Учебно-методическое пособие «Финансовая математика» (стр. 8 )

Формула многократных внутригодовых начислении процентов с целым числом лет:

FV = PV * (1 + r / m )m*n,

где

FV - будущая (конечная) стоимость;

PV - текущая стоимость;

r - ссудный процент(процентная ставка, исходная процентная ставка, объявленная процентная ставка);

m - количество начислений в году;

n - количество лет.

Например, рассмотрим начисление процентов раз в полгода. Инвестируем 100 рублей под 13% годовых, и получим через полгода 100 * (1 + 0,13 / 2) = 106,5 рублей, в конце года 100 * (1 + 0,13 / 2)2 = 113,42 рубля. Если бы инвестировали по схеме сложных процентов с начислением 1 раз в год, то получили бы 100 * (1 + 0,13) = 113 рубля.

Рассмотрим для сравнения начисление процентов раз в квартал. Инвестируем 100 рублей под ссудный процент 13% годовых, и получим через год 100 * (1 + 0,13 / 4)4 = 113,65 рублей. При начислении процентов раз в месяц при тех же условиях получим 100 * (1 + 0,13 / 12)12 = 113,80 рублей.

При начислении
1 раз в год  113,00 изменение 0
2 раза в год 113,42 изменение + 0,42
4 раза в год 113,65 изменение + 0,23
12 раз в год 113,80 изменение + 0,15

Из примера видно, что при увеличении количества начислений процентов в году будущая стоимость увеличивается, но при этом скорость увеличения снижается.

.

Рис. 1. График многократных внутригодовых начислений процентов с целым числом лет; конечные стоимости: начальная сумма 1000 руб., ставка ссудного процента 4, 12, 20, 28% годовых

Задача. Используя данные таблицы, определите, сколько будет денег на счете в банке с ежемесячным начислением процентов?

Многократное внутригодовое начисление процентов

Вариант	Текущая стоимость, руб.	Годовая ставка, %	Количество начислений в году	Число лет	Ответ
1	120	12	3	5	216
2	135	17	4	7	432
3	150	22	5	9	1041
4	165	27	6	11	3014
5	180	32	7	13	10516
6	195	37	8	15	44288
7	210	42	9	17	225373
8	225	47	10	19	1386921
9	240	52	11	21
10	155	57	12	23
11	270	13	13	25	6851
12	285	17	14	27	27305
13	300	18	15	29	53782
14	315	19	16	31	109960
15	330	20	17	33	233414

Практическая работа № 5. Приведенная стоимость

Для оценки движения финансовых потоков во времени применяют различные формулы финансовой математики, в том числе и расчет приведенной стоимости или метод дисконтированных денежных потоков.

Дисконтирование является обратной операцией расчета сложных процентов. В то время, когда инфляция больше нуля, деньги сегодня стоят дороже чем завтра. Для того чтобы определить сегодняшнюю стоимость денег и применяют дисконтирование денежных потоков.

Сущность расчета заключается в том, что планируемые к получению в будущем деньги перисчитываются в сегодняшнюю стоимость, с учетом количества периодов и ставки дисконтирования, по формуле обратной расчету сложных процентов.

Например, планируемые к получению 1000 рублей через 1 год инвестирования при ставке дисконтирования 15% эквивалентны сегодняшним 869,57 рублям; для планируемых к получению 1000 рублей через 2 года инвестирования при ставке дисконтирования 15% эквивалентны сегодняшним 756,14 рублям; для планируемых к получению 1000 рублей через 3 года инвестирования при ставке дисконтирования 15% эквивалентны сегодняшним 657,52 рублям.

В данном примере величина 869,57 рублей является текущей стоимостью величины 1000 рублей, полученных от инвестиции сроком на 1 год при ставке дисконтирования 15%.

Формула для расчета дисконтированного денежного потока:

FV
PV = , где
 (1 + r)n

FV - будущая стоимость;
PV - текущая стоимость;
r - ставка дисконтирования;
n - количество лет.

Чем дольше срок получения инвестиции и чем выше ставка дисконтирования, тем меньше текущая стоимость.

.

Рис. 1. График приведенной стоимости; текущие стоимости: начальная суммаруб., ставка дисконтирования 4, 12, 20, 28% годовых

Задача. Используя данные таблицы рассчитайте сколько денег нужно положить на счет в банке, чтобы через указанное число лет получить указанную сумму рублей, при указанной учетной ставке?

Таблица. Приведенная стоимость

Вариант	Конечная (будущая) стоимость, руб.	Процентная ставка, %	Число лет	Ответ
1	120	15	2	90
2	137	18	4	70
3	154	21	6	49
4	171	24	8	30
5	188	27	10	17
6	205	30	12	8
7	222	33	14	4
8	239	36	16	1
9	256	39	18	0
10	273	42	20	0
11	290	15	22	13
12	307	16	24	8
13	324	17	26	5
14	341	18	28	3
15	358	19	30	1

Практическая работа № 6. Будущая стоимость срочного аннуитета постнумерандо

Для оценки движения финансовых потоков во времени применяют различные формулы финансовой математики, в том числе и расчет будущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо.