Учебно-методическое пособие «Финансовая математика» (стр. 11 )

Сущность расчета заключается в том, что денежный поток состоящий из одинаковых по величине выплат и неограниченный по времени имеет конечную сегодняшнюю стоимость, т. к. при инфляции больше нуля сегодняшняя стоимость периодической выплаты постоянно уменьшается и в бесконечности стремится к нулю.

Формула приведенной стоимости бессрочного аннуитета:

A
PV = ,

R

Где:

PV - приведенная (текущая) стоимость;
A - величина равномерного поступления;
r - процентная ставка;

Пример. Необходимо рассчитать стоимость бессрочного аннуитета при 100 рублях ежегодных выплат и ставке равной 12%.

PV = 100 / 0,12 = 833,33 рубля.

Для выполнения вышеприведенных условий необходимо инвестировать 833,33 рубля.

При использовании данного финансового инструмента необходимо учитывать, что приемлемая ставка дисконтирования (процентная ставка) должна включать в себя безрисковую ставку и премию за риск.

.

Рис. 1. График приведенной стоимости бессрочного аннуитета; текущие стоимости при ежегодном поступлении 1000 руб

Задача. Используя данные таблицы определите стоимость ценной бумаги, если срок действия не ограничен, ежегодный дивиденд составляет указанное количество рублей, и обозначена учетная ставка.

Таблица. Приведенная стоимость бессрочного аннуитета

Вариант	Аннуитет, руб.	Процентная ставка, %	Ответ
1	140	12	1166
2	150	12	1250
3	160	12	1333
4	170	12	1416
5	180	12	1500
6	190	12	1583
7	200	12	1666
8	210	12	1750
9	220	12	1833
10	230	12	1916
11	240	12	2000
12	250	12	2083
13	260	12	2166
14	270	12	2250
15	280	12	2333

Вопросы к семинару № 1.  Базисные финансовые расчеты

1.  Вкладчик собирается положить в банк 500 тыс. руб. с целью накопления 1 млн. руб. Процентная ставка банка - 120% годовых. Определить срок в днях, за который вкладчик накопит требуемую сумму.

2.  Вкладчик собирается положить деньги в банк с целью накопления через год 5 млн. руб. Процентная ставка банка - 25% годовых. Определить требуемую сумму вклада.

3.  Депозит в размере 500 тыс. руб. помещен в банк на 3 года. Определить сумму начисленных процентов по простой и сложной процентной ставке, равных 80% годовых.

4.  Сложные проценты на вклады начисляются ежеквартально по номинальной годовой ставке 100% годовых. Определить сумму процентов, начисленных на вклад 200 тыс. руб. за 2 года.

5.  Банк ежегодно начисляет сложные проценты на вклады по ставке 25% годовых. Определить сумму, которую надо положить в банк, чтобы через 3 года накопить 100 млн. руб.

6.  На сберегательный счет в течение 5 лет каждые полгода будут вноситься 500 тыс. руб., на которые раз в год будут начисляться сложные проценты по ставке 80% годовых. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.

7.  В пенсионный фонд в конце каждого квартала будут вноситься 125 тыс. руб., на которые также ежеквартально будут начисляться сложные проценты по номинальной годовой ставке, равной 10%. Определить сумму, накопленную в фонде за 20 лет.

8.  Вклад в сумме 500 тыс. руб. положен в банк на 2 года с ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной годовой ставке, равной 10%. Определить реальный доход вкладчика для ожидаемого месячного уровня инфляции 5 и 15%.

9.  Кредит в размере 50 млн. руб., выданный под 80% годовых, должен погашаться равными суммами в течение 5 лет. Определить размеры ежегодных срочных уплат и сумму выплаченных процентов, если погасительные платежи осуществляются: а) один раз в конце года, б) каждые полгода.

10.  Кредит на сумму 6 млн. руб. открыт на 2 года при простой процентной ставке, равной 40% годовых. Погашение кредита должно осуществляться равными взносами. Определить стоимость кредита, погашаемую сумму и размер взносов, если погасительные платежи осуществляются: а) в конце каждого года, б) в конце каждого полугодия.

