Учебно-методическое пособие «Финансовая математика» (стр. 6 )

kок = 3 + 54 / 458 = 3,12

Таким образом, период, реально необходимый для возмещения инвестированной сумы, составит 3,12 года или 3 года и 44 дня.

Если доходы можно представить в виде аннуитета, то

Срок окупаемости существует, если не нарушаются определенные соотношения между поступлениями и размером инвестиций. При ежегодных постоянных поступлениях это соотношение имеет вид:

Rk < IC • i,

т. е. не всякий уровень дохода при прочих равных условиях приводит к окупаемости инвестиций.

Тема 7.2.3. Внутренняя норма доходности

При анализе эффективности инвестиционных проектов широко используется показатель внутренней нормы доходности (IRR – internal rate of return) – это ставка дисконтирования, приравнивающая сумму приведенных доходов от инвестиционного проекта к величине инвестиций, т. е. вложения окупаются, но не приносят прибыль. Величина этой ставки полностью определяется "внутренними" условиями, характеризующими инвестиционный проект.

Применение данного метода сводится к последовательной итерации (повторения) нахождения дисконтирующего множителя, пока не будет обеспечено равенство NPV = 0.

Выбираются два значения коэффициента дисконтирования, при которых функция NPV меняет свой знак, и используют формулу:

IRR = i1 + NPV(i1) / [NPV(i1) - NPV(i2)] • (i2 - i1)

Инвестор сравнивает полученное значение IRR со ставкой привлеченных финансовых ресурсов (CC – Cost of Capital):

если IRR > CC, то проект можно принять; если IRR < СС, проект отвергается; IRR = СС проект имеет нулевую прибыль.

Пример 38. Рассчитать внутреннюю ставку доходности по проекту, где затраты составляют 1200 тыс. руб., а доходы 50; 200; 450; 500 и 600 тыс. руб.

Решение:

Расчет по ставке 5%:

NPV = 47619 + 181406 + 388767 + 411351 + 470= 299259.

Поскольку NPV > 0, то новая ставка дисконтирования должна быть больше 5%.

Расчет по ставке 15%:

NPV = 43478 + 151229 + 295882 + 285877 + 298= -125228.

Вычисляем внутреннюю ставку доходности:

IRR = 5 + [299259 / [299]] • = 12,05.

Внутренняя норма доходности проекта равна 12,05%.

Точность вычисления обратна величине интервала между выбираемыми процентными ставками, поэтому для уточнения величины процентной ставки длина интервала принимается за 1%.

Пример 38. Уточнить величину ставки для предыдущего примера.

Решение:

Для процентной ставки 11%:

NPV = 45045 + 162324 + 329036 + 329365 + 356= 21841.

Для процентной ставки 12%:

NPV = 44643 + 159439 + 320301 + 317759 + 340= -17402.

Уточненная величина:

IRR = 11 + [21841 / [21]] • = 11,56.

Ставка 11,56 % является верхним пределом процентной ставки, по которой фирма может окупить кредит для финансирования инвестиционного проекта.

Практическая работа № 1. Методика расчета простых процентов

Рассмотрим операции с простыми процентами.

Начисление простых декурсивных и антисипативных процентов производится по различным формулам:

·  декурсивные проценты :

(3)

·  антисипативные проценты:,

(4)

где

n – продолжительность ссуды, измеренная в годах.

Для упрощения вычислений вторые сомножители в формулах (3) и (4) называются множителями наращения простых процентов:

(1 + n*i) – множитель наращения декурсивных процентов;

1 / (1 – n*d) – множитель наращения антисипативных процентов.

Наращение по антисипативному методу всегда происходит более быстрыми темпами, чем при использовании процентной ставки. Поэтому банки используют этот метод для начисления процентов по выдаваемым ими ссудам в периоды высокой инфляции. Однако у него есть существенный недостаток: как видно из формулы (4), при n = 1 / d, знаменатель дроби обращается в нуль и выражение теряет смысл.

Антисипативным методом начисления процентов обычно пользуются в чисто технических целях, в частности, для определения суммы, дисконтирование которой по заданным учетной ставке и сроку, даст искомый результат. В следующем параграфе будут рассмотрены конкретные примеры возникновения подобных ситуаций.

Однако продолжительность ссуды (или другой финансовой операции, связанной с начислением процентов) n необязательно должна равняться году или целому числу лет. Напротив, простые проценты чаще всего используются при краткосрочных (длительностью менее года) операциях.

В этом случае возникает проблема определения длительности ссуды и продолжительности года в днях. Если обозначить продолжительность года в днях буквой K (этот показатель называется временная база), а количество дней пользования ссудой t, то использованное в формулах (3) и (4) обозначение количества полных лет n можно будет выразить как t/K. Подставив это выражение в (3) и (4), получим:

для декурсивных процентов:

(6)

для антисипативных процентов:

(7)

Если временная база (K) принимается равной дням, то проценты называются точными.

Если временная база равна 360 дням, то говорят о коммерческих или обыкновенных процентах.

Обратной задачей по отношению к начислению процентов является расчет современной стоимости будущих денежных поступлений (платежей) или дисконтирование.

В ходе дисконтирования по известной будущей стоимости S и заданным значениям процентной (учетной) ставки и длительности операции находится первоначальная (современная, приведенная или текущая) стоимость P.

В зависимости от того, какая именно ставка – простая процентная или простая учетная – применяется для дисконтирования, различают два его вида: математическое дисконтирование и банковский учет.

Метод банковского учета получил свое название от одноименной финансовой операции, в ходе которой коммерческий банк выкупает у владельца (учитывает) простой или переводный вексель по цене ниже номинала до истечения означенного на этом документе срока его погашения.

Разница между номиналом и выкупной ценой образует прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D).

Для определения размера выкупной цены (а, следовательно, и суммы дисконта) применяется дисконтирование по методу банковского учета. При этом используется простая учетная ставка d. Выкупная цена (современная стоимость) векселя определяется по формуле:

(8)

где

t – срок, остающийся до погашения векселя, в днях.

Второй сомножитель этого выражения (1 – (t / k ) * d) называется дисконтным множителем банковского учета по простым процентам.

Как правило, при банковском учете применяются обыкновенные проценты с точной длительностью ссуды (2 вариант).

При математическом дисконтировании используется простая процентная ставка i.

Расчеты выполняются по формуле:

(9)

Выражение 1 / (1 + (t / k) * i) называется дисконтным множителем математического дисконтирования по простым процентам.

Этот метод применяется во всех остальных (кроме банковского учета) случаях, когда возникает необходимость определить современную величину суммы денег, которая будет получена в будущем.

Например, покупатель обязуется оплатить поставщику стоимость закупленных товаров через 90 дней после поставки в сумме 1 млн. рублей. Уровень простой процентной ставки составляет 30% годовых (обыкновенные проценты). Следовательно, текущая стоимость товаров будет равна:

P = 1 / (1 + 90 / 360 * 0,3) = 0,93 млн. рублей

Применив к этим условиям метод банковского учета, получим:

P = 1 * (1 – 90 / 360 * 0,3) = 0,925 млн. рублей

Второй вариант оказывается более выгодным для кредитора. Следует помнить, что каких-то жестких требований выбора того либо иного метода выполнения финансовых расчетов не существует. Никто не может запретить участникам финансовой операции выбрать в данной ситуации метод математического дисконтирования или банковского учета.

Существует, пожалуй, единственная закономерность – банками, как правило, выбирается метод, более выгодный для кредитора (инвестора).

Основной областью применения простых процентной и учетной ставок являются краткосрочные финансовые операции, длительность которых менее 1 года. Вычисления с простыми ставками не учитывают возможность реинвестирования начисленных процентов, потому что наращение и дисконтирование производятся относительно неизменной исходной суммы P или S.

Декурсивные и антисипативные простые проценты

Вариант	Текущая стоимость, руб.	Процентная ставка, %	Число лет	Ответ. Декурсивные проценты
1	100	13	2	126,00
2	300	13	2	378,00
3	400	18	2	544,00
4	500	20	2	700,00
5	150	22	2	216,00
6	350	15	2	455,00
7	450	29	2	711,00
8	555	22	2	799,20
9	100	15	3	145,00
10	200	19	3	314,00
11	222	20	3	355,20
12	100000	17	2	00
13	980	18	3	1509,20
14	90000	22	2	00
15	150	17	4	252,00

Вариант	Текущая стоимость, руб.	Процентная ставка, %	Число лет	Ответ. Антисипативные проценты
1	100	13	2	135,14
2	300	13	2	405,41
3	400	18	2	625,00
4	500	20	2	833,33
5	150	22	2	267,86
6	350	15	2	500,00
7	450	29	2	1071,43
8	555	22	2	991,07
9	100	15	3	181,82
10	200	19	3	465,12
11	222	20	3	555,00
12	100000	17	2	15
13	980	18	3	2130,43
14	90000	22	2	29
15	150	17	4	468,75

Практическая работа № 2. Методика расчета сложных процентов.

Для оценки движения финансовых потоков во времени применяют различные формулы финансовой математики, в том числе и расчет сложных процентов. Сущность расчета заключается в том, что проценты начисленные за период, по инвестированным средствам, в следующем периоде присоединятся к основной сумме, в результате чего в следующем периоде проценты будут начислены и на основную сумму, и на добавленные проценты. При этом происходит капитализация (процесс наращения) процентов по мере их начисления и база, с которой начисляются проценты, постоянно возрастает.