Методы и алгоритмы распознавания объектов на растровом изображении (стр. 9 )

	0,4257	0,1498	0,3742	0,0890	0,2791	0,8134	0,2156	0,2413
	0,5743	0,8502	0,6258	0,9110	0,7209	0,1866	0,7844	0,7587

По данным видно, что наименьшей достоверностью характеризуется величина при (площадь кухни).

2.  Оценим качество уравнения, используя среднюю ошибку аппроксимации.

Среднюю ошибку аппроксимации используют для оценки статистической точности уравнения связи. Чем меньше теоретическая линия регрессии (рассчитанная по уравнению) отклоняется от фактической, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. В нашем случае имеем среднюю ошибку аппроксимации 0,3933

3.  Используя статистику Дарбина – Уотсона (DW), оценим наличие автокорреляции остатков.[2]

Для того чтобы оценить наличие автокорреляции была построена диаграмма значений , и остатков. Диаграмма свидетельствует о необходимости оценки наличия автокорреляции остатков, так как нельзя однозначно судить о постоянстве дисперсий отклонений и их взаимной независимости.

Необходимым условием независимости случайных отклонений является близость значения статистики DW к двойке. Тогда, если DW ≈ 2, мы считаем отклонения от регрессии случайными. Это означает, что построенная линейная регрессия, вероятно, отражает реальную зависимость, и не осталось неучтенных существенных факторов, влияющих на зависимую переменную, кроме того, какая-либо другая нелинейная формула не превосходит по статистическим характеристикам предложенную линейную. В этом случае, даже когда невелико, вполне вероятно, что необъясненная дисперсия вызвана влиянием на зависимую переменную большого числа различных факторов, индивидуально слабо влияющих на исследуемую переменную, и может быть описана как случайная нормальная ошибка.

Для ответа на вопрос, какие значения DW можно считать близкими к двум, разработаны специальные таблицы критических точек статистики Дарбина-Уотсона. Пользуясь правилом (1,5 < DW < 2,5), можем считать, что автокорреляция остатков отсутствует.

4.  Изучим проблемы гетероскедастичности и мультиколлинеарности.[2] При практическом проведении регрессионного анализа с помощью метода наименьших квадратов следует обратить внимание на условие постоянства дисперсий случайных отклонений. Его выполнимость называется гомоскедастичностью (постоянством дисперсий отклонений). Невыполнимость данного условия – гетероскедастичность.

Обнаружение гетероскедастичности в каждом конкретном случае является довольно сложной задачей. В данной работе используется метод графического анализа остатков. Наблюдаемые некоторые систематические изменения в соотношениях между значениями и квадратами отклонений отражают большую вероятность наличия гетероскедастичности для рассматриваемых статистических данных.

Мультиколлинеарность может быть проблемой лишь в случае множественной регрессии. Существует несколько признаков, по которым может быть установлено её наличие.[2]

a)  Коэффициент детерминации достаточно высок, но некоторые из коэффициентов регрессии статистически незначимы.

b)  Высокие частные коэффициенты корреляции.

Частные коэффициенты корреляции , , указывают на высокую зависимость (коллинеарность) между соответствующими переменными. Что также показывает наличие мультиколлинеарности.

Используя все вышеприведенные данные, остается отобрать наиболее информативные факторы для построения новой модели. Проранжируем имеющиеся факторы по силе их влияния на цену квартиры. Результаты ранжирования: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) . Исходя из более общих сведений, которые заключает в себе (общая площадь) квартиры по сравнению с (жилая площадь квартиры), а также того, что , из модели исключим переменную .

Далее построение модели будет происходить следующим образом: после наиболее значимого фактора в расчет принимается второй, затем третий и т. д. На каждом шаге рассчитываются уравнения связи, множественный коэффициент корреляции и детерминации, F–отношение (критерий Фишера), стандартная ошибка, с помощью которых оценивается надежность уравнения связи. Величина их на каждом шаге сравнивается с предыдущей. Чем выше величина множественного коэффициента корреляции и детерминации, F–отношение и чем ниже величина стандартной ошибки, тем точнее уравнение связи описывает зависимости, сложившиеся между исследуемыми показателями. Если добавление следующих факторов не улучшает оценочных показателей связи, то их необходимо отбросить.

После пошагового включения переменных получаем следующий результат: включение в модель переменных (район города), (расстояние до метро) ухудшает показатель , поэтому их следует исключить, что подтверждают оценки по критерию Стьюдента. Следовательно, данные переменные являются незначимыми для рассматриваемой модели.

С учетом всех данных новая модель зависимости будет иметь вид

.

Для данной модели , , , .

В результате построена модель, которая позволяет потребителю, задавая желаемые параметры, достаточно точно определить стоимость квартиры. Однако следует отметить, что данная математическая зависимость является лишь одним вариантом из множества возможных.

Количество факторов, влияющих на стоимость квартиры на вторичном рынке жилья, не ограничивается рассмотренными в данной работе. Доля влияния таких факторов значительно меньше уже учтенных, а сами они могут быть математически незначимыми. Но для конкретного потребителя в реальной ситуации выбора квартиры некоторые критерии приобретают особое значение. Данное утверждение особенно актуально для квартир с высокой стоимостью. Покупатели таких квартир помимо основных требований к площади, количеству комнат, типу дома и т. д. предъявляют дополнительные требования. К ним можно отнести близость культурно-спортивных объектов, торговых центров, отдаленность транспортных магистралей, особенности отделки помещений и т. п. В таком случае две квартиры, сходные по основным параметрам, могут значительно различаться в стоимости при наличии у одной из них некоторого особенного признака, не имеющего значительного веса на фоне общих статистических данных.

Все вышесказанное говорит о необходимости при построении модели учитывать не только математический аспект, но и руководствоваться экономической стороной и заданной целью каждого конкретного исследования.

Использованные источники

1. Курицкий оптимальных решений средствами Excel 7.0.–СПб.: BHV – Санкт-Петербург, 1997.– 384 с.

2. Эконометрика: Учеб. пособие / .– 2-е изд., испр.– Мн.: Новое знание, 2004.– 416 с.

Моделирование взаимодействия в многокомпонентных системах в процессах неорганического синтеза

, ,

Казахский национальный технический университет им. , Казахстан

Науч. рук.: , д. хим. н., профессор

Изучено взаимодействие в многокомпонентной системе, содержащей поллютанты негативно влияющие на окружающую среду, методом симплекс-решетчатого планирования. Система CaO-P2O5-SiO2- CaF2 изучена при различных температурах.

It was investigated the complex multi-componenrt system of receiving complete diagram “composition-property” by applying simplex lattice method of the mathematic planning of experiments. Interaction in CaO-P2O5-SiO2-CaF2 system had investigated at different temperatures.

Целью исследования сложных многокомпонентной систем, является обычно построение зависимости свойств от состава. Чаще всего нельзя заранее предсказать аналитическую форму (математическую модель) этой зависимости, и функцию представляют в виде отрезков степенного ряда полиномов той или иной степени. Задача в данном случае сводится к тому, чтобы по результатам опытов определить величину и знак коэффициентов регрессии. Уравнение, получаемое в результате опытов, можно представить в общем виде:

(1)

где y изучаемое свойство; xi - факторы; bi –коэффициенты регрессии. Часто уравнение (1) называют функцией отклика или уравнение регрессии. При выявлении зависимости свойства от состава сложных систем, содержащих смеси различных (q) компонентов, накладываются ограничения на все или часть переменных. При этом сумма компонентов смеси нормируется:

где xi - относительное содержание i – того компонента смеси.

Область определения смесевых переменных представляют собой симплекс с q вершинами (q-1)-мерном пространстве. В частности для q мерного пространства область определения смесевых переменных представляет собой точку, для 1-мерного пространства отрезок прямой, для 2-мерного - треугольник, для 3-мерного тетраэдр и. т.д. Реализация первого подхода связана с неудобствами, обусловленных тем, что влияние последнего q-того компонента на изучаемое свойство в отдельных случаях может быть существенным. В этой связи большой интерес представляет второй подход, позволяющий иметь зависимость свойств от состава в широком диапазоне изменения всех смесевых переменных. Для реализации второго подхода Sheffe предложил использовать так называемые приведенные полиномы. Планы, по которым в результате экспериментов строятся математические модели, представляют собой симплексные решетки и называют симплекс - решетчатыми. Экспериментальные точки в планах с целью оптимальной оценки коэффициентов полиномов равномерно разбросаны на симплексе, при этом они разделяют стороны симплекса на равные отрезки, т. е. шаг изменения компонентов равномерен.

