УМО для подготовки кадров по программам высшего профессионального образования для тематического направления ННС «Композитные наноматериалы» (стр. 5 )

В качестве IFS применяют не только аффинные, но и другие классы простых геометрических преобразований (проективные, квадратичные преобразования на плоскости и т. п.).

Построим IFS для кривой Кох, приведенной на рис. 5.1. Для нахождения IFS изобразим первое поколение фрактала на сетке координат, соответствующих, например, сетке координат дисплея (640 ´ 350). Эта кривая имеет 4 фрагмента, подобных целой кривой AB, BC, CD и DE с координатами точек, представленными на рис. 5.3.

		x	y
A	20	300
B	220	300
C	320	127
D	420	300
E	620	300
Рис. 5.3. Заготовка для построения IFS кривой Кох

Для ее построения требуется набор аффинных преобразований, состоящий из четырех преобразований:

A: x' = 0,333x + 13,333; y' = 0,333y + 200;
B: x' = 0,167x + 0,289y + 130; y' = – 0,289x + 0,167y + 256;
C: x' = 0,167x – 0,289y + 403; y' = 0,289x + 0,167y + 71;

D: x' = 0,333x + 413,333; y' = 0,333y + 200.

Координаты точек A, B, C и D получаются при подстановке координат точки А в IFS. В следующей итерации получается 16 точек и т. д.

Результат применения этого аффинного коллажа после десятой итерации можно увидеть на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Кривая Кох, построенная с помощью IFS в прямоугольнике (640 × 350)	Рис. 5.5. Заготовка для построения IFS дракона Хартера–Хейтуэя

В качестве другого примера использования IFS для построения фрактальных структур, рассмотрим "дракона Хартера–Хейтуэя". Образующим элементом этого фрактала являются два равных отрезка AB и BC, перпендикулярных друг другу. В нулевом приближении начальный единичный отрезок AC заменяется на образующий элемент так, чтобы угол был сверху (рис. 5.5). При построении последующих поколений выполняется следующий алгоритм: самое первое звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась вправо от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться.

Построим IFS для дракона Хартера–Хейтуэя. Для этого расположим первое поколение этого фрактала также на сетке координат дисплея
(640 ´ 350). Обозначим точки получившейся ломаной буквами A, B, C. По правилам построения у этого фрактала две части, подобные целому (на рис. 5.5 это ломаные ADB и BEC). Зная координаты концов этих отрезков, можно вычислить коэффициенты двух аффинных преобразований, переводящих ломаную ABC в ADB и BEC:

x' = – 0,5x – 0,5y + 490,
y' = 0,5x – 0,5y + 120;

x' = 0,5x – 0,5y + 340,
y' = 0,5x + 0,5y – 110.

Задавшись начальной стартовой точкой (например: x = 0, y = 0) и итерационно действуя на нее этой IFS, после десятой итерации на экране получим фрактальную структуру, изображенную на рис. 5.6, – дракон Хартера–Хейтуэя.

Другим простым способом построения геометрических фракталов является метод L-систем, разработанный Аристидом Линденмайером. Биолог по образованию, Линденмайер предложил метод описания сложных природных объектов и процессов с помощью простых составляющих и некоторых правил их преобразования. При этом он использовал определенную формальную грамматику, опирающуюся на правила генерации и преобразования символьных строк.

Рис. 5.6. Дракон Хартера–Хейтуэя, построенный с помощью IFS в прямоугольнике (640 ´ 350)

Пусть имеется некоторая состоящая из произвольных символов строка, называемая аксиомой, и набор строк, называемых правилами. Каждое правило имеет вид символ → строка. Например:

аксиома: abc;

правила: a → ab; b → a.

Сначала (на нулевом шаге) положим результирующую строку равной аксиоме. Далее начнем просматривать строку слева направо. Если очередной символ не задает никакого правила, то он просто переносится в новую результирующую строку. Если же очередной символ является первым символом одного из правил, то он заменяется на строку из соответствующего правила. Для рассмотренного примера:

нулевой шаг: a с b, результирующая строка: aсb;

первый шаг: ab с а, результирующая строка: abca;

второй шаг: ab а с ab, результирующая строка: abacab;

третий шаг: ab а ab с ab a, результирующая строка: abaabcaba;

и так далее.

Линденмайер рассматривал L-системы как формальное средство описания развития биологических объектов, но позже они нашли применение в компьютерной графике. Оказалось, что с их помощью очень удобно рисовать фракталы и различные природные объекты с самоподобной структурой. Метод построения графических объектов с помощью L-систем еще называют "черепашьей графикой" (turtle geometry).

Пусть имеется некоторый исполнитель ("черепашка"), который может выполнить набор команд. Черепашка перемещается по плоскости. Ее текущее состояние задается координатами х, у и углом а, определяющим направление, в котором она ползет. Предположим, что у черепашки есть память, организованная в виде стека (т. е. она может запомнить несколько значений, но вспоминать их она будет в обратном порядке: то, что запомнила последним, вспомнит первым, то, что запомнила предпоследним, вспомнит вторым и т. д.). Пусть начальное положение черепашки задается координатами x0, y0 и направлением движения а0. Кроме того, пусть задано значение шага h, на который черепашка перемещается по команде "вперед", и угол b, на который она поворачивается по команде "повернуть направо" или по команде "повернуть налево".

Пусть черепашка умеет выполнять следующие команды (каждая команда кодируется одним символом):

"F" – ползти вперед;

"f" – ползти вперед, но не рисовать;

"+" – повернуть направо;

"–" – повернуть налево;

"[" – запомнить текущую позицию;

"]" – возврат в запомненную позицию.

Скобки "[" и "]" могут быть вложенными.

Программой для черепашки является строка, в которой кроме указанных символов могут встречаться и любые другие. Черепашка просматривает строку-программу символ за символом. Команды она выполняет, а символы, не являющиеся командами, пропускает. Например, для построения равностороннего треугольника угол поворота равен 60°, шаг – длине стороны треугольника, а команды будут следующими: "F+F+F".

Но это еще не все. Для описания фрактала на языке L-системы нужно задать аксиому, которая определяет фрактал нулевого уровня (начальное положение системы) и правила замен (их может быть несколько).

Например, для кривой Кох:

аксиома – "F";

правило – "F=1/3 F", "F=F–F++F–F".

В начале (на нулевом шаге) система строит фрактал нулевого порядка (в данном случае "F" – просто отрезок). Затем на каждом следующем шаге команды заменяются согласно заданным правилам. Для кривой Кох на нулевом шаге получаем "F", на первом – "F–F++F–F", на втором –
"F–F++F–F–F–F++F–F++F–F++F–F–F–F++F–F" и т. д. Для построения совершаем несколько шагов, а затем заставляем черепашку двигаться согласно полученным командам.

Фракталы могут иметь значения D как больше 1, так и меньше 1. Примером такого фрактального множества является "канторова пыль". Построение такого фрактала отличается от построения фрактала Кох тем, что на n-м шаге осуществляется не добавление, а удаление n интервалов длиной . На рис. 5.7. приведено несколько положений предфракталов Кантора.

Фрактальную размерность D в литературе часто называют размерностью Хаусдорфа–Безиковича (по именам ученых впервые описавших ее). Значение размерности Хаусдорфа–Безиковича для канторовского множества D = ln 2 / ln 3 ≈ 0,631.

Самая крупная группа фракталов – алгебраическая. Получают эти фракталы с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах.

Наиболее изучены двумерные процессы. При интерпретации нелинейных итерационных процессов как дискретных динамических систем широко используется терминология этих систем: фазовый портрет, аттрактор и т. д.

Рис. 5.7. Построение триадного фрактала Кантора геометрическим способом

Если динамика колебательного контура определяется двумя переменными (например, током в контуре и напряжением на емкости), то, отложив эти величины вдоль осей X и Y, получим для каждого состояния системы определенную точку на этой координатной плоскости. Такую плоскость называют фазовой. Соответственно, если динамическая система определяется n переменными, то вместо двумерной фазовой плоскости ей можно поставить в соответствие n-мерное фазовое пространство.

Реакции линейной и нелинейной систем различны. В первом случае постепенно установятся регулярные периодические колебания с той же частотой, что и частота вынуждающего сигнала. На фазовой плоскости такому движению соответствует замкнутая кривая, называемая аттрактором (от английского to attract – притягивать). В случае нелинейной системы возникнут сложные непериодические колебания, траектория на фазовой плоскости не замкнется за сколь угодно долгое время. При этом поведение детерминированной системы будет внешне напоминать совершенно случайный процесс – это и есть явление динамического, или детерминированного хаоса. Образ хаоса в фазовом пространстве – хаотический аттрактор – имеет очень сложную фрактальную структуру. В силу необычности свойств его называют также странным аттрактором.

Стохастические фракталы получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо параметры. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании природных объектов – несимметричных деревьев, рельефа поверхности и т. д.

Подробное рассмотрение алгебраических и стохастических фракталов выходит за рамки данной монографии. В качестве учебно-методической литературы можно порекомендовать работу.

Фрактальные агрегаты

Концепция фракталов находит все большее распространение при изучении реальных объектов с нерегулярной структурой. При этом физический фрактальный объект, в отличие от математического, всегда имеет ограничения по размерам. Принципиально невозможно иметь образующий элемент с размерами меньше атома или молекулы: максимальные размеры ограничены природой протекающих процессов.

Рис. 5.8. Образование фрактальных агрегатов в стекле

При недостаточной локальности интегральных свойств физического объекта, состоящего из фрактальных элементов, образец будет представляться как квазиоднородный. В качестве примера на рис. 5.8 приведена микрофотография агрегатных фракталов в стекле, полученная с помощью электронной микроскопии в режиме вторичных электронов. В нижнем правом углу находится масштабная линейка. Видно, что размеры отдельных фрактальных кластеров порядка 5 мкм. Также видно, что в отличие от математических фракталов реальные объекты не строго регулярны. О соблюдении подобия между отдельными фрактальными элементами и частями фрактала в отдельном элементе и в разном масштабе можно судить только при статическом усреднении.

Количественные характеристики фракталов

Обратимся теперь к основам количественного описания фрактальных агрегатов. В качестве исходного объекта сначала рассмотрим детерминированные фрактальные агрегаты.  Жульену, сконструируем простейший фрактальный агрегат путем последовательного соединения идентичных сферических частиц радиуса α. При этом начальную частицу расположим в начале прямоугольной системы координат, а шесть других частиц заставим присоединяться к ней, двигаясь вдоль положительных и отрицательных направлений трех базисных векторов решетки. На первом этапе (первая итерация) получим начальный ансамбль из семи частиц. При второй итерации присоединим к шести концам полученного агрегата шесть таких же ансамблей. При третьей итерации к шести концам вновь сформированного агрегата присоединим шесть точно таких же агрегатов. Эта процедура может повторяться бесконечно.

Запишем теперь математические соотношения для числа первичных частиц в агрегате и для радиуса такого агрегата в зависимости от числа проведенных итераций. При этом получаем, что после p итераций в агрегате будет содержаться первичных частиц, а радиус самого агрегата будет . На рис. 5.9 изображена двумерная эквивалентная схема такого трехмерного агрегата, полученного после четырех итераций (p = 4). Этот агрегат, в соответствии с полученными соотношениями, содержит = 2401 частицу.

Зависимость между числом частиц в сфере радиуса r от величины этого радиуса имеет вид n(r) = A rD, где для величин, не зависящих от числа итераций, приняты A = α–D и D = ln 7/ln 3 = 1,771. Для сконструированного трехмерного агрегата число частиц (а следовательно, и масса) зависит не от куба радиуса, что является обычным для сплошных трехмерных объектов, а от радиуса в степени 1,771.

Очевидно, необходимо обратить особое внимание на полученную величину D. Она определяет, каким образом распределяется в пространстве масса сформированного агрегата. Для случая плотно расположенных сфер в трехмерном пространстве справедливым является соотношение D = 3. Для плоскости, образуемой плотно уложенными сферами, D = 2, а для сфер, выстроенных в одну линию, D = 1. Таким образом, вышеприведенное определение D совпадает с обычным определением размерности для сплошных структур. Естественным является то обстоятельство, что плотность таких тел не зависит от их размера.

Если предположить, что каждая сфера имеет единичную массу, то для плотности фрактального агрегата в трехмерном пространстве r(r) получим выражение r(r) = BrD – 3, где B = 3A/4p.

Этот результат свидетельствует о необычном поведении плотности полученного трехмерного агрегата при изменении его размеров: она не остается постоянной при возрастании размеров, а уменьшается. Для фрактала бесконечных размеров значение плотности стремится к нулю. Это один из основных признаков массового фрактала.

Рис. 5.9. Квазидвумерная проекция трехмерного фрактального агрегата Жюльена

Физически это означает, что при рассмотрении все больших и больших частей фрактала учитываются пустоты все больших и больших размеров. Как видно, для фрактала характерно наличие пустот всех размеров: от размеров первичных частиц до размеров порядка фрактальных агрегатов. Это также характерный признак массового фрактала.

