Математическое моделирование формирования исследовательских компетенций в процессе исследовательской деятельности студентов (стр. 6 )

Не уменьшая общности рассмотрения, можно положить I=130, K=130. Тогда модель примет вид

Здесь коэффициенты в уравнении мотивации, а также начальные условия носят сугубо индивидуальный характер и принимают значения, порядок которых аналогичен типовым значениям, приведенным в п. 3.5.

Данная модель, в отличие от двумерной, отражает, хотя и упрощенно, результат развивающей деятельности в зависимости от поведения личности, которое состоит в распределении ее усилий между двумя видами деятельности. Если моделируется достаточно длительный процесс, поведение описывается функциями , и можно найти оптимальное поведение, решив задачу оптимального управления, например, принципом максимума Понтрягина.

На рисунке 3.6 показан результат оптимизации при следующих условиях M_max = 25, a_t = 0,01, a_p = 0, a_X = 0, a_0 = 0.

Рисунок 3.6 – Пример траектории развития личности (изменение квалификации и распределение усилий по видам деятельности)

В результате сложной стратегии, отраженной на рисунке 3.6, после четырех лет выполнения исследований общая квалификация студента возрастает с 0, до 0, 9 (творческая – до 0,917, ремесленная до 0, 855). Это означает, что структура оптимального поведения при этих исходных данных такова: в начале и в конце периода развития деятельность должна быть направлена на исключительно творческие компоненты, а в середине периода – на их оптимальное сочетание.

Если бы студент занимался исключительно творческой деятельностью, результат был бы таков: общая квалификация 0,8, творческая – 0,968, ремесленная – попрежнему 0,3. Если бы первую половину периода студент занимался исключительно творческой, а вторую половину – исключительно ремесленной деятельностью, результаты были бы: общая квалификация 0,8, творческая – 0,741, ремесленная – 0,983. Если бы в течение всего периода деятельность включала и творческую и ремесленную составляющие в равных пропорциях, достигнутая общая квалификация составила бы 0,848, творческая – 0,809, ремесленная – 0,962. Однако при оптимальной пропорции: 70% трудоемкости на творческие компоненты и 30% - на ремесленные, результаты практически совпадают с оптимальными.

3.8 Семестровая оптимизационная модель

Упростим общую математическую модель, предполагая, что моделируется развитие личности на ограниченном временном промежутке – а именно, в течение семестра. За такой период квалификация изменится сравнительно незначительно, что позволяет принять значения квалификации в правых частях дифференциальных уравнений постоянными и равными начальным (или некоторым средним, близким к начальным) ее значениям.

Введем переменные

,

.

В течение семестра выполняется одна исследовательская работа, таким образом, ее структура, то есть соотношение различных компонентов исследовательской деятельности, остается постоянным, то есть эти переменные также являются константами

Тогда уравнение мотивации принимает вид

.

Приведем это уравнение к безразмерному виду, введя переменные

.

Тогда при уравнение получит вид:

.

Легко показать, что общее решение этого уравнения имеет вид

или

.

Легко проверить, что

.

Таким образом, знак этой производной определяется знаком выражения . При мотивация будет монотонно убывать, при - возрастать, при - оставаться неизменной.

Учитывая, что в правых частях дифференциальных уравнений квалификация приближенно принята постоянной, можно записать выражение для приращения общей квалификации за семестр

или

,

где .

Опуская положительный сомножитель, получим следующую оптимизационную задачу для определения оптимальной структуры исследовательской работы в течение семестра:

при условиях

.

К ее ограничениям можно добавить дополнительные условия, накладываемые на структуру исследовательской работы . Заметим, что они будут носить линейный характер относительно этих переменных.

Итак, получилась существенно нелинейная задача оптимизации функции 36 переменных. Можно предложить следующий эффективный метод ее решения. Предположим, что мы зафиксировали значение . Тогда оптимизационная задача сведется к следующей:

при условиях

.

Это достаточно простая задача линейного программирования, которая сравнительно легко может быть решена. Полученное оптимальное значение критерия будет, наряду с известными исходными данными, зависеть от величины , то есть . Тогда исходную оптимизационную задачу можно записать как задачу оптимизации функции одной переменной :

.

Эта задача легко решается численно.

3.9 Моделирование локально-оптимальной стратегии развития

Откажемся теперь от ограниченности интервала развития и соответственно от упрощающих предположений предыдущего пункта.

В соответствии со смыслом локально-оптимального управления, будем считать, что в каждый момент времени функции mij и Vij являются управлениями, определяемыми из условия оптимизации значения некоторого критерия в этот момент времени. Напомним ряд условий, которым должны удовлетворять эти функции. Во-первых, сумма всех уровней мотивации mij должна быть равна общему уровню мотивации M, а сумма величин внешней помощи Vij не должна превышать предельную величину внешней помощи Vpred :

, .

Общие усилия (сумма уровня мотивации развивающейся личности и внешней помощи) на последующих этапах деятельности не должны превышать усилий на предыдущих этапах. Например, человек не может прилагать усилия на защиту результатов работы, не затратив времени на постановку задачи, ее реализацию, оформление и т. д.

Нецелесообразность затрат больших усилий на элементах научной деятельности, квалификация на которых низка, выражается ограничением

.

Человек не может эффективно работать на высоком уровне научной деятельности, если на более низком уровне его квалификация мала. Это выражается ограничением

.

Заметим, что все перечисленные условия носят линейный характер по переменным mij и Vij .

Оптимальность принятого решения в каждый момент времени будем характеризовать следующими частными критериями:

*  Fx – любознательность (скорость увеличения общей квалификации)

;

*  FM - стремление увеличить удовольствие (скорость увеличения мотивации)

;

*  Fпризн - честолюбие (скорость увеличения признанной обществом квалификации)

;

*  FV - самостоятельность (выделяемая внешняя помощь (на минимум)):

;

*  Fподгот - предусмотрительность (увеличение «задела» для реализации последующих элементов)

.

Для того, чтобы воспользоваться аппаратом линейного программи­рования, объединим приведенные выше пять критериев в виде линейной свертки. Поскольку критерии могут быть различными по величине, то для нормирования разделим каждый на его максимальное значение:

,

где

,

,

,

,

.

Введение "весовых коэффициентов" частных критериев моделирует систему целевых установок развивающейся личности. В дальнейшем, без ограничения общности, для простоты будем считать

.

Таким образом, поскольку во всех перечисленных соотношениях переменные mij и Vij фигурируют линейно то, задача их вычисления полностью поставлена в терминах линейного программирования.

Как известно, в симплекс-методе для решения задачи линейного программирования требуется знать начальное базисное решение. Обычно оно определяется с помощью решения дополнительной задачи линейного программирования. В данном случае его можно найти теоретически, что значительно ускоряет скорость расчета по модели. Поскольку mij входит во все критерии с положительными коэффициентами, ограничение можно заменить на . Тогда все ограничения задачи будут являться неравенствами. Ввиду того, что все неравенства сохраняют силу при mij =Vij =0, все эти переменные можно сделать свободными. Базисными же будут являться дополнительные переменные, которые возникнут при преобразовании неравенств в равенства.

Итак, при локально-оптимальной стратегии моделирование состоит в решении численным методом системы дифференциальных уравнений общей математической модели, в которой управления mij и Vij на каждом шаге определяются из решения описанной задачи линейного программирования.

3.10 Моделирование глобально-оптимальной стратегии

в упрощенной модели

Для того, чтобы пояснить структуру этой весьма сложной модели, рассмотрим упрощенный случай. Вместо 36 элементов научной деятельности вновь введем всего два интегративных элемента деятельности: творческую деятельность и ремесленную.

Соответствующие переменные обозначим индексами “т” и “р”. Тогда уравнения (3), (6) перейдут в

(3.10)

В качестве критерия используем значение общей квалификации в конечный момент развития:

. (3.11)

Подобная упрощенная модель уже использовалась выше в п. 3.3.

Введем общие затраты времени личностью . Обозначим

Тогда из формулы (3.10)

(3.12)

или

(3.13)

Если предположить, что максимальная внешняя помощь пропорциональна затратам усилий личностью, то

. (3.14)

Из уравнения (3.12)

,

тогда из формул (3.13) и (3.14)

Итак, окончательно

(3.15)

.

Управлением в формуле (3.15) является переменная, удовлетворяющая ограничениям:

, (3.16)

где некоторые обязательные затраты времени на ремесленную часть, без которых не может быть завершена никакая исследовательская работа.

Пусть

Применим принцип максимума. Гамильтониан равен:

. (3.17)

Тогда сопряженная система имеет вид

.

Условия трансверсальности таковы

(3.18)

Поскольку гамильтониан (3.17) линейно зависит от управления , то, с учетом формулы (3.16),

(3.19)

где функция переключения P имеет вид

(3.20)

Соотношения (3.19), (3.20) являются аналогом решения задачи линейного программирования в общей модели глобально-оптимального управления.

Обсудим полученную структуру управления. Как следует из (3.19), оно является регулируемым, т. е. личность одновременно занимается как творческой, так и ремесленной деятельностью, лишь в случае выполнения условия P=0. Чтобы понять его смысл, рассмотрим значение функции переключения в конечный момент. В соответствии с условиями трансверсальности (3.18),

.

Как следует из формул (3.10), (3.11), каждое слагаемое в этом выражении задает скорость изменения общей квалификации за счет теоретической и ремесленной деятельности. Таким образом, в конечный момент управление будет регулируемым, если эти скорости равны, т. е. ни одному из видов деятельности нельзя отдать предпочтения. Тогда можно представить, что в 6-мерном пространстве развития личности, определяемом координатами , существует поверхность равноценности различных видов деятельности. Если текущие характеристики личности таковы, что изображающая ее точка пространства находится на этой поверхности, то развитие личности происходит путем оптимального сочетания различных видов деятельности таким образом, чтобы оставаться на этой поверхности, пока это не препятствует выполнению конечных условий трансверсальности. Если же в текущий момент точка, характеризующая состояние личности, не находится на поверхности равноценности, развитие происходит путем занятия лишь одним из видов деятельности, в котором развитие личности оказывается более слабым с точки зрения оценки параметра:

,

где индекс “r” принимает значения соответственно “т” или “р”. Образно говоря, если личность находится в состоянии, соответствующем “гармоничной” траектории развития, она продолжает развиваться по “гармоничной” взвешенной стратегии; если же ей не хватает до гармоничного состояния теоретической или ремесленной квалификации, то она вначале усиленно наращивает ее, занимаясь соответствующей деятельностью вплоть до перехода в “гармоничное” состояние.

3.11 Типовая оптимальная стратегия формирования научных компетенций

В [24], используя математические методы оптимизации, разработана оптимальная стратегия развития исследовательских компетенций для типового набора коэффициентов математической модели.

Обеспечить реализацию этой стратегии призвано методически грамотное научное руководство, когда содержание выполняемых студентом исследовательских работ соответствует оптимальной структуре деятельности на данном этапе его развития. Для того, чтобы реализовать такой подход на практике, было решено интерпретировать оптимальную стратегию в виде последовательности четырех видов исследовательских работ различной методической структуры:

·  Обзорная,

·  Поисковая,

·  Постановочная,

·  Синтезирующая.

Каждый вид работы характеризуется различным сочетанием исследовательских функций, реализуемых на различных уровнях исследовательской деятельности. Они показаны в таблицах, где приняты качественные обозначения: относительно невысокий удельный объем в общей трудоемкости выполнения работы, средний и высокий.

Эта структура находит отражение в наборе требований, составляющих содержание задания на выполнение работы. Ниже приводятся рекомендации, разработанные для руководителей исследовательских работ студентов. Предлагая обучаемому тему работы, они наполняют соответствующую методическую структуру реальным предметным содержанием.