В общем случае для q-компонентной смеси уравнения аппроксимация изучаемых свойств в зависимости от состава выглядят следующим образом:

- квадратичная модель:

- неполная кубическая модель:

- модель третьего порядка

- модель четвертого порядка

где у изучаемое свойство; β,δ,γ-коэффициенты регрессии:

- содержание - того компонентов сплаве.

Количество экспериментов, необходимое для построения моделей различной степени сложностей, равно числу коэффициентов уравнений.

Реальные поверхности отклика многокомпонентных систем характеризуется большим многообразием. Поэтому для адекватного описания их используется модели различной степени сложности. Линейные поверхности отклика, как правило, являются редким исключением, чаще всего это поверхности второго, третьего, четвертого, порядков, которые характеризуются наличием одного или нескольких экстремумов.

Каждая точка плана имеет индексы из четырех цифр (соответствует числу отрезков на ребре симплекса). Число повторений цифры указывают на число частей данного компонента в смеси. Например, обозначение 2223 соответствует смеси, содержащей три частей вещества Х2 и одну часть вещества Х3.

Для изучения влияния пентаоксида фосфора на физические свойства фосфатного шлака был выбран локальный участок системы CaO-SiO2-CaF2.При введении в эти расплавы P2O5 образуется черыхкомпонентная система, которую графически можно представить в виде трехмерного симплекса (тетраэдр). Составы вершин-Y1Y2Y3Y4. Перенормировка координат псевдокомпонентов в координаты исходных компонентов и наоборот происходит по алгоритмам:

CaO=46,81Х1+54,25Х2+47,6Х3+49,54Х4

SiO2=45,75Х2+45,2Х3+49,37Х4

CaF2=7,2Х3

P2O5=1,09Х4

Здесь Х1, Х2, Х3, Х4-содержание CaO-SiO2-CaF2 и P2O5 (доли ед.) в вершинах Y1Y2Y3Y4 симплекса. Выполнена развертка исследуемого трехмерного симплекса и выбраны экспериментальные точки на развертке.

В соответствии с симплекс-решетчатым планом реализуется 35 опытов, выход системы - вязкость η. В данной работе симплексный метод применен для изучения закономерностей изменения вязкости системы в зависимости от температуры в процессе синтеза силикофосфатов в изучаемой системе.

В каждом эксперименте получена зависимость η=f(t), по которой рассчитали температуру кристаллизации шлака (tкр) во всех 35 опытах. Температура кристаллизации экспериментальная (tкр. эксп) определена по графикам. Получена зависимость вязкости от температуры для заводского фосфатшлака. Заводской шлак характеризуется довольно низкой температурой кристаллизацией 1300°С.

Использованные источники

1. Sheffe H. Experiments with mixtures. //J. of Royal scientic society. 1958. Series B. P. p. 344-360.

Математическое моделирование резонансного взаимодействия упругих колебаний тонкой пластинки со сдвиговым сверхзвуковым течением

, ,

Саратовский государственный технический университет, Россия

Одной из основных задач теории гидродинамической устойчивости является задача о генерации волновых возмущений сдвиговым потоком [1,2]. Как известно, в простейшем случае при наличии в движущейся жидкости тангенциального разрыва скорости возникает неустойчивость Кельвина-Гельмгольца (КГ) [2]. Механизм неустойчивости КГ многократно применялся для объяснения широкого круга волновых процессов, начиная от возникновения волн на поверхности моря и заканчивая развитием гигантских возмущений на границе многих космических объектов, таких как кометные хвосты, выбросы из активных ядер галактик и тому подобное [3,4,5]. Существенной сложностью при этом является то, что инкремент неустойчивости увеличивается с ростом волнового числа . Так в случае плоской границы раздела двух жидкостей и дозвукового течения: , где величина скачка скорости, и плотности жидкостей. Таким образом, отсутствие максимума у величинына линейной стадии развития неустойчивости не позволяет объяснить наличие выделенного масштаба наблюдаемых возмущений. Выход ищут в рассмотрении сложных нелинейных режимов.

Исследована ветровая неустойчивость (ВН) упругих колебаний тонкой пластинки, возникающая при её обтекании потоком сжимаемого газа. Показано, что с ростом происходит смещение максимума инкремента ВН в сторону меньших длин волн. Произведен расчет частоты и инкремента наиболее быстро растущих волн для пластинки из Al.