Отметим, что r(r) представляет собой распределение плотности вещества вокруг какой-либо одной случайно выбранной частицы, т. е. двухчастичную корреляционную функцию. Эта функция дает для выбранной частицы вероятность найти другую частицу на расстоянии r от нее. Таким образом, для фрактала корреляционная функция уменьшается с увеличением расстояния по степенному закону r » rD–3. Заметим, что скорость такого уменьшения становится меньшей с ростом D, и при D = 3 величина r(r) теряет зависимость от r.

Еще одним замечательным свойством рассмотренного фрактала является свойство его самоподобия (самоповторяемости). Поскольку это свойство легче наблюдать на двумерных объектах, рассмотрим фрактальную структуру, построенную на плоскости из дисков (рис. 5.10). В данном случае внутри окружности радиуса (p = 0; 1; 2…) будет содержаться уже частиц, а фрактальная размерность будет D = ln 5/ln 3 = 1,465. Такой агрегат, построенный при очень большом числе итераций так, что отдельные частицы не различимы для невооруженного глаза, представлен в левой части рис. 5.10. Центральная часть агрегата (после увеличения в 3 раза) показана правее. Видно, что увеличенная часть очень похожа на весь агрегат. Это происходит потому, что наш глаз не может разрешить пространственное расстояние меньше некоторой величины. В результате создается впечатление, что обе фигуры имеют идентичную структуру, составленную из сфер радиуса l. На самом деле каждая из таких видимых сфер содержит гораздо большее число частиц, чем имеется в первоначальном агрегате (в 3D раз больше). Таким образом, как отмечалось ранее, в малом фрагменте детерминированного фрактала содержится информация обо всей его структуре.

Рис. 5.10. Иллюстрация свойства самоподобия двухмерного неупорядоченного агрегата

Рассмотренные выше фрактальные объекты как чисто математические представления являются бесконечными объектами, т. е. фрактальные агрегаты имеют бесконечные размеры и были сделаны из бесконечно малых первичных частиц. Но на практике всегда имеется два естественных масштаба (нижний и верхний) так называемого обрезания размеров (рис. 5.8). Нижний масштаб определяется тем, что размеры первичных частиц a не бесконечно малы, а имеют какую-то конечную величину. Верхний масштаб определяется тем, что размер самого агрегата не является бесконечным, а ограничивается величиной L. Обычно свойство n(r) ~ rD справедливо только в пределах изменения r, определяемых неравенством a < r < L. Именно это неравенство и задает различие между математическими фракталами, величина которых бесконечна, и физическими фракталами, величина которых конечна. Считается, что можно говорить о фрактальном агрегате в том случае, если размер первичных частиц a и размер агрегата L различаются хотя бы на порядок (L/a > 10).

Описанный способ построения фракталов далеко не всегда может быть реализован в естественных процессах агрегации. Маловероятно, чтобы полученные при этом агрегаты имели точно такую же макроскопическую симметрию, как на рис. 5.9 и 5.10, поскольку в процессах естественной агрегации всегда присутствует элемент случайности. Вводя такой элемент в построение фракталов, можно получить случайные фракталы. При этом основное их отличие от детерминированных фракталов будет состоять в том, что для случайных фракталов вышеприведенные правила окажутся справедливыми только после усреднения по всем статистически независимым реализациям объекта. Рис. 5.8 иллюстрирует свойство самоподобия для случайного двумерного агрегата. Как видно, фрактальные агрегаты не идентичны: они реализуются в разных статистически эквивалентных конфигурациях. Подобным образом зависимость n(r) не строго линейна в логарифмических координатах. Такая нестрогая линейность получается после усреднения n(r) по многим агрегатам, состоящим из одинакового количества частиц и построенным по одинаковому правилу.

Необходимо отметить, что имеются обобщения концепции фракталов на случай несамоповторяющихся структур. К последним относится, в частности, самоаффинный фрактал, который представляет собой структуру, инвариантную после одновременного, но количественно разного изменения масштаба вдоль разных направлений пространства. Для полной характеристики свойств самоаффинного фрактала необходимо использовать уже не одну, а большее число экспонент (степенных показателей). Таким образом, для самоаффинного фрактала существует столько фрактальных размерностей, сколько есть независимых направлений в пространстве (в случае трехмерного пространства – три). Дальнейшим обобщением фрактала является мультифрактал, который может характеризоваться бесконечным числом независимых фрактальных размерностей.

