Математика (стр. 7 )

Дискретные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия. Законы распределений вероятностей непрерывной случайной величины.

Случайные величины. Простейший поток событий

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Примеры. Поступление звонков на АТС, на пункт скорой помощи, прибытие самолетов в аэропорт, последовательности отказов элементов и т. д.

Свойства потоков:

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися.

Пример. Вероятности появления k событий на промежутках времени , , одинаковой длительности t = 6 ед. времени равны между собой.

Если поток обладает свойством стационарности, то вероятность появления k событий за промежуток времени длительности t есть функция, зависящая только от k и t .

Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Т. е. предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.

Если поток обладает свойством отсутствия последействия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно.

Если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона

. Эта формула отражает все свойства простейшего потока, ее можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 мин поступит: а) 2 вызова, б) менее двух вызовов, в) не менее двух вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.

По условию , , . Воспользуемся формулой Пуассона .

а) Искомая вероятность того, что за 5 мин поступит 2 вызова

. Это событие практически невозможно.

б) События «не поступило ни одного вызова» и «поступил один вызов» несовместны, поэтому по теореме сложения искомая вероятность того, что за 5 мин поступит менее двух вызовов, равна . Это событие практически невозможно.

б) События «поступило менее двух вызовов» и «поступило не менее двух вызовов» противоположны, поэтому искомая вероятность того, что за 5 мин поступит не менее двух вызовов, равна . Это событие практически достоверно.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовыми характеристиками дискретных случайных величин являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

.

Если д. с.в. Х принимает счетное множество возможных значений, то , причем математическое ожидание существует только в случае абсолютной сходимости ряда.

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее распределения:

X	3	5	2
p	0,1	0,6	0,3

Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

.

Пример 2. Найти математическое ожидание числа появления события А в одном испытании, если вероятность события А равна .

Случайная величина Х – число появления события А в одном испытании – может принимать только два значения: (событие А наступило) с вероятностью и (событие А не наступило) с вероятностью . Искомое математическое ожидание .

Математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1.  Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: .

2.  Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: .

3.  Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: .

4.  Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: .

Пример 3. Независимые случайные величины Х и Y заданы следующими законами распределения:

	X	5	2	4
	p	0,6	0,1	0,3

Найти математическое ожидание случайной величины Х Y.

Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

Случайные величины Х и Y независимые, поэтому искомое математическое ожидание

.

Пример 4. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными , и . Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина , которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью и 0 (промах) с вероятностью . Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания (пример 2) . При втором и третьем выстрелах: , . Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов: . Искомое математическое ожидание находим по теореме о математическом ожидании суммы:

(попаданий).

Математическое ожидание числа появлений события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: . Др. словами, математическое ожидание биномиального распределения с параметрами п и равно произведению .

Пример 5. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия . Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и искомое математическое ожидание (попаданий).

Литература:

6.  Гмурман вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. М. Высшая школа. Изд 7-е, 2001.

7.  Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов. 4-е издание. М. Высшая школа

8.  Локоть для нематематиков. Учебное пособие для студентов-гуманитариев. Мурманск, 1997.

9.  , Куркина математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.

10.  Турецкий и информатика. Екатеринбург, 1999.

РАЗДЕЛ 4. Словарь терминов (глоссарий).

Линейная алгебра.

Алгебраическое дополнение элемента – это его минор, взятый со знаком «+», если сумма – четное число, и со знаком «-», если эта сумма нечетная. Вектор-столбец (вектор-строка) – матрица, содержащая один столбец или одну строку. Вырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой равен нулю. Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю. Единичная матрица – диагональная матрица с единицами на главной диагонали. Квадратная матрица п-го порядка – это матрица размера . Коэффициенты системы – числа , , . Матрица. Матрицей А размера называется прямоугольная таблица из строк и столбцов, состоящая из чисел или других математических выражений (называемых элементами матрицы), где , . Матричное уравнение – краткая запись системы уравнений, эквивалентных одному уравнению, составленному из матриц. Решение матричного уравнения AX = B есть , где A – матрица системы; X, B – матрицы-столбцы, составленные из неизвестных и свободных членов соответственно; – матрица, обратная A. Метод Гаусса – метод приведения к треугольному виду определителя (при его вычислении) или расширенной матрицы системы (путём эквивалентных её преобразований при решении системы линейных уравнений). Минор элемента определителя – определитель младшего порядка, получаемый из данного определителя в результате вычеркивания строки и столбца, содержащих данный элемент (на пересечении которых стоит данный элемент). Невырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой не равен нулю. Неопределенная система – система, имеющая более одного решения. Несовместная система – система, не имеющая ни одного решения. Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны нулю. Обратная матрица – матрица, такая что , где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Однородная система – система, в которой . Определенная система – система, имеющая только одно решение. Определитель второго порядка задается равенством . Определитель третьего порядка задается равенством . Основная матрица системы – . Ранг матрицы – наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. Расширенная матрицы системы – матрица системы , дополненная столбцом свободных членов. Свободные члены системы – числа . