Математика (стр. 2 )

План: Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоско­сти. Плоскость в пространстве. Виды уравнений плоскости в про­странстве. Линии второго порядка на плоскости.

Задания для самостоятельной работы:

Преобразуйте уравнение прямой в общем виде к уравнению с угловым коэффициентом

Проверьте, перпендикулярны или нет прямые ,

Проверьте, параллельны или нет плоскости

Тема 2.1: Элементарные функции.

План: Функция, ее область опреде­ле­ния, экстремумы. Элементарные функции. Слож­ная и обратные функ­ции. Чтение графика функции. Преобразования графиков функций

Задания для самостоятельной работы:

Провести исследование функции f (x) по ее графику

Постройте график функции на промежутке

По заданным функциями и составить формулы функций , , ,

Тема 2.2: Элементы теории пределов.

План: Предел функции. Теоремы о пределах. Непрерывность функции. Точки разрыва. Построение графика функции с помощью предельных переходов.

Задания для самостоятельной работы:

Вычислить

Вычислить

Исследовать на непрерывность и построить эскиз графика функции

Тема 2.3: Элементы теории дифференцирования.

План: Производная. Теоремы о производ­ных. Дифференцирование ос­новных элементарных функ­ций. Дифференцирование сложной функции. Произ­водные второго порядка.

Задания для самостоятельной работы:

Найти производные функций

Тема 2.4: Исследование функции с помощью производной.

План: Возрастание-убывание функций. Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значение функции. Вогнутость-выпуклость графика функций. Точки пере­гиба. Полное исследование функции.

Задания для самостоятельной работы:

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке

Исследовать функцию на экстремум

Тема 3.1: Элементы теории интегрирования.

План: Первообразная и неопре­деленный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Простейшие табличные инте­гралы. Простейшие приемы ин­тегрирования.

Задания для самостоятельной работы:

Найти интеграл

Тема 3.2: Определенный интеграл и его приложения.

План: Опре­деление и основные свойства определенного интеграла. Тео­рема Ньютона-Лейбница. Гео­метрический смысл определен­ного инте­грала. Несобственный интеграл. Площади и объемы.

Задания для самостоятельной работы:

Вычислить

Вычислить

Вычислить площадь затушеванной фигуры

Вычислить объем тела, ограниченного линиями , , ,

Тема 4: Элементы теории дифференциальных уравнений.

План: Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Уравнения I порядка с разде­ляющимися переменными. Ли­нейные и однородные уравнения I порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициен­тами.

Задания для самостоятельной работы:

Решите задачу Коши

Найти общее решение

Найти подходящую замену для приведения дифференциального уравнения к уравнению с разделяющимися переменными

Тема 5: Элементы теории рядов.

План: Сходящиеся числовые ряды. Необходи­мый признак сходимости знакоположительного ряда. При­знаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Знако­переменные числовые ряды. Признак Лейбница. Степенные ряды. Основные свойства сте­пенных рядов. Разложение в ряд Маклорена основных функ­ций. Формула и ряд Тейлора. При­ближенное вычисление с помощью рядов.

Задания для самостоятельной работы:

Исследовать ряд на сходимость

Исследовать ряд на сходимость

Разложите в ряд Маклорена функцию

Тема 6: Элементы теории вероятностей и статистики.

План: Основные понятия теории вероятностей. Свойства вероятностей. Элементы комбинаторики. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса. Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона. Дискретные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия. Законы распределений вероятностей непрерывной случайной величины.

Задания для самостоятельной работы:

Имеется 30 флажков: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность того, что выбран цветной флажок.

В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на три области. Вероятность попадания в первую область равна 0,38, во вторую – 0,54. Найти вероятность того, что спортсмен при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.

1.8.1. Рекомендуемая литература:

Основная:

1.  Берман задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].

2.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

3.  Пискунов и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].

4.  Привалов геометрия. - М.: Наука,1966 [и последующие издания].

5.  , , Шевченко задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

6.  Гмурман вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. М. Высшая школа. Изд 7-е, 2001.

7.  Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов. 4-е издание. М. Высшая школа

8.  Кудрявцев математика и ее преподавание. М., Наука, 1985.

9.  Локоть для нематематиков. Учебное пособие для студентов-гуманитариев. Мурманск, 1997.

Дополнительная:

1.  Бугров Я. С., Никольский линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1988.

2.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

3.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

4.  , Куркина математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.

5.  Математика в современном мире. М., Мир, 1967.

6.  Турецкий и информатика. Екатеринбург, 1999.

7.  , Е, Темникова представления о введении в математический анализ: Визуальный конспект практикум. - СПб., ЛОИРО, 2005.

1.9. Материально-техническое обеспечение дисциплины.

1.9.1. Перечень используемых технических средств

ПК (Pentium100 и средой WIN95 и выше) с мультимедийным проектором.

1.9.2. Перечень используемых пособий.

, Е, Темникова представления о введении в математический анализ: Визуальный конспект практикум. - СПб., ЛОИРО, 2005.

1.9.3. Перечень видео - и аудиоматериалов программного обеспечения.

Слайд фильмы на ПК с мультимедийным проектором,

Компьютерная программа GeoGebra (динамичная математика).

1.10.  Примерные зачетные тестовые задания.

№ 1 Определители 1. Определите значение параметра , при котором система имеет единственное решение 2. Вычислить определитель 3. Решите систему	№ 2 График функции 1. Провести исследование функции по ее графику (a) 2. Запишите формулу функции (b) 3. По заданным функциям и составить формулы функций а) б) в) д)
№ 3 Производная и интеграл 1. Вычислить производную функции а) б) 2. Найти интегралы а) б)	№ 4 Дифференциальные уравнения 1. Найти общее решение уравнения: 2. Решите задачу Коши:
№ 5 Элементы теории вероятностей 1.  В урне имеется 60 шаров, из них 15 белых. Наудачу вынимают один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым. 2.  В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Наудачу извлечены три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными. 3.  Вероятность того, что студент знает первый вопрос экзаменационного билета, равна 0,4, а того, что он знает второй вопрос этого же билета – 0,8. Найти вероятность того, что студент знает только один из предложенных вопросов выбранного билета.	№ 6 Случайные величины 1. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М (Х) = 0,9. 2. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала . Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу .

1.11. Примерный перечень вопросов к зачету

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Определители 2 и 3 порядков, их свойства и вычисление.

1.  Теорема Крамера. Решение систем методом Крамера.

2.  Матрицы, сложение матриц, умножение на число.

3.  Обратная матрица. Решение систем матричным способом.

4.  Линейные операции над векторами, заданными своими координатами.

5.  Скалярное произведение двух векторов, его свойства и применение.

6.  Векторное произведение двух векторов, его свойства и применение.

7.  Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

8.  Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей в пространстве.

Дифференциальное исчисление

9.  Функция, область ее определения. Исследование функции по графику.

10.  Преобразования графика функции.

11.  Производная. Определение и геометрический смысл.

12.  Производная сложной функции.

Интегральное исчисление

13.  Простейшие табличные интегралы и их доказательство.

14.  Методы интегрирования подстановкой и по частям.

15.  Основные свойства определенного интеграла.

16.  Теорема Ньютона-Лейбница.

17.  Вычисление площади плоской фигуры и объема тела.

Дифференциальные уравнения

18.  Дифференциальные уравнения 1 порядка с разделяющимися переменными.

19.  Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка.

20.  Дифференциальные уравнения вида .

21.  Уравнение второго порядка вида .

22.  Дифференциальные уравнения второго порядка вида

23.  Линейные дифференциальные уравнения 2 порядка с числовыми коэффициентами. .

Ряды

24.  Необходимый признак сходимости.

25.  Геометрическая прогрессия и обобщенный ряд Дирихле. Признаки сравнения.

26.  Признак Даламбера сходимости числовых знакоположительных рядов.

27.  Радикальный признак Коши сходимости числовых знакоположительных рядов.

28.  Интервал и радиус сходимости степенных рядов.

29.  Ряд Тейлора для дифференцируемой функции.

Элементы теории вероятностей и статистики

31. Основные понятия теории вероятностей.

32. Свойства вероятностей.

33. Элементы комбинаторики.

34. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

35. Формула полной вероятности.

36. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.

37. Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона.

38. Дискретные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия.

39. Законы распределений вероятностей непрерывной случайной величины.

1.12. Комплект экзаменационных билетов (утвержденных зав. кафедрой до начала сессии) – нет.

1.13. Примерная тематика рефератов – нет.

1.14. Примерная тематика курсовых работ – нет.

1.15. Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ – нет.

1.16. Методика(и) исследования (если есть) – нет.

1.17. Бально-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания знаний студентов по данной дисциплине – нет.

РАЗДЕЛ 2. Методические указания по изучению дисциплины (или ее разделов) и контрольные задания для студентов заочной формы обучения – нет.

РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала.

Линейная алгебра.

Лекция 1. Матрицы, определители и их свойства. Сложение и умножение матриц.

План.

Основные понятия. Действия над матрицами. Элементарные преобразования матриц. (ПК, проектор, слайд фильмы). Свойства определителей. Обратная матрица. Ранг матрицы.

Основные понятия:

Матрица, ее элементы. Квадратная матрица. Диагональная матрица. Единичная матрица. Треугольная матрица. Нулевая матрица. Вектор-столбец (вектор-строка). Транспонированная матрица. Ступенчатая матрица. Определители первого, второго и п-го порядка. Минор элемента определителя. Алгебраическое дополнение. Вырожденная и невырожденная матрицы. Союзная (присоединенная) матрица. Обратная матрица. Ранг матрицы. Базисный минор. Свойства ранга матрицы.

Матрицы. Матрицей А размера называется прямоугольная таблица из строк и столбцов, состоящая из чисел или других математических выражений (называемых элементами матрицы), где , .

Квадратная матрица п-го порядка – это матрица размера . Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю. Единичная матрица – диагональная матрица с единицами на главной диагонали. Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны нулю.

Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Ступенчатая матрица – матрица, у которой крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки.

Транспонированная матрица – матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером.

Элементарные преобразования матриц:

— умножение некоторого ряда матрицы на число λ ≠ 0;

— прибавление к одному ряду матрицы другого, параллельного ему ряда, умноженного на произвольное число;

— перестановка местами двух параллельных рядов.

Определители.

Определитель второго порядка задается равенством .

Определитель третьего порядка задается равенством .

Свойства определителей.

1. Если у определителя какая-либо строка (столбец) состоит только из нулей, то определитель равен 0.

2. Если какие-либо две строки (столбца) определителя пропорциональны, то определитель равен 0.

3. Если какую-либо строку (столбец) определителя умножить на про­извольное число, то и весь определитель умножится на это число.

4. Если две строки (два столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак.

5. Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить какую-либо другую строку (столбец), умноженную на произвольное число, то определитель не изменится.

6. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

Невырожденные матрицы.

Минор элемента определителя – определитель младшего порядка, получаемый из данного определителя в результате вычеркивания строки и столбца, содержащих данный элемент (на пересечении которых стоит данный элемент).

Алгебраическое дополнение элемента – это его минор, взятый со знаком «+», если сумма – четное число, и со знаком «–», если эта сумма нечетная.

Вырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой равен нулю. Невырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой не равен нулю.

Обратная матрица – матрица, такая что , где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

Матричное уравнение – краткая запись системы уравнений, эквивалентных одному уравнению, составленному из матриц. Решение матричного уравнения AX = B есть , где A – матрица системы; X, B – матрицы-столбцы, составленные из неизвестных и свободных членов соответственно; – матрица, обратная A.

Литература:

1.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

2.  , , Шевченко задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

3.  Бугров Я. С., Никольский линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1988.

4.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

5.  , Куркина математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.

Лекция 2. Системы линейных уравнений.

План.

Основные понятия. Исследование систем линейных уравнений. (ПК, проектор, слайд фильмы). Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений. (ПК, проектор, слайд фильмы). Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Основные понятия:

Система линейных алгебраических уравнений. Коэффициенты и свободные члены системы. Основная и расширенная матрицы системы. Решение системы. Совместная и несовместная системы. Определенная и неопределенная система. Эквивалентные системы. Однородная и неоднородная системы. Исследование систем линейных уравнений. Определитель системы. Формулы Крамера. Матричный способ решения системы. Этапы решения системы методом Гаусса. Прямой и обратный ход.

Система линейных алгебраических уравнений – система вида .

Числа , – коэффициенты системы. Свободные члены системы – числа .

Вектор-столбец (вектор-строка) – матрица, содержащая один столбец или одну строку.

Основная матрица системы – .

Расширенная матрицы системы – матрица системы , дополненная столбцом свободных членов. Свободные члены системы – числа .

Совместная система – система, имеющая хотя бы одно решение. Несовместная система – система, не имеющая ни одного решения. Определенная система – система, имеющая только одно решение. Неопределенная система – система, имеющая более одного решения.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна.

Эквивалентные системы – две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных, множества решений которых совпадают.

Однородная система – система, в которой .

Формулы Крамера.

.

, , … , , где – определитель, получающийся из заменой i-го столбца на столбец свободных членной.

Решение системы линейных уравнений: , , … , , где .