Методы и алгоритмы распознавания объектов на растровом изображении (стр. 4 )

n	ОАО “РАО ЕЭС России”	ОАО “Сургутнефтегаз”	ОАО “Газпром”
	прогноз на n+1 период		прогноз на n+1 период		прогноз на n+1 период
2	10,77	0,9999	26,59	0,9134	130,65	0,9448
4	11,27	0,9921	28,51	0,9921	143,44	0,9999
5	11,22	0,9999	31,72	0,9921	147,55	0,9990
8	10,04	0,9764	28,54	0,9843	132,47	0,9764
10	9,08	0,9213	26,03	0,9921	137,42	0,9921
20	10,14	0,9921	26,50	0,9606	140,95	0,9921

Анализ проведенных расчетов позволяет сделать вывод, что чем больше информации мы располагаем о поведении изменения состояния активов компаний, или как в данном примере, изменения стоимости акций предприятий, тем более точный прогноз можно сделать о дальнейшем направлении тенденции изменения актива компании.

Использованные источники

1. , Тинякова модели: анализ и прогноз в экономических системах. ВГУ−2006.

2. Нагин модели в задачах анализа и прогнозиро-вания стоимости финансовых активов. Воронеж−2006.

3. Багриновский процессов адаптации экономии-ческих систем. Воронеж−1999.

4. Баринов прогнозирования инвестиционных проектов в условиях неопределенности российского рынка. Воронеж−2005.

5. Каширина в эволюционное моделирование, учебное пособие. Воронеж−2006 г.

6. Adrian E. Drake, Robert E. Marks. Genetic Algorithms in Economics and Finance: Forecasting Stock Market Prices and Foreign Exchange, University of Stuttgart, University of New South Wales, Sydney, Australia., 2004.

Некоторые приложения к дифференциальным и интегральным уравнениям

Калмыцкий государственный университет, Россия

Рассмотрим одну производственную задачу. Пусть объем произведенной предприятием к моменту времени продукции равен , тогда его мощность выражается функцией . Однако, на самом деле, возможно, что вследствие «усталости» занятых в производстве производительность труда может уменьшиться. Эта усталость определяется как величиной ранее затраченных усилий, так и временем восстановления сил после предыдущей работы. В результате получаем, что производительность труда определяется уравнением

(1)

где характеризует влияние затраченной в момент мощности на «усталость» занятых в производстве в момент времени .

Уравнение (1) может быть описано дифференциальным уравнением в вещественном банаховом пространстве .

Рассмотрим дифференциальное уравнение в вещественном банаховом пространстве . Как известно, такие уравнения охватывают не только конечные системы уравнений, но и различные классы бесконечных систем, уравнений с частными производными, интегро-дифференциальных уравнений и т. д. (см. [3]).

Предполагается, что в банаховом пространстве заданы конусы и , причем, как обычно, полуупорядоченность в вводится широким конусом .

Для уравнения ниже устанавливаются теоремы существования положительного решения, т. е. решения .

В статье находят приложение некоторые факты теории - правильных и вполне - правильных конусов.

1. Пусть (2)

дифференциальное уравнение в банаховом пространстве . Здесь - непрерывный по совокупности переменных оператор со значениями в , определенный на топологическом произведении некоторого множества и интервала .

Как показали Бурбаки [4], из непрерывности оператора не вытекает теорема существования решения. Рассмотрим пример Бурбаков

Пусть - пространство всех сходящихся к нулю числовых последовательностей с нормой:

.

Рассмотрим в пространстве дифференциальное уравнение

(2’)

в котором правая часть – оператор задан следующим образом: если , то . Очевидно, действует в и непрерывен.

Будем искать решение уравнения (2’) в при начальном условии

. (3’)

Очевидно, решение уравнения (2’) при начальном условии (3’) эквивалентно решению следующей счетной системы дифференциальных уравнений

(2”)

при начальном условии

(3”)

Допустим, что решение уравнения (2’) при начальном условии (3’) или, что те же, системы (2”) при условии (3”) существует в некоторой окрестности точки . Обозначим его . Тогда, как нетрудно проверить формально решая систему (2”) при условии (3”), определяется как неявная функция из уравнения

, (4’)

причем последнее уравнение определяет , как неявную функцию для всех из области существования решения. Пусть и . Тогда значение определяется из уравнения

(4”)

Уравнение (4”) получается из (4’), если в левой части последнего уравнения сделать подстановку .

Т. к. , то . Выражение как нетрудно видеть, ограничено для любых и . Поэтому правая часть равенства (4”) стремится к нулю при .

Переходя в (4”) к пределу при , получим , вопреки предположению.

Полученное противоречие доказывает, что дифференциальное уравнение (2’) при начальном условии (3’) не имеет решения.

Итак, теорема Пеано в общей форме для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах неверна. В связи с этим возникает вопрос о дополнительных к непрерывности свойствах, которыми должен обладать оператор , чтобы для уравнения (2) была справедливой теорема существования.

2. Оказывается, что ряд достаточных условий может быть сформулирован в терминах пространств с конусом, если воспользоваться понятиями правильности или полной правильности конуса.

Будем говорить, что последовательность абстрактных функций, заданных на со значениями в банаховом пространстве , сходятся равномерно на к функции , если

Лемма 1. Пусть последовательность сходится в каждой точке сегмента к функции . Пусть функции семейства равностепенно непрерывны.

Тогда последовательность сходится равномерно на к функции .