Будем предполагать, что пластинка имеет толщину , плотность и расположена перпендикулярно к оси oy. Граница между пластинкой и газом совпадает с плоскостью xoz. Газ плотности занимает область , где движется со скоростьюи область, в которой покоится. Уравнение, описывающее свободные колебания пластинки, имеет вид:

, (1)

где - вертикальное смещение точек пластины. При этом компоненты смещения этих точек в плоскости xoz являются величинами второго порядка малости по сравнению с и потому полагаются равными 0,

, (2)

где Е - модуль Юнга, σ0 - коэффициент Пуассона.

При наличии газа к правой части (1) прибавим разность между его давлениями на противоположные поверхности пластинки:

(3)

Возмущенные величины в газе представим в виде бегущей волны и т. п. Из системы уравнений газодинамики на поверхности пластины находим:

, (4)

где возмущение плотности газа, . Для простоты в дальнейшем введем обозначения: . Для предположим, что , тогда аналогично (4) имеем:

(5)

Уравнение для компоненты скорости при :

. (6)

В выражении (6) величина поперечное волновое число:

. (7)

При уравнение для имеет существенно более простой вид:

(8)

Подставляя (4) и (5) в (3), находим дисперсионное уравнение для поверхностных волн:

(9)

Входящие в (9) величины и должны быть определены из уравнений (6) и (8) соответственно. Величина может быть представлена в виде:

. (10)

В пределе малых :

(11)

Таким образом, инкремент ветровой неустойчивости имеет максимум при:

(12)

В работе изучена ветровая неустойчивость изгибных колебаний пластины при ее взаимодействии с потоком сжимаемого газа. Показано, что сжимаемость потока оказывает, в целом, стабилизирующее воздействие на ветровую неустойчивость, однако, не приводит к окончательному ее подавлению. Инкремент ВН имеет максимум по , что приводит к возникновению выделенного масштаба возмущений. С увеличением скорости потока происходит смещение максимума инкремента ВН в область более коротких волн. Получены оценки длины волны, частоты и инкремента наиболее быстро растущего возмущения.

Использованные источники

1. , Фабрикант волн в сдвиговых гидродинамических течениях // Успехи Физ. Наук.- 1989.- Т.159, вып. 1.-С.83-123.

2. , Лифшиц физика. Т. VI. Гидродинамика.-М. Наука, 1986, 736 с.

3. Birkinshow M. The Kelvin-Helmholtz instability for relativistic particle beams. Stability analyses in the time and space domains for vortex-sheet flows // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society.- 1984.- vol. 208.- Р.887-903.

4. Hardee P. E. Helical and pinching instability of supersonic expanding jets in extragalactic radio sources // The Astrophysical Journal.-1982.-vol.257.-Р.509-526.

5. Turland B. D., Schouer P. A.G. Instabilities of Kelvin-Helmholtz type for relativistic streaming // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society.-1976.-vol.176.-Р.421-443.

6. , Конторович неустойчивость и спиральные структуры в кометных хвостах // Письма в Астрон. Журн.- 1984.-Т.10.-№10.-С.790-796.

Применение расчетов на основе математического аппарата теории пластичности для сокращения ресурсозатрат

Камская государственная инженерно-экономическая академия, Россия

Науч. рук.: , д. физ.-мат. н., профессор

Ресурсосберегающие технологии могут быть созданы только на основе серьезных научных исследований.

Чтобы проиллюстрировать возможности науки в области ресурсосбережения, рассмотрим некоторые результаты, полученные нами. На рис. 1 приведена защемленная балка прямоугольного поперечного сечения, нагруженная равномерно распределенной нагрузкой. Описаны два способа определения грузоподъемности (предельной несущей способности) этой балки. Первый способ – базируется на методах теории упругости, когда уравнения – линейные [1]. Второй способ базируется на соотношениях теории пластичности, которые существенно сложнее соотношений теории упругости, так как некоторые уравнения являются нелинейными [2]. Следует обратить внимание на то, что второй способ расчетов показывает, что грузоподъемность балки в 2 раза выше, чем при расчете по первому способу! Это говорит о том, что, при одной и той же эксплуатационной нагрузке, согласно первому способу, балка получается на 58,7% тяжелее (т. е. больше расход материала), чем при проектировании согласно второму подходу. Здесь собственный вес балки не учитывался. Если его учитывать, разница будет еще больше. В настоящее время для расчетов элементов конструкций применяют стандартные программные комплексы, многие из которых составлены на базе теории упругости. Бездумное использование таких комплексов может привести к утяжелению конструкций, к перерасходу материалов.

Сравнение результатов расчетов по первому и второму способам с позиции грузоподъемности балки.

Сравнение приведенных чуть ниже результатов расчетов по теории упругости и теории пластичности с позиции расхода материала.

Здесь V0 – необходимый объем материала балки, исходя из расчета по теории упругости; Vпр – необходимый объем материала балки, исходя из расчета по теории пластичности.

1. Расчет по теории упругости

; ; ;.

Рисунок 1

2. Расчет по теории пластичности

; ;; ;;

; (1)

,

Рисунок 2

Использование теории пластичности труднее реализуемо на практике. Чтобы кратко проиллюстрировать это, остановимся только на вопросе о прочности брусьев.

В случае балки прямоугольного поперечного сечения, при учете только изгибающего момента, предельное значение этого момента определяется формулой (1). В общем случае предельные значения внутренних сил и моментов определяются параметрическими уравнениями (3). Вывод как самих уравнений (3), так и их использование в практике проектирования представляют собой сложную научно-техническую задачу. Задача еще более осложняется при использовании композитных материалов (например, железобетона).

Рассмотрим брусья из таких анизотропных материалов, поверхности прочности для которых могут быть аппроксимиро­ваны следующим уравнением:

(2)

Здесь компоненты тензора напряжений. Используя ассоциированный с (2) закон деформирования [3], формулы Кирхгофа для скоростей деформаций [4] и интегрируя по площади сечения бруса, получаем:

Здесь T11 – осевая сила; Q21, Q31 – поперечные силы; M1 – крутящий момент; M2, M3 – изгибающие моменты; A – площадь поперечного сечения.

Уравнения (3) являются параметрическими уравнениями поверхности прочности, в пространстве внутренних сил и моментов, для анизотропных 0' (t)=- λ1 p0 (t);

P1'(t)=- λ2 p1 (t)+ λ1 p0 (t); (5)

…………………………

PL' (t)= λ LpL-1 (t);

QUOTE (t)=1; с начальными условиями p0 (0)=1; pi (0)=0, где обозначено

λi =λ /Bi

Решив эту систему уравнений, получим выражения для вероятностей состояния:

Pi (t)= QUOTE exp(-λj t); (i=0,L-1); pl (t)=1- QUOTE (t),

Где αi =1; αj = QUOTE (6)

По выражению (6) можно рассчитывать вероятности полноты освоения учебного курса для любого момента времени и использовать эти значения в качестве прогнозных оценок состояний учебного процесса. При t=T получаем прогноз на момент окончания изучения курса.

По окончании изучения курса проводится итоговый контроль в форме зачета или экзамена. Обучаемому выставляется оценка в баллах по 100-бальной шкале, которая соответствует полноте и глубине освоения учебного курса. Сравнивая результаты прогноза и фактической оценки, можно оценить качество прогнозирующей модели, например, по величине относительной погрешности результирующего балла δ= QUOTE *100%, где pL* - средний балл итогового контроля. Затем рассмотрим ситуацию текущего контроля в дискретные моменты времени 0<t1 <t2<…<tk <T. Текущий контроль может проводиться в любой момент времени или по завершении изучения темы курса. Для более эффективной оценки знаний учащихся лучше проводить его в форме тестирования.

Пусть в результате тестового контроля в момент ti получена оценка pi* полноты усвоения i-й темы учебного курса. Используя эту оценку, можно скорректировать прогнозную модель обучения, вводя ее в качестве начального условия для i-го состояния учебного процесса: pi (0)=pi*.

Интегрируя системы уравнений (5) на оставшемся интервале времени (ti, T), получаем прогнозные оценки с учетом результата текущего контроля. По результатам текущего контроля можно корректировать тематический план курса, исходя из реальных результатов его освоения. Можно, например, увеличить времени на прохождение очередной темы курса, либо увеличить количество времени на самостоятельную работу студентов.

В модели эта коррекция вводится путем изменения начальных условий для состояний учебного процесса pi (0)=pi* , (i= QUOTE ), а также времени изучения последующих тем учебного курса и, соответственно, моментов текущего времени.

Использованные источники

1. , . Вероятностно-статистическая модель обучения./ Информационно-измерительные и управляющие системы. №7, 2008, с.8-12.

2. Математические методы и модели в экономике: учеб. пособие/ А, , -Мн.: ТетраСистемс, 2002.

3. Новиков математика для программистов. Учеб. для вузов, 2-е изд.-Спб.: Питер, 2004.

[1] Работа выполнена при финансовой поддержке РГНФ, проект №а