Алексей Витальевич Финкельштейн (стр. 7 )

  Статистическая сумма играет очень важную роль в статистической физике, так как величина Z(Т) позволяет прямо вычислить свободную энергию системы, находящейся в фиксированном объеме
 

F(T) = E(T) - TS(T) = Sj wj.{ej + kBT. ln(wj)} = Sj wj.{ej + kBT.(-ej/kBT - ln[Z(T)]} = - kBT. ln[Z(T)]

(8.9)

(в предпоследнем равенстве мы воспользовались формулой 8.5). Затем можно прямо найти энтропию системы: S(T) =  —dF/dT (мы с этой формулой уже встречались, но проверьте ее самостоятельно, исходя из определений, даваемых формулами 8.9, 8.6, 8.5 и 8.8), а затем  —  и ее энергию E(T) º F(T) + TS(T) = F(T) - T(dF/dT).

  Существенные, но второстепенные замечания.

  1) Внутренняя температура "малой системы" Tin равна температуре термостата Т. Это следует из того, что, согласно приведенным выше определениям и уравнениям, Tin º dE(T)/dS(T) = d[F(T)-T(dF/dT)]/d(-dF/dT) = [dF/dT-T(d2F/dT2)-dF/dT]dT/ (—  d2F/dT2)dT = T.
  2) Полная энергия складывается из кинетической и потенциальной. Первая зависит только от скоростей частиц, а вторая  —  только от их места в пространстве, но не от скоростей. "Микросостояние" каждой частицы задается ее координатой в пространстве и ее скоростью. В классической (не квантовой) механике сочетание скоростей и координат может быть любым (и, как мы знаем, квантовое соотношение Гайзенберга, DvDx~/m,  —  при комнатной температуре  —  ограничивает сочетание скоростей и координат только у очень легких частиц  —  электронов). Это значит, что вероятности координат и скоростей можно "расцепить", т. е. w(eкинет+ eкоорд) ~ exp(-eкинет/k BT) x exp(-eкоорд/k BT). Продолжая несложные вычисления (предлагаю их сделать самим!), легко увидеть, что свободные энергии, энергии и энтропии тоже можно "расцепить" на кинетические и координатные части, т. е. F = Fкинет. + Fкоорд. и т. д. Важно, что кинетические части не зависят от конфигурации системы (фактически, они дают только постоянный вклад в теплоемкость)  —  и их можно отбросить при изучении конформационных превращений. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о конфигурационных (или конформационных) энергетических спектрах, энергиях, энтропиях и т. д.
  3) Выше мы суммировали по микросостояниям  —  но в рамках классической механики мы можем с тем же успехом интегрировать по координатам и скоростям, задающим микросостояние каждой частицы.
  4) Равновесная температура может быть только положительной. Иначе интегрирование вероятностей по скоростям, т. е. ехр(-mv2/2kT)dv, обращается в бесконечность на больших скоростях  —  и система "взрывается".
  Поэтому стабильное состояние никак не может наблюдаться в тех областях конформационного энергетического спектра, где его плотность (и, значит, энтропия системы) падает с ростом ее энергии: этим областям соответствует Т<0 (см. формулы 8.4 и 8.1 и Рис.8-2а).
  5) Величина kBT измеряется в единицах типа "энергия на частицу" или "энергия на моль (=6.02x1023) частиц". Если бы люди с самого начала выражали бы температуру в энергетических единицах, константа Больцмана "kB" не потребовалась бы вообще. Однако история сложилась так, что сначала ввели температурную единицу  —  "градус"  —  а потом уже поняли, что "градус" можно всегда пересчитать, конвертировать в "энергию в расчете на частицу": для этого достаточно умножить его (градус) на некоторую константу  —  "константу Больцмана". Соответственно, размерность kB  —  "энергия_на_частицу/градус". Величина kB зависит о того, в чем выражается энергия  —  то ли в "джоуль_на_частицу", то ли в "кал_на_моль частиц". Согласно измерению энергетической величины градуса, kB = 1.38x10-23 (джоуль/частицу)/градус. Однако kB можно выразить и по-иному - в расчете не на штуку, а на моль частиц: 1.38x10-23 (джоуль/частицу)/градус = 1.38x10-23 (джоуль x [6.02x1023]/[6.02x1023 частиц])/градус = [1.38 x 10-23 x 6.02x1023] (джоуль/моль_частиц)/градус = 8.31 (Дж/моль)/градус = 1.99 (кал/моль)/градус. Последнюю величину — 1.99 (кал/моль)/оК — традиционно именуют "газовой постоянной" R.
  6) Удельная энтропия часто выражается в энтропийных единицах, "э. ед": э. ед. = (кал/моль)/оК » kB/2. Стало быть, энтропии в 1 э. ед. соответствует е1/2 » 1.65 состояний системы в расчете на частицу.
 
 
 
 

  Рис.8-2. Участки графика S(E), которым не может соответствовать никакое стабильное состояние системы. (а) Участки, где энтропия S(E) падает с ростом энергии Е: здесь Т = 1/(dS/dE) < 0. (б) "Вогнутый" участок зависимости S от E: здесь в точке касания (где dS/dE=1/T1) свободная энергия F=E-TS не меньше, а больше, чем на соседних с ней участках кривой S(E); ср. с Рис.8-3.
 
 

  Теперь, наконец, мы рассмотрим конформационные превращения. Именно для их грамотного рассмотрения мы и повторяли азы статистической физики и термодинамики.

  Конформационные превращения бывают постепенные ("континуальные") и резкие ("фазовые"). Попробуем разобраться в их различии, используя графики плотности энергетических состояний  —  вроде тех, что представлены на Рис.8-1. Для этого прежде всего надо научиться находить на графике стабильное состояние  —  или состояния  —  нашей системы при заданной температуре среды.

  Пусть нам задано число M(E) состояний нашей системы ("макромолекулы") при каждой ее энергии Е, а также температура Т1 окружающей среды ("термостата"). Как, зная график энтропии S(E) = kB ln[M(E)] и Т1, найти на графике точку, соответствующую стабильному состоянию нашей системы? Температура Т1 показывает, какой наклон dS/dE должен быть в той точке графика, которая нас интересует: здесь dS/dE = 1/T1  —  ведь температура у нашей макромолекулы та же, что и у среды.
  Но, вообще говоря, таких точек  —  точек, где график имеет наклон 1/T1  —  может быть несколько (см. ниже, Рис.8-5). Какая из них отвечает стабильному состоянию? Рассмотрим касательную к графику в точке Е1, где dS/dE|Е1 = 1/T1. Уравнение такой касательной таково: S-S(E1) = (E-E1)/T1, или: E-T1S = E1-T1S(E1). Величина F1 = E1-T1S(E1)  —  это просто свободная энергия при температуре T1. Вдоль касательной, как мы видим, величина (E-T1S) неизменна. Всюду слева от касательной величина E - T1S ниже, а всюду справа  —  выше, чем на касательной (Рис.8-3).
 
 
 

  Рис.8-3. Графическое определение свободной энергии. Зависимость энтропии S от энергии E показана жирной кривой S(E). Наклон этой кривой, dS/dE, определяет температуру T. M(E)  —  плотность спектра энергий состояний системы. F1  —  свободная энергия, соответствующая данному энергетическому спектру при температуре Т1. Величина F = E-T1S постоянна вдоль касательной и равна F1. Левее этой касательной  —  F = E-T1S < F1, правее касательной,  —  F = E-T1S > F1. Так как кривая S(E) здесь выпукла, т. е. лежит правее и ниже касательной, то точка касания отвечает минимуму свободной энергии при температуре T1. Дальнейшие пояснения  —  в тексте.
 
 

  Последнее означает, в частности, что "вогнутым" участкам зависимости S от E (Рис.8-2б) стабильное состояние соответствовать никак не может: здесь в точке касания F не меньше, а больше, чем на соседних с ней участках кривой S(E).
  Если кривая S(E)  —  всюду выпукла, то ее наклон все падает по мере увеличения энергии Е. Тогда каждому наклону 1/Т отвечает только одна точка кривой (Рис.8-1, 8-4),  —  то есть она, эта точка, и отвечает стабильному состоянию при данной температуре Т. С изменением температуры эта точка постепенно движется, а система  —  постепенно ("градуально") меняет свое термодинамическое состояние, т. е. энтропию и энергию (Рис.8-4).
 
 
 

  Рис.8-4. Градуальное изменение состояния системы с изменением температуры. Для этого необходимо, чтобы кривая S(E) была выпукла. Зная зависимость S(E) (слева), можно найти зависимости Т(Е) и, далее, Е(Т); последняя показана в центре рисунка. Справа: w(E)  —  функция распределение молекул по энергиям, т. е. вероятность иметь энергию Е при заданной температуре T; вероятность w(E) пропорциональна exp[-(E-TS(E))/kBT].
 
 

  Если наклон кривой S(T) то падает, то растет по мере увеличения энергии Е (Рис.8-5),  —  то касательных с одинаковым наклоном к этой кривой может быть несколько,  —  и касание самой левой из них (той, у которой F меньше) выделяет стабильное состояние. При этом до какой-то температуры T* "лучшей" будет касательная в районе малых энергий, после T*  —  "лучшей" будет касательная в районе больших энергий.
 
 
 

  Рис.8-5. Фазовый переход "все-или-ничего" (аналог фазового перехода первого рода в макроскопических телах) характеризуется резким изменением состояния системы при изменении температуры. Для этого необходимо, чтобы кривая S(E) имела бы вогнутый участок: в центре его свободная энергия выше, чем на его краях (см. Рис.8-2б). Переход происходит в узком диапазоне (DT) температур, отвечающем сосуществованию (т. е. примерно равной вероятности) низко - и высокоэнергетичного состояния. Касательные соответствуют: температуре середины перехода T*, а также Т1 < T* и Т2 > T*. Обратите внимание, что температура T* перехода типа "все-или-ничего" (т. е. фазового перехода первого рода) совпадает именно с серединой резкого изменения энергии и с максимальным раздвоением функции распределения по состояниям, w(E).
 
 

  При температурах, близких к T*, высоко - и низкоэнергетичные структуры будут сосуществовать. И  —  что наиболее важно  —  структуры со "средними" энергиями не будут проявляться: из-за "прогиба" кривой соответствующие этим состояниям точки графика лежат справа от касательной, т. е. их свободная энергия  —  выше, чем у структур, соответствующих точкам касания, а вероятность проявления  —  ничтожна. Говорят тогда, что два стабильных состояния разделены "свободно-энергетическим барьером". В этих условиях и протекает переход типа "все-или-ничего", который в макроскопических системах называется фазовым переходом первого рода.
  Здесь я хочу сразу оценить величину температурного интервала сосуществования высоко - и низкоэнергетичных структур. В середине перехода, при температуре Т*, свободная энергия низкоэнергетичной фазы, F1(T*) = E1-T*S1, равна свободной энергии высокоэнергетичной фазы, F2(T*) = E2-T*S2, т. е. в середине перехода
 

(E2  —  E1) = T*(S2  —  S1) .

(8.10)

  При небольшом (на dТ) сдвиге температуры от T* свободные энергии фаз немного меняются, так что разность свободных энергий фаз составляет dF = F1(T*+dT) - F2(T*+dT) = dT (S2 - S1). Фазы сосуществуют (т. е. они примерно равновероятны  —  скажем, соотношение их вероятностей меняется от 10:1 в пользу первой до 1:10 в пользу второй фазы), пока ехр(-dF/k BT*) лежит между 10 и 1/10, т. е. пока dF/kBT* находится где-то от -2 до +2. В этой области |dT| < 2kBT*/(S2-S1).Значит, температурный интервал сосуществования фаз есть
 

DT » [2kBT*/(S2-S1)] - [-2kBT*/(S2-S1)] = 4kBT*/(S2-S1) = 4T*[kBT*/(E2-E1)]

(8.11)

  Рассмотрим поучительный численный пример. Если T*~300оК (т. е. kBT*~0.6 ккал/моль), а E2-E1 составляет, как то характерно для плавления белков, порядка 50 ккал/моль [т. е. 50/(6x1023) ~ 10-22 килокалорий_на_штуку], то DT  —  порядка десяти градусов. Если же E2-E1 составляет порядка 50 килокалорий_на_штуку (как при плавлении льдины размером с бутылку), то DT  —  порядка 10-23 градуса.
  Иными словами, для фазовых переходов типа "все-или-ничего" в малых системах и  —  в гораздо большей степени  —  для фазовых переходов первого рода в макроскопических системах,  —  характерен резкий скачок энергии в узком диапазоне температур. В макроскопических системах этот диапазон практически бесконечно узок, а для макромолекул он охватывает несколько градусов, т. е. тоже узок по сравнению с "диапазоном наблюдения", обычно охватывающим от 0оС до 100оС. А вот в небольших олигопептидах резкого скачка нет  —  здесь диапазон изменения энергии может охватывать все "экспериментальное окошко" исследуемых температур.

  Несколько слов о фазовых переходах второго рода. Если для переходов первого рода характерен скачок энергии системы (и ее энтропии, объема и плотности), то для переходов второго рода характерен лишь излом зависимости скорости изменения энергии с температурой,  —  иными словами, скачок теплоемкости.
  Подчеркиваю, что переход второго рода происходит в точке излома (Рис.8-6), а вовсе не посередине часто идущей за ним более или менее "S-образной" зависимости энергии (или другого наблюдаемого параметра) от температуры.
 
 
 

  Рис.8-6. Характерная зависимость энергии, E(T), и функции распределения, w(E), при фазовом переходе второго рода. T* — температура этого фазового перехода. При этой температуре функция распределения молекул по энергиям, w(E), резко уширяется, и энергия начинает (или кончает —  смотря откуда смотреть) резко изменяться. Обратите внимание, что температура фазового перехода второго рода T* совпадает именно с началом (а не с серединой) резкого изменения энергии.
 
 

  На рисунках 8-4  —  8-6 я специально представил случаи, когда энергия системы сначала меняется медленно с изменением температуры, потом  —  резко, а потом  —  снова медленно. Как вы видите, такое "S-образное" поведение Е(Т) совместимо и с фазовым переходом первого рода, и с градуальным изменением системы при отсутствии какого-либо фазового перехода вообще, и с градуальным изменением, начало которому кладет фазовый переход второго рода.
  Я прошу обратить на это особое внимание, так как среди не-физиков существуют два непонятно откуда взявшихся предрассудка: что "переход" соответствует именно середине всякого S-образного изменения, и что если этот "переход" не первого рода  —  значит второго. Это не так!
  Обратите внимание: хотя кривые Е(Т) на рисунках 8-4  —  8-6 выглядят, в общем, одинаково, — поведение кривых распределения по энергиям, w(Е), при переходе первого рода (т. е. типа "все-или - ничего") выглядит совсем не так, как при всех остальных переходах. Для переходов типа "все-или-ничего"  —  и только для них  —  характерно наличие двух пиков у w(Е), т. е. сосуществование двух фаз. Поэтому для выяснения того, как  —  прыжком или постепенно  —  происходит переход между двумя крайними состояниями,  —  недостаточно увидеть, что энергия или какой-то наблюдаемый параметр резко меняется в узком диапазоне температур. Здесь нужны дополнительные измерения, которые мы рассмотрим в одной из дальнейших лекций.

  В заключение поговорим о кинетике конформационных превращений. Точнее  —  о том, почему некоторые превращения идут очень медленно. Что здесь значит "медленно"? Предположим, вы знаете время элементарного шага по ходу процесса. Например: один остаток включается во вторичную структуру за 1 наносекунду (нс). Вы знаете также, что в цепи  —  1000 звеньев. А процесс идет не за 1000 нс, а за 1000 секунд. Это и есть "медленно": на порядки медленнее, чем можно ожидать, зная время элементарного шага и число таких шагов. Надо понять  —  почему...

  "Медленность" процессов порой связана с медленностью диффузии при высокой вязкости. Однако часто  —  подчеркиваю, не всегда, но часто  —  медленность процесса связана с преодолением высокого свободно-энергетического барьера. Особенно это типично для переходов типа "все или ничего", где свободно-энергетический барьер разделяет две фазы (Рис.8-5); здесь он всегда значителен. Такой барьер очень похож на активационный барьер в химических реакциях,  —  только в данном случае он имеет и энергетическую, и энтропийную составляющие. Напомню, как оценивается скорость такой "барьерной" реакции согласно классической теории переходных состояний.

  Рассмотрим простейший процесс, по ходу которого система переходит из состояния А в состояние В. Пусть на пути процесса "А®В" есть один "барьер" # (Рис.8-7), и ни на этом пути, ни "сбоку" от него нет никаких "ловушек" (Рис.8-8: состояний Л, более стабильных, чем исходное A, но менее стабильных, чем конечное B; наличие ловушек усложняет процесс, но не меняет его принципиально).
 
 
 

  Рис.8-7. Преодоление свободно-энергетического ("активационного") барьера # при переходе из состояния "А" в состояние "В". DF#  —  свободная энергия барьера (перехoдного состояния).
 
 
 

  Рис.8-8. "Ловушка": ею может быть как интермедиат "Л" (а), так и побочное (для реакции А®В) состояние "Л" (б). Для наличия кинетической "ловушки" важно только, что она более стабильна, чем исходное состояние "А", но менее стабильна, чем конечное состояние "В", и что на пути из "Л" в "В" находится более высокий свободно-энергетический барьер, чем на пути из А в Л.
 
 

  Тогда скорость процесса определяется (1) населенностью барьерного ("перехдного") состояния, и (2) скоростью перехода из барьерного в "за-барьерное" состояние.
  Если DF#  —  свободная энергия барьера, отсчитанная от свободной энергии начального состояния, причем DF# >> kBT, и "ловушек" (Рис.8-8) нет, а в начальном состоянии находится n "частиц" (синонимы: молекул, систем и т. д.),  —  то на барьере, в каждый момент времени, находится n# ~ n. exp(-DF#/kBT) частиц. Пусть каждая из этих на-барьерных частиц переходит за барьер за время t (время элементарного шага реакции). Тогда за время порядка t за барьер перейдут все n# на-барьерных частиц. На то, чтобы за барьер перевалили бы все n частиц  —  понадобится n/n# шагов, т. е. время порядка
 

t ~ t (n/n#) ~ t exp(+DF#/kBT)

(8.12)

При наличии "ловушки", Л, таким же образом оценивается время перехода из А в Л и из Л в В.

  Уточнение. Если на пути из А в В находится не одно, а s последовательных промежуточных состояний с со свободной энергией, близкой к DF#,  —  то скорость процесса замедляется в s2 раз по сравнению с оценкой (8.12). Это замедление связано с диффузией частиц по верхушке барьера. Однако обычно этот диффузионный фактор не играет существенной роли.
 

Лекция 9

  Обсудим теперь, зная базовую физику, стабильности вторичной структуры и кинетику ее образования.

  Начнем с a-спиралей. Первая водородная связь в ней, (СО)0  —  (HN)4, фиксирует конформации трех остатков  —  1, 2, 3; следующая водородная связь, (СО)1  —  (HN)5, дополнительно фиксирует конформацию только одного остатка  —  остатка 4; связь (СО)2  —  (HN)6 дополнительно фиксирует остаток 5, и т. д.
 

  Значит, если в спирали фиксировано n остатков, то их фиксирует n-2 водородные связи. Рассмотрим свободную энергию образования такой спирали из клубка в водном окружении ("клубок"  —  это полимер без структуры и без взаимодействия дальних по цепи звеньев). Эту свободную энергию можно записать как
 

DFa = Fa  —  Fклуб. = (n-2)fH  — nTSa =  -2fH + n(fH  —TSa)

(9.1)

Здесь fH  —  свободная энергия водородной связи в a-спирали (вы помните, что fH  —  не просто энергия, как было бы в вакууме: в нее входит и энергия, и энтропия перестроек водородных связей в водном окружении), а Sa  —  потеря энтропии при фиксации одного остатка в спирали.
  Вы видите, что в DFa есть два члена. Один (-2fH) не зависит от длины спирали; величина
 

fINIT =  -2fH

(9.2)

традиционно называется свободной энергией инициации спирали (на самом деле, fINIT  —  суммарная свободная энергия обеих границ спирали с клубком   —  учитывает и инициацию, и терминацию спирали). Другой член, n(fH-TSa), прямо пропорционален длине спирали; величина
 

fEL = (fH-TSa)

(9.3)

называется свободной энергией элонгации спирали на один остаток. В общем виде,
 

DFa = fINIT + n.fEL.

(9.4)

При этом отношение вероятности чисто спирального состояния цепи из n остатков к ее же чисто клубковому (и начисто лишенному спиральных примесей) состоянию, равно
 
 

exp(-DFa/kT) = exp(-fINIT/kT).[exp(-fEL/kT)]n = ssn

(9.5)

Здесь я использовал общепринятые обозначения:
  —  фактор элонгации спирали: s = exp(-fEL/kT);
  —  фактор инициации спирали: s = exp(-fINIT/kT);
ясно, что s<<1, так как s = exp(-fINIT/kT) = exp(+2fH/kT); а свободная энергия водородной связи  —  большая отрицательная величина, порядка нескольких kT.

  Прежде, чем говорить о том, как экспериментально определяются величины s и s,  —  выясним общий вопрос о том, как образуется спираль при изменении условий среды (температуры, растворителя и т. д.)  —  переходом "все-или-ничего" или постепенно?

  Поначалу кажется, что такая отличная от клубка структура, как спираль, должна "вымораживаться" из него путем фазового (т. е. "все-или-ничего") перехода  —  как лед из воды...
  Однако на этот счет есть теорема Ландау, которая гласит, что в системе, где обе фазы одномерны,  —  фазовый переход первого рода невозможен. Попытаюсь объяснить эту теорему.

  Прежде всего  —  что значит "одномерность". Это значит, что размер границы, "стыка" фаз не зависит от размера кусков этих фаз. В этом смысле и спираль, и клубок в полимере  — одномерны. Рисунок 9-1 поясняет, что граница (стык) спирали и клубка не зависит ни от длины спирали, ни от длины клубка,  —  в то время как поверхность, граница трехмерной фазы (например, льдинки в воде) зависит от ее размера. Соответственно, свободная энергия границы спирали и клубка не зависит от их длин, а свободная энергия поверхности трехмерной фазы растет как n2/3 с ростом числа n вовлеченных в нее частиц.
 
 
 

  Рис.9-1. Сравнение одномерной (клубок со спиралями) и трехмерной (льдинка в воде) систем. Размер стыка спирали и клубка не зависит их длин; поверхность трехмерной льдинки зависит от ее размера.
 
 

  Теперь  —  что значит "происходит как фазовый переход первого рода". Это значит, что при температуре перехода стабильной может быть либо одна, либо другая фаза, но перемешивание фаз (например, льда и воды) ведет к повышению свободной энергии, и потому нестабильно. Здесь вас не должна вводить в искус картина плавающего в воде льда: при любой температуре такое состояние неустойчиво (из-за повышенной свободной энергии на границе воды со льдом), и со временем лед или растает, или охватит всю воду  —  конечно, если нет тока подземного тепла, течений и других неравновесных вещей...
  Выгодно ли сосуществование фаз в трехмерной системе? Нет. Почему? Обратимся опять к Рис.9-1. Рассмотрим температуру, где безграничная вода и безграничный лед имеют равную свободную энергию (это и есть условие "точки перехода"). Если в воде плавает льдина из n молекул, свободная энергия границы пропорциональна xn2/3, где n2/3  —  характерное число пограничных молекул, а x>0  —  энергия границы в расчете на одну из них. (Замечание. Если x<0, "перемешивание"  —  оно при этом всегда термодинамически выгодно  —  произойдет на молекулярных масштабах, и двух фаз не будет вообще). Значит, поверхность льдинки повышает свободную энергию на xn2/3. Правда, льдинка имеет еще позиционную энтропию, так как может находиться в разных точках сосуда. Но эта энтропия не превосходит величину порядка k. ln(N), если в сосуде  —  всего N молекул (т. е. N точек, с которых может начинаться льдинка). Итого  —  свободная энергия льдинки  —  порядка [xn2/3 - kТ. ln(N)]. Но логарифм  —  очень "слаборастущая" при больших N функция. Если льдинка занимает заметную часть сосуда (скажем, n~N/10), и N очень велико [скажем,], то ln(N) [в данном случае - 23] очень мал по сравнению с (N/10)2/3 [в данном случае - с 1 ],  —  то есть в свободной энергии льдинки доминирует граничный член xn2/3, а он противится ее образованию... Поэтому в трехмерной системе макроскопические фазы разделяются ("льдинки" из нескольких молекул  —  не в счет: это просто микроскопические, локальные флуктуации), и фазовый переход первого рода в ней возможен.
  А выгодно ли сосуществование фаз в одномерной системе? Оказывается, да. Рассмотрим опять температуру "середины перехода", где спираль и клубок имеют равную свободную энергию, т. е. где fEL=0. Свободная энергия обеих границ спирали и клубка, fINIT, не зависит ни от размера спирали, ни от размера клубка. Позиционная энтропия спирали длины n в цепи длины N равна k. ln(N-n). Итого, свободная энергия этой плавающей спирали есть fINIT - kТ. ln(N-n). При больших N, член с ln(N-n) всегда доминирует в этом выражении, даже если n ~ 0.9 N; а этот логарифмический член понижает свободную энергию и способствует внедрению спирали в клубок (и, точно так же,  —  клубка в спираль)... Поэтому в одномерной системе фазы не разделяются, они стремятся перемешаться,  —  а раз так, то и фазовый переход первого рода (или типа "все-или-ничего") невозможен  —  при достаточно большой длине цепи. Теорема Ландау доказана.

  Теперь можно поставить вопрос  —  при каких характерных длинах цепи начинается смешение клубковой и спиральной фаз?
  Рассмотрим цепь из N звеньев при температуре "середины перехода", где спираль и клубок имеют равную свободную энергию, т. е. fEL=0. При этом свободная энергия элонгации спирали (а равно и клубка)  —  ноль, ее инициации  —  fINIT, а число возможных положений спирали в цепи из N звеньев  —  порядка N2/2 (она может начинаться и кончаться в любом месте при единственном условии, что ее длина  —  не менее трех остатков); и ни расположение спирали в цепи, ни ее длина (при fEL=0) не влияют на ее свободную энергию. Для получения качественной оценки  —  пренебрежем мелочами (цифрами) по сравнению с главным (буквами). Итак: размещений спирали  —  порядка N2, т. е. их энтропия  —  k x 2ln(N), а полная свободная энергия внедрения куска новой фазы (спирали с флуктуирующими концами) в цепь длины N  —  примерно fINIT - 2kТ. ln(N). Если она, эта свободная энергия, больше нуля  —  новая фаза не внедрится; если она меньше нуля  —  новая фаза может внедриться неоднократно. Значит, смешение клубковой и спиральной фаз начинается в кусках длины N ~ n0, а величина n0 получается из уравнения fINIT - 2kТ. ln(n0) = 0. Итак: характерная длина кусков спирали и клубка в середине перехода
 

n0 = exp(+fINIT/2kТ) = s - 1/2 .

(9.6)

  Точка (температура) середины перехода на опыте находится как та точка, где спиральность очень длинного полипептида составляет 50% (спиральность обычно измеряют при помощи КД спектров, как о том говорилось выше; при 50% спиральности КД спектр полипептида выглядит как полусумма спектров клубкообразного полипептида и полипептида, спирального на 100%). В этой точке fEL=0, т. е. s = exp(-fEL/kT) = 1.
  Измеряя в тех же условиях (когда s=1) зависимость спиральности от длины полипептида, можно найти n0,  —  как ту длину цепи, при которой ее средняя степень спиральности в 4 раза меньше, чем у очень длинной цепи (т. е. чем 50%).
  Точный расчет и доказательство того, что цепь из n0 = s -1/2 звеньев имеет именно (1/4) 50% = 12% спиральности при s=1,  —  выходит за рамки нашего курса. Однако получить приблизительную оценку нетрудно. В самом деле, в цепи из n0 звеньев сумма вероятностей всех состояний, включающих a-спираль, близка  —  по определению — к 50%. А так как состояние "со спиралью" обычно имеет вид типа "клубок_на_одном_конце_цепи  —  спираль  —  клубок_на_другом_конце_цепи", то, в среднем, эта спираль  —  если она есть вообще (а вероятность этого "вообще"  —  50%)  —  включает 1/3 звеньев цепи. Итого  —  средняя спиральность цепи из n0 звеньев приближенно равна 50% x (1/3) = 17%.
  Наконец, зная n0,  —  можно вычислить fINIT и s. Для большинства аминокислот n0 » 30, fINIT » 4 ккал/моль, и s » 0.001.

  Теперь мы можем найти свободную энергию образования водородной связи (вкупе со всеми сопутствующими образованию Р-связи в a-спирали взаимодействиями): согласно (9.2), fH = - fINIT/2 » -2 ккал/моль. Можно найти и конформационную энтропию, теряемую при фиксации одного звена в a-спирали: согласно формуле (9.3), TSa = fH » 2 ккал/моль.

  Оба параметра стабильности спирали  —  и fEL, и fINIT  —  зависят от температуры, но по-настоящему сильно влияет на стабильность спирали именно отклонение величины fEL от 0. Дело в том, что в спирали, состоящей из ~n0 звеньев, это отклонение умножается на большое число n0  —  и уже в таком виде входит в свободную энергию спирали. Когда величина fELxn0/kT составляет порядка +1 (более точная оценка: fELxn0/kT = +2), спиральность практически исчезает, а когда fELxn0/kT = -2,  —  практически исчезает клубок. Значит, при n0»30, переход спираль-клубок в очень длинных (N>>n0) полипептидных цепях происходит в области -0.07 < fEL/kT < 0.07 (Рис.9-2). Это  —  пример резкого, кооперативного,  —  но не фазового (т. к. ширина его не стремится к нулю по мере роста длины цепи) перехода.