Теорема 1. Пусть правая часть уравнения (2) – оператор - определен и непрерывен на топологическом произведении отрезка и множества . Пусть оператор монотонен по на и удовлетворяет неравенствам

. (5)

Пусть, наконец, конус обладает свойством - правильности.

Тогда для любых , уравнение (2) имеет положительное решение , удовлетворяющее начальному условию: . Решение определено в некотором промежутке справа от точки и может быть получено методом последовательных приближений

, (6)

где интеграл от абстрактной функции понимается в смысле Бохнера.

Последовательные приближения сходятся к решению равномерно на .

Отметим, что условие (5) теоремы 1 существенно: при его нарушении теорема, вообще говоря, перестает быть справедливой. В качестве примера снова рассмотрим дифференциальное уравнение (2’) с начальным условием (3’) в пространстве сходящихся к нулю числовых последовательностей с конусами неотрицательных числовых последовательностей. Конус правилен. Оператор непрерывен на любом конусном отрезке и монотонен.

В случае, когда конус обладает свойством полной правильности, имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть оператор определен и непрерывен по совокупности переменных на топологическом произведении отрезка и множества , причем

. (7)

Пусть оператор положителен и монотонен по на , а конус обладает свойством полной - правильности.

Тогда для любых , уравнение (2) имеет положительное решение , удовлетворяющее начальному условию: .

Решение определено в некоторой окрестности справа от точки и может быть получено методом последовательных приближений (6).

Последовательные приближения (6) сходятся к решению равномерно на .

В случае, когда конус не обладает свойством полной правильности, теорема 2 перестает быть справедливой: уравнение (2’) при начальном условии (3’) не имеет решения, в то время как оператор удовлетворяет всем условиям (остальным, кроме условия полной правильности конуса ) теоремы 2.

Использованные источники

1. , Красносельский последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами. - СМЖ. – 1961. Т2, №3, с. 313 – 330.

2. , , О непрерывности линейных положительных операторов. - СМЖ.– 1962.Т3, №1, с. 4.

3. , Крылов методы высшего анализа. – М.- Л.: Физматгиз, 1962. – 708 с

4. Стеценко по теории положительных операторов в пространстве с конусом. Дисс. д-ра физ – мат. наук. – Воронеж, 1968. – 307 с.

5. Об оценке решений операторных уравнений. – Труды семинара по функциональному анализу, 1968, вып. II, ВГУ, с.265 – 282.

6. , Галкина теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений. Учебное пособие.– Ставрополь. –СГУ, 1998. –168 с.

Построение параметрических и непараметрических датчиков для моделирования надежности сложных систем

Курганский государственный университет, Россия

В настоящее время имеется возможность решения задач недоступных для аналитического рассмотрения. Задачи такого типа, в частности, характерны для математической статистики и решаются методом статистического моделирования, основой которого являются датчики случайных величин.

Если мы обладаем такой априорной информацией, как вид распределения и его параметры, то имеет место параметрическая постановка задачи. Для построения датчиков случайных величин воспользуемся методом обратного преобразования функции распределения.

Пусть – равномерная в [0,1] случайная величина и – случайная величина с непрерывной функцией распределения , значения которой нам требуется сгенерировать. Из теории вероятностей известен следующий факт, что если применить преобразование , то имеет место следующее соотношение

.

Следовательно, если обозначить через функцию, обратную к , то будем иметь

,

где имеет функцию распределения . Таким образом, имея датчик случайной величины и зная функцию , мы получим следующий алгоритм реализации случайных чисел из распределения

где - случайные числа из .

Приведем несколько примеров:

1.  для нормального распределения - , где – параметр расположения, – параметр масштаба;

2.  для экспоненциального - , где – величина обратная математическому ожиданию;

3.  для распределения Коши - , где – параметр расположения, – параметр масштаба;

4.  для распределения Вейбула - , где – параметр формы, – параметр масштаба.

Если нам известен вид распределения и есть некоторая исходная выборка (например, наработки до отказа какого-нибудь элемента), но неизвестны параметры распределения , то можно оценить эти параметры, используя выборку .

Приведем примеры для нескольких распределений:

1.  нормальное - , ;

2.  логнормальное - , ;

3.  гамма-распределение -

Если же мы имеем только выборку - независимых и одинаково распределенных случайных величин с неизвестной функцией распределения , то имеет место непараметрическая постановка задачи.

Одномерный непараметрический датчик строится с помощью эмпирической функцией распределения

,

где – функция «единичного скачка» (функция Хевисайда).

Но мы знаем, что - дискретная функция, и, генерируя случайную величину , будет принимать значения из уже известной выборки , поэтому для получения новой информация интервалы между точками линейно интерполируем.

Еще один способ построения одномерного непараметрического датчика – формирование выборки в соответствии с плотностью распределения, использующей ядерные функции [1].

В качестве исходной используется выборка случайной величины , функция плотности распределения вероятности которой

восстановлена в результате решения задачи

с точностью до вида ядерной функции и оптимальной величины параметра «размытости» , соответствующего функции .

Для расчета выборки случайной величины используем последовательность случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке [0,1], и выражение для функции распределения в виде, разрешенном относительно

,

которое можно представить в следующем виде:

Решая данное уравнение при каждом фиксированном значении относительно неизвестной величины , получаем искомую совокупность .

Для построения многомерного непараметрического датчика воспользуемся свойствами маргинальной и условных функций распределения [2]. Так как мы не знаем вида функции распределения случайной величины, то будем использовать оценки маргинальной и условных функций распределения.

Для получения алгоритма непараметрического датчика запишем следующую систему уравнений