Ограничимся рассмотрением "массовой" фрактальной размерности D, т. е. той, которая описывает изменение массы в зависимости от изменения размера и поверхностной фрактальной размерности Ds. Однако это не единственные параметры, используемые для описания фрактальных структур. Имеются другие виды фрактальных размерностей в частности: размерность распространения, характеризующая свойства связанности в агрегате, и специальная размерность, характеризующая динамические свойства фрактала.

В пористых материалах, какими часто бывают продукты золь-гель-синтеза, могут наблюдаться как массовые, так и поверхностные фракталы. Образование массовых фракталов возможно в двух случаях: при малой и при большой степени пористости. В первом случае массовый фрактал образуется пористой средой, а во втором – "скелетом" пористого материала. Подробнее к этому вопросу вернемся при рассмотрении элементов теории перколяции. Здесь же отметим, что при пористости, не соответствующей этим предельным случаям, массовые фракталы не образуются. Однако при этом материал может проявлять свойства поверхностного фрактала. В частности, в случае пористой среды для числа пор радиуса R справедлива скейлинговая (масштабная) зависимость типа N(ν) ~ ν –(Ds+1), где (ν = R/Rmax; Rmax – максимальный радиус пор; Ds – фрактальная размерность поверхностного фрактала. А общая поверхность всех пор с радиусами в пределах от R до Rmax изменяется в соответствии со степенным законом S(ν) ~ ν –(Ds–2), т. е. при R ® 0 величина S(ν) ® ¥ при 2 < Ds < 3 (условие фрактальности поверхности). Таким образом, размерность поверхностного фрактала изменяется в пределах от 2 до 3. Чем выше Ds, тем более груба поверхность фрактального объекта. Значение Ds = 2 соответствует фрактальному объекту с гладкой поверхностью, а при Ds → 3 – объекту с наиболее грубой (шероховатой) поверхностью.

Прежде чем перейти к рассмотрению фрактальных агрегатов, возникающих в эксперименте, еще раз вернемся к зависимости r(r) = BrD – d, где D – массовая фрактальная размерность, d – размерность пространства, в котором существует фрактал. Отметим, что даже для регулярных (детерминированных) фракталов эта зависимость не соблюдается точно для любых непрерывно изменяющихся значений r. Иными словами, функция r(r) осциллирует, а значения r(r) соответствуют приведенной зависимости при переходе на новый уровень масштабирования (значения r, при которых наблюдается самоподобие).

Физические фракталы

Физические объекты со структурой, обладающей фрактальными свойствами, называют физическими фракталами. При изучении физических фракталов важно не только установить характер этих структур, но и понять внутренний механизм, обеспечивающий такое строение.

Большая группа физических фракталов связана с агрегационными явлениями, такими, как осаждение, фильтрация, электролиз, флокуляция и агрегация. Такие фракталы называют фрактальными агрегатами, или фрактальными кластерами.

Продукты золь-гель-процессов, которые возникают благодаря агрегационным явлениям в результате подавления дальнодействующих сил отталкивания между частицами в локальной области, относятся именно к этой группе фракталов.

Взаимное сближение частиц зависит от характера движения каждой из них и в значительной степени может определяться закономерностями броуновского движения. Как было показано, траектория частицы при броуновском движении является фракталом. Это послужило предпосылкой для создания компьютерных моделей роста фрактального агрегата. Первая модель диффузионно-лимитируемой агрегации (DLA) была создана Виттеном и Сэндером в 1981 г. Хорошее согласие модели с рядом экспериментов стимулировало развитие компьютерного моделирования роста фрактальных кластеров. Основные модели будут рассмотрены далее, но здесь следует отметить, что модельные представления об образовании фрактальных агрегатов хорошо описывают и другие объекты, не относящиеся к продуктам агрегационных явлений (более того, не являющиеся физическими телами, например: пробой диэлектриков, образование молнии, смешение жидкостей). Природа этих фракталов совсем иная, но из-за близости математических закономерностей эти физические фракталы традиционно относят к группе фрактальных агрегатов.

Из вышеизложенного следует, что при соблюдении определенных условий продуктами золь-гель-технологии могут быть физические объекты, соответствующие фрактальным агрегатам. Это не означает, что любой несплошной физический объект, если он получен в золь-гель-процессе, является фракталом. С другой стороны, крайне важно понимать возможности практического получения фрактальных структур и нахождения эффективных технологических приемов управления фрактальной размерностью (как массовой – D, так и поверхностной – Ds). Это позволяет целенаправленно вводить комплекс приемов по созданию новых материалов с уникальными свойствами для приборов нового поколения.