ОбзорнАЯ исследовательская работа (1 курс)

Охватывает все четыре уровня научной деятельности, на ранних этапах - примерно равномерно, затем смещая половину деятельности на уровень фрагментов, т. е. концентрируясь на решении конкретного вопроса. По функциям, в основном, охватывает функции синтеза, а также освоения средств и реализации идей

Чтобы обеспечить соответствие описанной методической структуре, работа должна включать в себя следующие задания:

1) прочитать по научно - популярной литературе о соответствующем научном направлении и кратко описать (2-3 стр.) его с проработкой отдельного фрагмента, желательно, совпадающего с заданием на выполнение обзорно-исследовательской работы;

2) узнать со слов научного руководителя и по предложенными им материалам о соответствующей проблеме и задаче, сделать акцент на новизну используемых в них различных идей и кратко описать (2-3 стр.);

Таблица 3.13 - Структура обзорной исследовательской работы 1 курс (сравнительный объем в общей структуре деятельности)

Уровни исследовательской деятельности	Функции исследовательской деятельности
Поиск тематики	Постановка темы исследования	Формирование ключевой идеи решения	Выбор, освоение и реализация обеспечения	Реализация элементов плана решения	Синтез решения	Оформление результатов работы	Ввод в научный обиход, защита , сопровождение	Внутренний критический анализ
направлений	невысокий		невысокий
проблем
задач	невысокий		невысокий
начальный	невысокий		невысокий	высокий	высокий	средний	высокий	высокий

3) получить от научного руководителя задание на исследование определенного вопроса, включающее в себя следующие разделы (в методическом плане):

- постановку вопроса и его формализацию, включая актуальность, новизну, возможно, практическое значение;

- выбор плана, в котором необходимо выдвинуть новые идеи;

- предположения о том, какие обеспечивающие элементы нужно будет выбрать и освоить

- приблизительный перечень работ, которые нужно будет выполнить;

- предположить, в чем будет заключаться синтез результатов работ между собой и уже известными результатами более высоких научных уровней;

- провести исследование предложенного вопроса и описать результаты (8-10 стр.), в аннотации кратко осветить суть всех этих разделов;

- защитить работу на конференциях разного уровня;

- если работа того стоит, подготовить к печати и направить на издание.

Формирование идей и синтез результатов должны быть обязательно увлекательны и интересны для обучаемого.

Далее приводится типовое задание на выполнение работ данного вида. Разделы, набранные курсивом, считаются обязательными, прочие – желательными. Это же соглашение действует и в отношении типовых заданий по работам других видов.

Задание

Краткое содержание работы По каким источникам и сайтам ИНТЕРНЕТ ознакомиться с направлением науки и техники по теме работы и написать краткий реферат (2-3 стр.) По каким источникам и сайтам ИНТЕРНЕТ ознакомиться с конкретными научными проблемами и задачами по теме работы и кратко описать ( 2-3 стр.) Практическая значимость работы, возможные заинтересованные организации и лица В чем заключается предполагаемые новизна работы и вклад собственно автора в новизну постановки задачи ключевых идей методов исследования полученных результатов Какие обеспечивающие средства исследования и по каким источникам разработать и/или освоить Где предполагается использовать результаты работы Какие работы предстоит выполнить автору в процессе исследования (по месяцам) В чем будет состоять синтез результатов (их сопоставление и увязка между собой и с известными результатами других авторов, возможное использование результатов научным руководителем и другими авторами) Где может быть доложена работа Куда может работа быть направлена для опубликования Перспективы развития работы

ПоисковАЯ исследовательская работа (2-3 курсы)

Работа концентрируется на начальном уровне, затрагивая (10-20 %) уровень направлений. По функциям же сосредоточиваются на синтезе и поиске вопросов для решения, при том, что на постановку и формализацию задач, как и на оформление и последующие функции, тратится минимум времени. Работа такой структуры логически может вытечь из предыдущих работ при хорошем знакомстве с проблемами и задачами, которыми занимается научный руководитель. Его здесь больше направляющая и консультирующая чем диктующая. Он должен направлять обучаемого так, чтобы тот почти сам выбирал вопросы для исследования и почти самостоятельно увязывал результаты их исследования между собой (синтез!). В постановке же задачи, поиске обеспечивающих средств и прочего руководитель должен помочь обучаемому. Работа охватывает 2-3-й курсы вуза.