УМО для подготовки кадров по программам высшего профессионального образования для тематического направления ННС «Композитные наноматериалы» (стр. 6 )

Если обозначить через P(x) долю проводящих ячеек, входящих только в стягивающий (бесконечный) кластер, по отношению к общему количеству ячеек, то зависимость P от общей доли проводящих ячеек, имеет вид, приведенный на рис. 6.1. Там же построена приведенная зависимость проводимости бесконечного кластера s(x)/s(1) от доли проводящих ячеек x.

Рис. 6.1. Зависимости мощности бесконечного кластера P(x) и приведенной проводимости бесконечного кластера s(x)/s(1) от доли проводящих ячеек в системе

Бесконечный стягивающий кластер P(x) появляется (по определению) при значении x = xc и приобретает максимальное значение 1 при x = 1.

Легко понять и пределы изменения значений s(x)/s(1). Проводимость s(x) возникает при x = xc и не может быть больше, чем проводимость s(x) системы, состоящей только из проводящих ячеек. Как видно из рис. 6.1, для значений xc < x < 1 не все проводящие ячейки, входящие в структуру бесконечного кластера, участвуют в увеличении проводимости: значение P(x) выше, чем s(x)/s(1). Для объяснения этого введем понятия о ячейках, принадлежащих скелету бесконечного кластера, и о ячейках, лежащих на "мертвых концах" (рис. 6.2). Для ячеек, находящихся на мертвых концах, возможно удаление в бесконечность только в одном направлении. Такие ячейки, входя в состав бесконечного кластера, увеличивают значение P(x), но не влияют на значение s(x)/s(1).

С материаловедческой точки зрения применение теории перколяции представляет интерес для анализа свойств нанокомпозитов, состоящих не только из проводящих и диэлектрических ячеек, но также из компонентов, составляющих пары "проводник–сверхпроводник", "парамагнетик–магнетик", "параэлектрик–сегнетоэлектрик" и др.

Рис. 6.2. Иллюстрация бесконечного кластера: 1 – скелет бесконечного кластера; 2 – изолированные кластеры; 3 – мертвые концы; 4 – петли

С теоретической точки зрения задачи (модели) теории перколяции разбивают на решеточные и непрерывные. Решеточные задачи в свою очередь разделяются на задачи узлов (site problem), задачи связей (bond problem) и смешанные задачи (site-bond-percolation) .

Задача узлов сводится к нахождению порога протекания на решетке с заданными параметрами (симметрия, размерность пространства). При этом анализируются кластеры, образованные контактирующими узлами – сферами (например, "проводящими" при замещении исходных "непроводящих" сфер).

В задаче связей все исходные узлы – сферы, расположенные в заданной решетке, считаются проводящими, но контакт между ними зависит от наличия связей. В этом типе задач блокировка узла в целом осуществляется при разрыве всех связей.

Разработаны принципы геометрии покрывающих решеток, демонстрирующих соотношение между значениями порогов протекания в задаче связей xc(св) и задаче узлов xc(уз), причем xc(св) £ xc(уз).

Для прекращения протекания необходимо полностью блокировать определенную долю узлов, разорвав все связи. При этом остальная часть узлов будет иметь некоторые разорванные связи. К настоящему времени найдены значения порогов протекания для решеток в пространствах различной размерности d = 1, 2, 3 и т. д., включая d = ¥ (решетки Бете). Решетки в пространствах d > 3 (например, d = 6) представляют интерес для оценки перколяционных явлений тензорных физических величин.

В табл. 6.1 приведены значения порогов протекания и связанных с ними величин для двумерных и трехмерных решеток.

Таблица 6.1

Пороги протекания и связанные с ними значения для двумерных и трехмерных решеток

Размер ность, d	Тип решетки	Задача узлов	Задача связей
xc(уз)	f	I(уз) = fxc(уз)	xc(св)	z	I(св) = zxc(св)
2	квадратная	0,59	0,79	0,47	0,50*	4	2
треугольная	0,50*	0,91	0,46	0,35*	6	2,1
"медовые соты"	0,70	0,61	0,43	0,65*	3	2
3	алмазоподобная	0,43	0,34	0,15	0,39	4	1,56
простая кубическая	0,31	0,52	0,16	0,25	6	1,5
объемно-центрированная	0,25	0,68	0,17	0,18	8	1,44
гранецентрированная	0,20	0,74	0,15	0,12	12	1,44

Из табл. 6.1 видно, что значения порогов протекания существенно зависят от симметрии решетки и размерности пространства d. Однако в задаче связей произведение zxc(св) (где z – координационное число ближайших соседей), практически не зависит от симметрии решетки и определяется размерностью пространства d. Для задачи узлов такими же свойствами обладает произведение fxc(уз), где f – доля объема (площади) узла в элементарной ячейке.