11.  Кредит на сумму 10 млн. руб. с ежегодным начислением сложных процентов по ставке, равной 20% годовых, должен погашаться  в течение 5 лет равными срочными уплатами. Определить размер срочной уплаты, общих расходов заемщика по погашению кредита и сумму выплаченных процентов, если погасительные платежи осуществляются: а) ежеквартально, б) ежемесячно.

Практическая работа № 11. Оценка безотзывной облигации с годовым начислением процентов

Облигации относятся к ценным бумагам с фиксированным уровнем дохода. Для расчета текущей рыночной стоимости облигации дисконтируют и суммируют денежные потоки образованные купонным доходом, и затем складывают с дисконтированной нарицательной стоимостью облигации.

Формула оценки облигации с годовым начислением процентов:

PV - текущая цена облигации;
CF - годовой купонный доход;
r - требуемая норма прибыли;
n - число лет до погашения облигации;
M - нарицательная стоимость, выплачиваемая при погашении облигации.

Пример 1. Номинал облигациирублей, доход по облигации 17% (требуемая норма прибыли), номинальный доход 14% (годовой купонный доход), срок погашения 8 лет. Оцените стоимость облигации.

14% номинальный доход соответствует ежегодным процентным выплатам в размере 1 400 рублей
PV = 1400 / (1 + 0,17) + 1400 / (1 + 0,17)2 + 1400 / (1 + 0,17)3 + … + 1400 / (1 + 0,17)8 +
+ 10000 / (1 + 0,17)8 = 8737 рублей.

Пример 2. Номинал облигациирублей, доход по облигации 11% (требуемая норма прибыли), номинальный доход 14% (годовой купонный доход), срок погашения 8 лет. Оцените стоимость облигации.

14% номинальный доход соответствует ежегодным процентным выплатам в размере 1 400 рублей.
PV = 1400 / (1 + 0,11) + 1400 / (1 + 0,11)2 + 1400 / (1 + 0,11)3 + … + 1400 / (1 + 0,11)8 +
+ 10000 / (1 + 0,11)8 = 11543 рубля.

В первом примере облигация продается с дисконтом т. е. рыночная стоимость облигации уступает ее номинальной стоимости (требуемая норма прибыли больше годового купонного дохода).

Во втором примере облигация продается с премией т. е. рыночная стоимость облигации превышает ее номинальную стоимость (требуемая норма прибыли меньше годового купонного дохода).

При увеличении уровня инфляции или повышения степени риска и т. д. увеличивается требуемая норма прибыли и вследствии этого уменьшается рыночная стоимость облигации. При уменьшении уровня инфляции или понижении степени риска и т. д. уменьшается требуемая норма прибыли и вследствии этого увеличивается рыночная стоимость облигации.

Облигации с более долгим сроком погашения являются более рисковыми с точки зрения изменения рыночной стоимости облигации.

Чем меньше номинальный доход тем больше изменение рыночной стоимости облигации, при том же изменении требуемой нормы прибыли.

.

Рис. 1. График оценки безотзывной облигации с годовым начислением процентов; текущая цена облигации при годовом купонном доходе равном 1500 рублей, нарицательной стоимостьюруб. и нормой прибыли 4, 12, 20, 28%

Задача. Используя данные таблицы найдите сегодняшнюю рыночную цену облигации, если указан ежегодный доход по ней.

Таблица. Оценка безотзывной облигации с годовым начислением процентов.

Вариант	Годовой купонный доход	Требуемая норма прибыли, %	Нарицательная стоимость, выплач. при погашении	Число лет до погашения облигации	Ответ
1	7	12	200	5	138
2	13	18	206	11	93
3	19	24	212	17	82
4	25	30	218	23	83
5	31	36	224	29	86
6	37	42	230	35	88
7	43	48	236	41	89
8	49	54	242	47	90
9	55	60	248	53	91
10	61	66	254	59	92
11	67	72	260	65	93
12	73	78	266	71	93
13	79	84	272	77	94
14	85	90	278	80	94
15	202	12	115	8	1049

Практическая работа № 12. Расчет оптимальной партии заказа или "Модель экономически обоснованного заказа" (EOQ - model)

Существуют две крайности при решении проблемы оптимальной партии заказа: делать очень редко заказ с большим количеством сырья, или частые заказы с малым количеством сырья. В первом случае минимальны затраты на оформление, доставку и т. д. партии заказа, но максимальны при хранении сырья. Во втором случае все наоборот.