Методы и алгоритмы распознавания объектов на растровом изображении (стр. 7 )

Для величины :

, (1)

где и являются безразмерными величинами,

- ускорение свободного падения,

- масса частиц,

- диаметр частицы,

- постоянная Больцмана,

T - термодинамическая температура.

(2)

Для температуры уравнение выглядит следующим образом:

, (3)

где - коэффициент восстановления частица- стенка,

- безразмерная величина,

- радиус диска (основания).

Коэффициенты и являются безразмерными функциями, зависящими от коэффициента восстановления в случае столкновений частица - частица. Они задаются следующим образом:

, (4)

, (5)

где , (6)

, (7)

. (8)

Уравнения (1) и (3) были линеаризованы следующим образом: все значения с индексом «» считаются известными из первой итерации, которая задается в соответствии с граничными условиями, и все значения с индексом «» являются неизвестными.

Все производные первого и второго порядка записываются в конечно – разностном виде:

, , , .

Члены при неизвестных , , , , , группируются в коэффициенты прогонки.

Граничные условия для :

; (9)

. (10)

Граничные условия для даются в виде:

, (11)

, (12)

где , (13)

, (14)

, (15)

, (16)

,

,

- интеграл, зависящий от изменения квадрата скорости частиц при столкновениях.

Зависимость безразмерного интеграла от безразмерной температуры и безразмерной скорости движения основания сосуда (подложки) в случае изображена на рис. 1.

При среднем диаметре , и .

Вместо в данной задаче будет использоваться , так как при этом значении (т. е. частиц нет).

Для данных граничных условий удалось подобрать функции, являющиеся первой итерацией:

, (17)

(18)

Первая функция в системе (18) описывает поведение температуры вблизи диска (основания), а вторая функция в этой же системе - поведение температуры на удалении от диска.

- кусочная функция, удовлетворяющая граничным условиям. В системе уравнений для температуры (18) первая функция была подобрана для левого граничного условия, а вторая - для правого. При этом эти функции должны быть согласованными, т. е. точка их пересечения разделяет области, в которых используется соответствующая функция. Найти эту точку в явном виде не удается, поэтому она ищется численно.

Значения для на левой границе (при ) находятся из первой функции в системе (18) методом интерполяции.

Рисунок 1 Зависимость интеграла квадрата скорости частиц при столкновениях от температуры и скорости основания в случае .

Задача решалась методом прогонки на языке программирования QBasic.

Условие выхода из цикла вычислений выполняется при (-поправка). При этом программа успевает выполнить около 50 итераций. Полученные решения сходятся.

Были получены результаты при различных значениях скорости основания (;;) и при различных значениях коэффициентов восстановления частица – стенка, частица – частица (; ; ). На рис. 2 изображена зависимость при ; ; .

Кривые при постоянных ; и при различных значениях мало отличаются друг от друга. Достигнув определенного значения максимума при примерно одинаковых значениях координаты (40 – 55), величина медленно стремится к нулю, т. е. при больших значениях частиц нет.

Температура более чувствительна к изменению скорости полки по сравнению с объемной долей частиц. При этом температура меняется в расчетах немонотонно. Так как наибольший интерес представляет изменение доли частиц с высотой, то следует отметить только то, что при изменениях , , изменение температуры значительно.

Далее были получены результаты для зависимости при скорости основания и при различных значениях коэффициентов восстановления частица – частица, частица – стенка. Следует отметить, что чем ближе значения и к 1, тем удар более упругий (условие абсолютно упругого удара: ; ). Кривые при различных значениях и выглядят примерно одинаково. Но максимальные значения в некоторых случаях могут существенно изменяться. На рис. 3 приведена зависимость максимального значения при различных значениях коэффициента (0,1-0,9) и при фиксированном значении . Небольшие колебания могут быть объяснены неточностью расчетов.

Рисунок 2 Зависимость при ; ; .

Рисунок 3 Зависимость при различных значениях коэффициента (0,1-0,9) и при фиксированных значениях ; .

Рисунок 4 Зависимость при различных значениях коэффициента (0,1-0,9) и при фиксированных значениях ; .

На рис. 4 приведена зависимость максимального значения при различных значениях коэффициента (0,1-0,9) и при фиксированном значении . В этом случае тенденция к росту при больших значениях слабее и имеется провал при , объяснить который трудно. На рис. 3 и рис. 4 видно, что значения величины зависят от изменения коэффициентов восстановления частица – частица, частица – стенка. И, следовательно, зависят от разновидности используемого материала.

Выводы

Исследовав математическую модель виброожиженного слоя, которая учитывает соударения частиц друг с другом и со стенкой сосуда в процессе виброожижения, были выявлены следующие заключения:

1. Изменение объемной доли частиц в виброожиженном слое незначительно зависит от скорости движения основания сосуда (подложки);

2. Изменение объемной доли частиц в виброожиженном слое значительно зависит от разновидности используемого материала, а именно от коэффициентов восстановления частица – частица и частица – стенка.

Использованные источники

1.  , , Кваша техники псевдоожижения. М., 196с.

2.  T. W. Martin, J. M. Huntley, R. D. Wildman // Hydrodynamic model for a vibrofluidized granular bed. // J. Fluid Mech. 2005. Vol. 535. P. 325 – 345.

К проблеме моделирования структурообразования в плёнке суспензии на водной подложке

Ставропольский государственный университет, Россия

Науч. рук.: , к. физ.-мат. н., доцент

Многие сложные структуры в природе формируются в результате процессов самоорганизации, сопровождающихся рассеянием свободной энергии системы при переходе из неравновесного хаотичного состояния в равновесное упорядоченное. Фундаментальным свойством таких структур является их сложность. Под сложностью понимают способность к самоорганизации, усложнению своей пространственно-временной структуры на макроскопическом уровне в силу происходящих на микроуровне изменений [1, 2].

Процессы упорядочения в суспензиях определяются многими факторами: рассеяние свободной энергии суспензии, парообразование носителя гравитационная конвекция, седиментация.

Как было показано в [3] после полного растекания суспензии в плёнку по водной подложке наблюдается процесс структурообразования, переупорядочивания твёрдых частиц суспензии.

На рисунках 1а, 1б, 1в представлены наиболее типичные структуры, формирующиеся в плёнке суспензии на водной подложке.

Рисунок 1 Наиболее типичные диссипативные структуры, формирующиеся после растекания суспензии по поверхности воды

Основные этапы структурообразования в плёнке суспензии:

1. Формирование укрупнённых агрегатов из частиц суспензии: к более крупным частицам примыкают соседние более мелкие.

2. Движение крупных агрегатов по направлению к центральной части исходной плёнки.

3. Двигаясь к центру плёнки, агрегаты частично разрушаются, оставляя за собой след из частиц красителя, и погружаясь в воду. Вслед за крупными агрегатами двигаются и малые частицы суспензии. Можно говорить о том, что крупные агрегаты формируют своеобразные каналы в исходной плёнке.

4. Агрегаты, сформировавшиеся в плёнке и двигающиеся к центральной её части, меняют направление своего движения на противоположное. Таким образом, система каналов начинает формироваться на незанятой поверхности воды, прилегающей к исходной плёнке.

5. Каналы занимают весь объём подложки.

Структурообразования суспензии в воде оказываются достаточно устойчивыми к механическому разрушению при внесении возмущения в воду. Так, если иглой разрушить часть каналов, то на месте разрушения через некоторое время будет восстановлена их исходная структура.

Т. о. структурообразование в плёнке суспензии представляет собой крайне сложное физическое явление. И именно сложностью явления обусловлена сложность построения его математической модели.

По своей сути суспензия, помещённая в жидкую среду, является многокомпонентной системой, состоящей из трёх фаз (жидкая и твёрдая фазы суспензии, жидкая фаза среды). Каждая фаза такой системы может быть охарактеризована средним размером составляющих эту фазу элементов (частиц, молекул).

При различных взаимных соотнесениях средних размеров моделирование всей многокомпонентной системы будет приобретать некоторые особенности. В нашем случае размер частиц суспензии много превосходит размеры молекул воды и жидкой фазы суспензии.

Для моделирования гидродинамических систем и явлений зачастую используют два подхода [4]:

1. Численное решение систем дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию всей гидродинамической системы. Например, уравнения Навье-Стокса и теплопроводности.

2. Моделирование в отдельности каждой молекулы жидкости, учитывая все воздействующие на неё силы.

Для моделирования системы суспензия – жидкость ни первый, ни второй подход в чистом виде не годится. Из-за принципиальной разницы в размерах частиц суспензии и молекул воды нельзя рассматривать частицы суспензии по отношению к воде как сплошную среду, хотя вода по отношению к суспензии таковой и является. Моделирование же каждой молекулы воды и каждой частицы суспензии является слишком ресурсоёмкой задачей.