Исследования по установлению закономерностей изменения свойств материалов от значения фрактальной размерности еще находятся на начальной стадии. Но влияние фрактальной размерности (а, следовательно, развитости поверхности) на некоторые свойства материалов (адсорбционную способность, каталитическую активность, селективную проницаемость и др.) настолько очевидны, что не требуют особых доказательств.

При создании нанокомпозитов продуктом золь-гель-технологии могут быть и объекты с фрактальной структурой, не относящиеся к группе фрактальных агрегатов. Это так называемые перколяционные кластеры. Их возникновение является предметом анализа теории перколяции, которая в русскоязычной литературе часто называется теорией протекания (от percolation (англ.) – протекание, просачивание).

Физическую сущность явления перколяции можно качественно пояснить, воспользовавшись схемой, изображенной на рис. 2.2. Представим, что иммобилизованные частицы резко отличаются по физическим свойствам от окружающей матрицы. Например, частицы обладают металлической или полупроводниковой проводимостью в диэлектрической матрице. После того, как их концентрации x при превысит некоторое значение xс, образуется проводящий (перколяционный) кластер, пронизывающий весь объем физического объекта. Иными словами, существует так называемый порог протекания xс, при котором физические свойства объекта резко изменяются. Установлено, что в неупорядоченных системах (существующих в трехмерном пространстве) со случайным распределением частиц (например, проводящих и диэлектрических) перколяционный кластер имеет фрактальную структуру с размерностью D = 2,5.

Необходимо еще раз подчеркнуть принципиальные физические различия между фрактальным агрегатом и перколяционным кластером. Фрактальный агрегат начинает образовываться при сколь угодно малых концентрациях частиц, а перколяционный (стягивающий) кластер возникает только при превышении концентрации, соответствующей порогу протекания

Тема 6. Основы теории перколяции. Основные понятия теории перколяции. Задачи теории перколяции, задачи узлов, задачи связей и смешанные задачи и их решения. Типы и размерности решеток. Переход "металл-диэлектрик". Порог протекания, критические индексы, бесконечный кластер. Нанокомпозиты с фрактальной и перколяционной структурами. Перколяционный переход. Динамические перколяционные модели

Основные понятия теории перколяции

Первая научная работа по теории перколяции была опубликована в 1957 г. (С. Бродбент и Дж. Хаммерсли). Теоретический подход был намечен при решении узкой практической задачи для описания защитных функций фильтров противогаза. Во время эксплуатации развитая поверхность адсорбента связывает газовые молекулы. При этом блокируются адсорбционные центры, и возникают кластеры, которые уже не способны захватывать молекулы газа. Эти кластеры увеличиваются в размерах, и в некоторый момент времени возникает стягивающий кластер. Другими словами: возникает путь, по которому молекулы газа способны просачиваться. Эту критическую ситуацию можно охарактеризовать долей блокированных центров. В настоящее время теория перколяции является главным инструментом в теории неупорядоченных систем. При этом атомно-неупорядоченные твердые тела разделяют на три группы:

1. Системы, в которых атомы не образуют кристаллической решетки с дальним порядком, но расположение ближайших соседей приблизительно упорядочено (аморфные материалы)

2. Неупорядоченные сплавы и твердые растворы, в которых узлы образуют упорядоченную решетку, а атомы различных компонентов распределены по узлам случайным образом.

3. Кристаллы, в решетке которых имеются примесные атомы и точечные дефекты, нарушающие периодичность решетки.

Нанокомпозиты и пористые материалы также являются объектами, изучаемыми теорией перколяции. Часто образование перколяционного стягивающего кластера называют геометрическим фазовым переходом. Смысл этого определения легко проиллюстрировать на примере композита, состоящего из элементарных ячеек двух типов. Пусть ячейки первого типа являются проводниками, а ячейки второго типа – идеальными диэлектриками. Тогда увеличение доли ячеек первого типа в исходном материале из ячеек второго типа позволяет изменять электрические свойства системы от полностью изоляционных до полностью проводящих. Но этот переход не будет равномерно растянут во всем диапазоне изменения концентрации проводящих ячеек. При малых концентрациях проводящих ячеек они изолированы друг от друга и от электродов диэлектрическими ячейками. При некоторой доле xс, называемой порогом протекания, возникает стягивающий кластер, т. е. появляется проводимость. Вблизи порога протекания xc тело разбивается на части, обладающее различными свойствами. Геометрия этих разбиений каждый раз приобретает новые случайные формы, но значения порога протекания для тел бесконечных размеров строго определены и зависят от симметрии и размерности пространства.