Тестовые задачи по квантовой механике (стр. 1 )

, ,

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

по квантовой механике

учебное пособие

Аннотация

В настоящем учебном пособии предлагаются простые задачи по квантовой механике с выбором ответа из заданных вариантов (то есть так называемые тестовые задачи). Основное количество задач посвящено основным принципам и идеям квантовой механики, меньшее – ее приложениям. Ко всем задачам даны ответы.

Тестовые задачи можно эффективно использовать для проведения контрольных опросов за минимальное время и с минимальными усилиями со стороны преподавателя, для определения «минимума знаний», необходимого для допуска студентов к зачету или экзамену, проводимым в традиционной (устной) манере. Представляется также, что тестовая система гораздо удобнее традиционной для самоконтроля, поскольку позволяет быстро и на большом количестве примеров проверить свой уровень знаний.

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Математические основы квантовой механики

1. Оператор , действующий в некотором линейном пространстве, является линейным, если для любых элементов и этого пространства имеет место равенство:

а. б. в.

г. ( и - произвольные комплексные числа)

2. Оператор , действующий в некотором линейном пространстве, является эрмитовым, если для любых элементов и этого пространства имеет место равенство:

а. б. в. г.

3. Оператор , действующий в некотором линейном пространстве, является эрмитово сопряженным оператору , если для любых элементов и этого пространства имеет место равенство:

а. б. в. г.

4. Операторы и , действующие в некотором линейном пространстве, коммутируют, если для любого элемента этого пространства имеет место равенство:

а. б. в. г.

5. Для любого эрмитового оператора , действующего в некотором линейном пространстве, можно выбрать такой базис, в котором матрица оператора является:

а. единичной б. нулевой в. антисимметричной г. диагональной

6. Собственные значения любого эрмитового оператора являются

а. положительными б. Отрицательными в. вещественными г. мнимыми

7. Собственные функции эрмитового оператора, отвечающие различным собственным значениям

а. ортогональны б. отличаются числовым сомножителем в. совпадают

г. являются комплексно сопряженными по отношению друг к другу

8. Собственное значение оператора вырождено, если:

а. этому значению отвечает одна собственная функция б. этому значению отвечает две или более линейно независимых собственных функции в. это значение равно нулю

г. это значение отрицательно

9. Если эрмитовы операторы и коммутируют, то

а. любая собственная функция одного из операторов является также собственной функцией другого оператора б. операторы не имеют общих собственных функций в. операторы имеют общие собственные функции, число которых меньше размерности пространства, в котором действуют эти операторы г. существует полная система общих собственных функций этих операторов

( - произвольные действительные числа)

10. Какая из четырех матриц является матрицей эрмитового оператора

а. б. в. г.

11. Сколько собственных значений имеет оператор, заданный матрицей

а. одно б. два в. три г. четыре

12. Оператором, обратным оператору четности является:

а. оператор четности б. оператор однократного дифференцирования в. оператор возведения в квадрат г. оператор двукратного дифференцирования.

13. Чему равны собственные значения оператора, заданного матрицей :

а. +1 и -1 б. 0 и 1 в. 0 и –1 г. – и +

14. Оператор , действующий в пространстве функций, заданных на интервале , в котором определено скалярное произведение, является

а. эрмитовым б. унитарным в. совпадающим со своим обратным г. нелинейным

15. Коммутатор операторов и умножения на функцию равен

а. оператору , б. оператору умножения на функцию в. оператору умножения на функцию г. оператору

16. Коммутатор операторов четности и умножения на функцию равен

а. оператору , б. оператору в. оператору г. оператору

17. Спектр собственных значений оператора является дискретным. Это значит, что

а. оператор имеет бесконечное количество собственных значений б. оператор имеет конечное число собственных значений в. собственные значения можно пересчитать г. собственным значением является любое число из некоторого интервала значений.

18. Спектр собственных значений оператора является непрерывным. Это значит, что

а. оператор не имеет собственных значений б. оператор имеет конечное число собственных значений в. собственные значения можно пересчитать г. собственным значением является любое число из некоторого интервала значений.

19. Оператор задан матрицей .

Чему равна сумма всех собственных значений этого оператора

а. 1 б. 3 в. 5 г. 9

20. Произведение операторов и на произвольную функцию действует так:

а. + б. - в. г.

21. Сумма операторов и на произвольную функцию действует так:

а. + б. - в. г.

22. равен ( - -функция)

а. б. в. г.

23.

а. б. в. г.

24.

а. б. в. г.

25.

а. б. в. г. (где - -функция)

26.

а. б. в. г.

27. Привести матрицу оператора к диагональному виду значит:

а. заменить элементы, находящиеся не на главной диагонали, нулями б. заменить элементы, находящиеся на главной диагонали, нулями в. выбрать другой базис, в котором матрица оператора равна единичной г. выбрать другой базис, в котором ненулевые элементы находятся в матрице оператора на главной диагонали

28. Если в качестве базиса в линейном пространстве выбрать собственные функции некоторого эрмитового оператора, то его матрица

а. равна единичной б. кратна единичной в. диагональна г. нулевая

29. Пусть и - собственные функции некоторого оператора, отвечающие собственным значениям и . Функция ( - произвольные числа):

а. будет собственной функцией того же оператора б. будет собственной функцией того же оператора только в том случае, когда в. никогда не будет собственной функцией того же оператора г. об этих свойствах такой функции ничего сказать нельзя

30. В некотором линейном пространстве выбран ортонормированный базис . Какой формулой определяются матричные элементы матрицы некоторого линейного оператора, действующего в этом пространстве?

а. б. в. г.

Ответы. Математические основы квантовой механики

Номер задачи	Ответ
1.	Б.
2.	В.
3.	Б.
4.	А.
5.	Г.
6.	В.
7.	А.
8.	Б.
9.	Г.
10.	В.
11.	Б.
12.	А.
13.	А.
14.	А.
15.	В.
16.	Г.
17.	В.
18.	Г.
19.	Г.
20.	В.
21.	А.
22.	В.
23.	Г.
24.	Г.
25.	Г.
26.	А.
27.	Г.
28.	В.
29.	А.
30.	А.

Общие свойства собственных функций и собственных значений операторов физических величин

31. Квантовомеханическая система находится в состоянии с нормированной волновой функцией , которая может быть представлена в виде разложения по нормированным собственным функциям оператора физической величины , имеющего дискретный спектр собственных значений:

,

(- нормированная собственная функция оператора , отвечающая собственному значению ). Вероятность того, что в момент времени величина имеет значение , равна

а. б. в. г. данных задачи недостаточно для вычисления искомой вероятности

32. В некоторый момент времени нормированная волновая функция системы имеет вид

,

где и - нормированные собственные функции оператора физической величины , отвечающие собственным значениям и , соответственно. Среднее значение величины в этот момент равно

а. б. в. г.

33. Частица находится в квантовом состоянии, описываемом нормированной волновой функцией . Какое из нижеследующих утверждений справедливо

а. есть вероятность обнаружить частицу в момент времени в объеме в окрестности точки

б. есть вероятность обнаружить частицу в точке в интервале времени ()

в. есть вероятность обнаружить частицу в интервале времени () в объеме в окрестности точки .

г. есть вероятность обнаружить частицу в объеме в окрестности точки в интервале времени ()

34. Известны нормированные собственные значения оператора некоторой физической величины и отвечающие им собственные функции: , (две линейно независимых функции), . Задано разложение нормированной волновой функции квантовой системы по собственным функциям (где - некоторые числа). Измеряют физическую величину . С какой вероятностью значение можно получить на опыте

а. б. в. г.

35. Собственными значениями оператора четности являются