Исходя из вышесказанного, предлагается для моделирования системы суспензия – жидкость использовать комбинированный подход. Каждая частица суспензии моделируется отдельно на основании второго закона Ньютона.

Приведём лишь основные силы, оказывающие влияние на движение частицы суспензии:

-  сила сопротивления среды с неравномерным распределением скорости (сила Факсена)

,

где – коэффициент сопротивления; – диаметр частицы; – скорость несущей среды;

-  подъемная сила (сила Саффмана)

,

где – константа Саффмана;

-  в результате несовпадения угловой скорости вращения частицы и завихрённости обтекающего потока возникает сила Магнуса

,

где – константа Магнуса;

-  возникает сила, связанная с необходимостью привести в ускоренное движение вытесненные частицей массы несущей среды (сила присоединенных масс)

,

где – коэффициент присоединённых масс;

-  кроме этого возникает нестационарная сила, вызванная формированием пограничного слоя (сила Басcе)

,

где – разность между скоростью потока и скоростью частицы в начальный момент времени.

В тоже время, жидкие фазы наиболее эффективно будут описываться уравнением Навье-Стокса

.

Полная количественная модель многокомпонентной системы суспензия – жидкость будет построена в следующей публикации.

Использованные источники

1. Ball P (1999) The self-made tapestry formation in nature. Oxford Univ Press, Oxford.

2. П. Гленсдорф, И. Пригожин. Термодинамическая теория структуры устойчивости и флуктуаций. – М.: Мир, 1973.

3. О методе качественного исследования свойств суспензии на водной подложке // Современные техника и технологии: Сборник трудов XIV Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2008. – С. 86.

4. Нигматулин многофазных сред. – М.: Наука, 1987.

Теоретические аспекты математического моделирования социально-экономических процессов

(на примере службы занятости)[1]

Северо-Кавказский социальный институт, Россия

(факультет информационных систем и технологий, 4 курс)

Науч. рук.: , к. физ.-мат. н.

Математическое моделирование является важным инструментом экономических исследований. Одним из основных структурных элементов экономики является рынок труда. Целью математического моделирования рынка труда является получение объективных данных, позволяющих в какой-то мере обеспечить повышение эффективности его функционирования.

Определение теоретического закона распределения потока требований от безработных

Имитационная модель службы занятости позволяет получить статистические показатели использования ресурсов, на которые существенное влияние оказывают характеристики потоков поступления требований от безработных и проводить количественный анализ процесса и результатов функционирования службы занятости.

В статье [2] предлагается имитационная модель службы занятости, позволяющая провести анализ работы Ставропольского городского центра занятости. Поток поступающих требований от безработных, в данной модели, подчиняется показательному закону.

Рассмотрим методику определения теоретического закона распределения потока требований от безработных с использованием критерия Пирсона.

Для того чтобы при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная непрерывная величина распределена по показательному закону, необходимо[1]:

1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю .

2. Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней.

3. Найти вероятности попадания Х в каждый из интервалов по формуле .

4. Вычислить теоретические частоты: ,

где - объем выборки, а Pi - вероятность попадания Х в i-ый интервал.

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона.

На основе полученных в результате эксперимента данных находим, что. По таблице критических точек распределения , по уровню значимости равному 0,01 и числу степеней свободы k=3 находим критическую точку правосторонней критической области .

Так как , то нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении Х по показательному закону. Данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.

Таким образом, предложенную методику можно использовать для определения закона распределения потоков поступающих требований от безработных. Следует учитывать, что критерий Пирсона применим в тех случаях, когда объем выборки n≥100 и в каждом интервале число наблюдений не меньше mi≥5.

Применение метода Монте-Карло для расчета заявок, поступающих в службу занятости

Одним из вычислительных методов, применяемым для исследования стохастических моделей, является метод Монте-Карло [3]. Метод Монте-Карло – это численный метод, который применяется для моделирования случайных величин и функций, вероятностные характеристики которых совпадают с решениями аналитических задач. Состоит метод в многократном воспроизведении процессов, являющихся реализациями случайных величин и функций, с последующей обработкой информации методами математической статистики.

Рассмотрим применение метода Монте-Карло для расчета системы массового обслуживания [6]. В службу занятости поступают заявки от безработных, которые обслуживаются в трех отделах. Время между поступлениями двух последовательных заявок (τi) распределено по показательному закону f(τ)=5e-5τ [1]. Длительность обслуживания каждой заявки равна 17 минутам. Заявки обслуживаются в течение 20 минут.