Аналитические решения xc найдены только для четырех случаев двумерных решеток (в табл. 6.1 обозначены символом "*"). Алгоритм нахождения xc остальных задач включает оценку случайных значений доли , при которых образуется стягивающий кластер на заданной решетке с известным количеством узлов (например, для d = 2 на квадратной решетке из Ni´Ni узлов), а также усреднение для решетки Ni´Ni, нахождение подобных усредненных значений для решеток с большим числом узлов N и анализ зависимости усредненных значений от N:

.

Если полученные результаты удовлетворительно описываются приведенной зависимостью (т. е. значения D и n положительны), то определение xc(¥) не вызывает затруднений.

Смешанная задача решается на решетках, в которых варьируются доли проводящих и непроводящих узлов и доли разорванных и целых связей.

Два проводящих узла принадлежат одному и тому же проводящему кластеру, если они соединены связью. Если все узлы проводящие, то такая смешанная задача сводиться к задаче связей. Если все связи не разорваны, а узлы в решетке обладают проводящими и непроводящими свойствами, то такая смешанная задача сводится к задаче узлов. В общем виде существует критическая кривая на плоскости в координатах xc(уз) и xc(св), разделяющая фазовые состояния системы.

Модель site-bond-перколяции наиболее соответствует образованию геля в разбавленных растворах.

Перколяционные задачи на случайных узлах. Переход к решению задач со случайным распределением узлов существенный шаг в исследовании неоднородных сред. В теории перколяции ограничения на фиксированные положения узлов регулярной решетке снимаются путем рассмотрения изменения перколяционных параметров при взаимодействии узла с узлами не только первой координационной сферы, но и более дальних.

Физической основой такой модели может служить эффективное взаимодействие магнитного атома не только с ближайшими соседями, но и с атомами из более удаленных координационных сфер.

Из анализа результатов, сведенных в табл. 6.2, следует, что значения порога протекания xc(уз) при распространении взаимодействия на более удаленные координационные сферы уменьшается, а произведение zxc(уз) стремится к некоторым постоянным значениям Bc, не зависящим от симметрии решетки.

Заметим, что для решетки ГЦК число возможных расположений взаимодействующих узлов только в первых 3-х координационных сферах уже равно 42. Значения Bc стремятся к пределу

Bc = (уз).

Для простых решеток , для объемных .

Значения Bc определяют возникновение порога протекания. Это легко показать в рамках модели охватывающих сфер (окружностей). Под ними понимают перекрывающиеся сферы (окружности). Две сферы (окружности) являются связанными, если центр одной сферы (окружности) находиться внутри другой. Тогда при заданной концентрации сфер (окружностей) N можно найти перколяционный радиус rc, при котором достигается порог протекания. И напротив, для заданного значения rc можно определить необходимые значения концентраций N:

и .

Таблица 6.2

Параметры теории протекания при взаимодействии между узлами,
расположенными в различных координационных сферах

Тип решетки; координационные сферы	Число соседей, z	Порог протекания, xc(уз)	Произведение zxc(уз)
плоские
медовые соты; 1	3	0,7	2,1
квадратная; 1	4	0,59	2,36
треугольная; 1	6	0,5	3
квадратная; 1, 2	8	0,41	3,28
треугольная; 1, 2	12	0,295	3,54
шестиугольная; 1, 2, 3	12	0,3	3,6
квадратная; 1, 2, 3	12	0,292	3,5
треугольная; 1, 2, 3	18	0,225	4,05
объемные
алмазоподобная; 1	4	0,425	1,7
ПК; 1	6	0,307	1,84
ОЦК; 1	8	0,243	1,94
ГЦК; 1	12	0,195	2,34
ОЦК; 1, 2	14	0,175	2,45
ПК; 1, 2	18	0,137	2,47
ГЦК; 1, 2	18	0,136	2,45
ПК; 1, 2, 3	26	0,097	2,52
ОЦК; 1, 2, 3	26	0,095	2,47
ГЦК; 1, 2, 3	42	0,061	2,56

Необходимо учитывать, что физические величины концентраций N имеют различную размерность для двумерного и трехмерного случаев.

Теория перколяции успешно используется в физике полупроводников. На ее основе развиты представления о переходе "металл-диэлектрик", о поведении компенсированных полупроводников, о механизмах прыжковой проводимости и др.

В континуальных задачах теории перколяции узлы вообще не рассматриваются, а связанными или не связанными считаются некоторые области пространства. Для формирования континуальной задачи вводится непрерывная случайная функция V(r). Если сопоставить каждой точке случайное число, никак не связанное с соседним случайным числом, получим разрывную функцию "белый шум". Усреднение белого шума по сфере радиуса r0 вокруг данной точки дает непрерывную гауссову случайную функцию. Величина r0 называется радиусом корреляции случайных функций.

Если гауссова функция построена симметрично (среднее по пространству значение V = 0), то она характеризуется гауссовым распределением с дисперсией s:

.