками влияния соответствующих факторов на процесс. Действительно, основной эффект фактора по (4.1) для нашего примера

B01=2b1=4

в то же время, как переход X1 с нижнего на верхний уровень при верхнем уровне X2 вызывает увеличение выхода на 6 единиц (B+1=6) Если фактор X2 находится на нижнем уровне, то В-1=2.

Таким образом, при наличии в системе парного взаимодействия мы можем характеризовать влияние каждого фактора только в связи с уровнем другого, взаимодействующего с ним.

Эффект фактора, определенный при фиксированном уровне взаимодействующего с ним другого фактора, называется частным эффектом.

Частный эффект можно рассчитать по формуле:

(4.2)

4.4. Интерпретация возможных вариантов парных взаимодействий.

1-й вариант: Выше был рассмотрен случай положительного взаимодействия двух положительно действующих факторов. Рассмотренный пример свидетельствует, что при наличии в системе двух положительных факторов действие каждого из них усиливается при повышении уровня второго.

2-й вариант: Модель: Y=10+2X1+3X2-X1X2 (взаимодействие отрицательное), Тогда частные эффекты будут:

Таким образом, при наличии в системе отрицательного взаимодействия двух положительных факторов положительный эффект каждого из них ослабляется при повышении уровня второго.

3-й вариант: Модель: Y=10-2X1-3X2+X1X2, что соответствует положительному взаимодействию двух отрицательных факторов. Тогда

Таким образом, при наличии в системе положительного взаимодействия двух отрицательных факторов отрицательный эффект каждого из них ослабляется при повышении уровня второго.

4-й вариант: Модель: Y=10-2X1-3X2-X1X2, что соответствует отрицательному взаимодействию двух отрицательных факторов. Тогда

т. е. при наличии в системе отрицательного взаимодействия двух отрицательных факторов отрицательный эффект каждого из них усиливается при повышении уровня второго.

5-й вариант: Модель: Y=10-2X1+3X2+X1X2. Тогда

т. е. при наличии в системе положительного взаимодействия отрицательного и положительного факторов эффект отрицательного фактора ослабляется при повышений уровня положительного фактора, а эффект положительного фактора усиливается при повышении уровня отрицательного фактора.

6-й вариант: Модель: Y=10-2X1 +3X2 - X1X2. Тогда

т. е. при наличии в системе отрицательного взаимодействия отрицательного с положительным фактором эффект положительного фактора, ослабляется при повышении уровня отрицательного фактора, а отрицательный эффект отрицательного фактора усиливается при повышении уровня положительного фактора.

7-й вариант: Модель: Y=10+2X1+X1X2, что соответствует наличию положительного взаимодействия положительного фактора с некоторым другим фактором, не имеющим значимого линейного коэффициента, b2=0 (т. е. «несущественный» фактор). Тогда

т. е. при наличии в системе положительного взаимодействия положительного фактора с «несущественным» фактором эффект положительного фактора возрастает, а при повышении уровня положительного фактора «несущественный» фактор меняется с отрицательного на положительный.

8-й вариант: Модель: Y=10-2X1+X1X2. Тогда

т. е. наличие в системе положительного взаимодействия отрицательного фактора с «несущественным» фактором эффекта отрицательного фактора, ослабляется при увеличении уровня «несущественного» фактора, а эффект «несущественного» меняется с отрицательного на положительный при повышении уровня отрицательного фактора.

9-й вариант: Модель: Y=10+2X1 -X1X2. Тогда

т. е. при наличии в системе отрицательного взаимодействия положительного фактора с «несущественным» фактором эффект положительного фактора ослабляется при повышении уровня «несущественного» фактора, а влияние «несущественного» фактора меняется с положительного на отрицательней при повышении уровня положительного фактора.

10-й вариант: Модель: Y=10-2X1 -X1X2. Тогда

т. е. при наличии в системе отрицательного взаимодействия отрицательного фактора с «несущественным» отрицательный эффект фактора усиливается при повышении уровня «несущественного» фактора, а влияние «несущественного» фактора меняется с положительного на отрицательное.

11-й вариант: Модель: Y=10+X1X2. Тогда

т. е. при наличии в системе положительного взаимодействия двух «несущественных» факторов повышение уровня любого из них вызывает изменение другого с отрицательного на положительное.

12-й вариант: Модель: Y=10 -X1X2. Тогда

т. е. при наличии в системе отрицательного взаимодействия двух «несущественных» факторов повышение уровня любого из них вызывает изменение другого с положительного на отрицательное.

Анализируя приведенные двенадцать возможных вариантов моделей, включающих значимые парные взаимодействия, нетрудно заметить, что в общем случае положительное взаимодействие двух факторов усиливает положительный эффект и ослабляет отрицательный эффект одного из взаимодействующих факторов при переходе второго фактора с нижнего на верхний уровень независимо от знака и величины коэффициента второго фактора.

5. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА В УСЛОВИЯХ НЕУПРАВЛЯЕМОГО ВРЕМЕННОГО ДРЕЙФА.

5.1. Общие положения

Статистические методы планирования эксперимента позволяют получить математическое описание сложных объектов в виде некоторого полинома (2.3). В разделе 2 изложены методы построения моделей с использованием ПФЭ-2K и ДФЭ-2K-р. Применение этих методов предполагает управляемость объекта по каждому исследуемому фактору и воспроизводимость параллельных опытов, т. е. стационарность свойств объекта за время эксперимента. Однако в реальных объектах имеется целый ряд неуправляемых факторов, таких, как старение аппаратуры, колебание состава сырья, изменение активности катализатора и т. п. Исследователь вынужден планировать эксперимент в условиях неоднородности, исключая влияние дрейфа и неоднородности при оценке, коэффициентов регрессии. Однако это удается сделать только в том случае, если вид (характер) дрейфа известен заранее.

Обычно предполагают, что дрейф действует независимо и не взаимодействует с факторами, варьируемыми в процессе эксперимента. Такой дрейф можно интерпретировать как смещение математической модели – поверхности отклика без деформации самой поверхности. При экспериментировании на таком объекте выход представляет сумму выхода математической модели временного дрейфа j(t) и некоторого нормального шума с нулевым центром распределения и ограниченной дисперсией:

(5.1)

Сам дрейф может быть представлен в виде дискретного дрейфа, либо некоторой непрерывной функции.

5.2. Планирование эксперимента, ортогонального дискретного дрейфу

Для исключения дискретного (ступенчатого) дрейфа обычную матрицу эксперимента разбивают на ортогональные группы – такие группы опытов, в пределах которых величина дрейфа постоянна (выполняется условие стационарности внутри блоков) и имеется лишь при переходе от блока к блоку. Разбиение проводится с учетом требования ортогональности вектор-столбцов планирования как между собой, так и к вектору дрейфа в пределах каждого, блока. В частности, при исследованиях с помощью планов ПФЭ-2 для получения полиминальной модели независимо от дрейфа обычную матрицу ПФЭ разбивают на р-блоков

(5.2)

таким образом, чтобы в пределах каждого u-блока выполнялось условие ортогональности (2.7). Такое условие удовлетворяется при использовании в качестве блоков дробных ДФЭ, так, чтобы коэффициент дискретного дрейфа был смешан только с коэффициентом взаимодействий высших порядков.

Допустим, что изучается трехфакторный процесс, и исследователя интересуют не только линейные коэффициенты, но и парные взаимодействия, при этом имеет место дрейф, обусловленный неоднородностью сырья. Предполагается провести ПФЭ-23 с реализацией четырех опытов на одной партии сырья, а оставшихся четыре – на другой. Процедура разбиения матрицы планирования 2 на блоки состоит в следующем:

1) первый блок строят как матрицу ДФЭ-23-1 с генерирующим соотношением X3=X1X2;

2) второй блок строят как матрицу ДФЭ-23-1 с другим генерирующим соотношением X3= - X1X2;

3) вводят четвертую независимую переменную, характеризующую межблоковый дрейф Рбл.= X3X1X2.

Таблица 5.1

Матрица планирования при дискретном дрейфе

u	X0	X1	X2	X3	X1X2	X1X3	P = X1X2X3	Номер блока	Yu
1	+	-	-	+	+	-	+	I	Y1
2	+	+	-	-	-	+	+	Y2
3	+	-	+	-	-	-	+	Y3
4	+	+	+	+	+	+	+	Y4
5	+	-	-	-	+	+	-	II	Y5+DYt
6	+	+	-	+	-	-	-	Y6+DYt
7	+	-	+	+	-	+	-	Y7+DYt
8	+	+	+	-	+	-	-	Y8+DYt

Очевидно, что по самому принципу построения вектор-столбцы каждого блока ортогональны; две дробные реплики образуют матрицу ПФЭ-2K. Ортогональность вектор-столбцов варьируемых факторов и дрейфа позволяют получить раздельные оценки коэффициентов регрессий. Матрица планирования с разбиением на блоки приведена в таблице 5.1. Эксперимент в точках факторного пространства, принадлежащих первому блоку, дает возможность получить, значения Y1 Y2 Y3 Y4 выгодной величины, а реализация второго блока несет информацию о величинах Y5+rYt , Y6+rYt , Y7+rYt , Y8+rYt , где rYt – изменение отклика, обусловленное сменой сырья (т. е. дискретным дрейфом).