Система эта состоит из 3-х отделов обслуживания. В случайные моменты времени в систему поступают заявки. Каждая заявка поступает в отдел №1. Если в момент поступления заявки Тк этот отдел свободен, заявка обслуживается за время t3 (время занятости отдела). Если отдел занят, заявка мгновенно передается в отдел №2 и т. д. Если все n отделов в данный момент заняты, то система выдает отказ. Каждому отделу ставится в соответствие ячейка ЭВМ, в которую записывается момент освобождения отдела. Пусть в момент времени T1, начало расчета, все отделы свободны. Тогда время окончания расчета первой заявки Tk=0+17=17.

Первая заявка поступает в отдел №1 и тут же обслуживается, поскольку отдел свободен. Следовательно, в течение времени t3 этот отдел будет занят: t1=T1+t3 и добавляем 1 к счетчику выполненных заявок.

Вычислим момент поступления второй заявки: T2=T+τ2.

Момент поступления последующих заявок: Ti=Ti-1+τi.

Возможные значения τi: τi=(1/λ)*(-lnri)=0,2*(-ln(ri)).

Проверяем, свободен ли в этот момент первый отдел, т. е. выполнено ли условие t1≤Ti и условие окончания опыта: Tk>Tкон

Таким образом, в результате приведенных данных, поступления заявок, соответствующих подсчетов, свидетельствующих о том, что чем меньше случайное число, тем больше его натуральный логарифм, соответственно, тем больше времени между двумя последовательными заявками. А также можно заметить, что момент окончания обслуженных заявок в последующем отделе больше, чем в предыдущем.

Аналогично рассматриваются более сложные задачи.

Практические аспекты моделирования службы занятости методом динамического программирования

Динамическим программированием называют процесс пошаго­вого решения задач, когда на каждом шаге выбирается одно решение из множества допусти­мых (на этом шаге) решений, причем такое, которое оптимизирует заданную целевую функцию или функцию критерия.

Динамическое программирование используется для решения задач в системах, изменяющими свое состояние в соответствии с принятым управлением в некоторые моменты времени. Оптимальное управление поставленной задачей определяется конечной целью управления и состоянием системы в рассматриваемый момент времени [5].

Используем динамическое программирование для моделирования службы занятости. Предположим, что служба занятости состоит из четырех отделов, в которые одновременно в некоторый момент времени t поступают 3 заявки от безработных. Воспользуемся законом распределения поступающих заявок в службу занятости [4], тогда вероятности попадания заявок в определенные промежутки времени соответственно равны p1=0,6321; p2=0,2326; p3=0,0855. Установим различную эффективность (значимость) для заявок c1=5; c2=2; c3=1. Таким образом, рассматриваемая задача будет состоять в том, чтобы отыскать рациональное распределение отделов системы между заявками по критерию – «Математическое ожидание числа обслуженных заявок с учетом их эффективностей (значимостей)».

Пусть параметр xi – количество отделов системы, назначаемых для обслуживания i-й заявки, поступающей от безработных. Целевая функция задачи имеет вид:

Задача состоит в отыскании набора (x1*, x2*, x3*), максимизирующего и удовлетворяющего ограничению x1+x2+x3=4, x1>x2,x3≥0 – целые.

Состояние системы – количество L-нераспределенных отделов. Множество возможных состояний системы на каждом из шагов состоит из 5 элементов: {0,1,2,3,4}. Обозначим состояния системы следующим образом:

S0- все отделы распределены (L=0);

S1- не распределен один отдел (L=1);

S2- не распределены два отдела (L=2);

S3- не распределены три отдела (L=3);

S4- не распределены четыре отдела (L=4).

Результаты расчетов представим в таблице.

Таблица

	S0	S1	S2	S3	S4
xi	L	0	1	2	3	4
X3	F1*(si)	0	0	1	0,0855	2	0,0856	3	0,08556	4	0,08556
X2	F2*(si)	0	0	1	0,4652	1	0,8222	2	1,0962	3	1,1817
X1	F3*(si)	0	0	0	3,1605	1	4,3233	1	5,505	1	5,2162

Таким образом, оптимальное распределение отделов получится (X*1,X*2,X*3)=(1,2,1), т. е.: исходная ситуация – S4 (L=4),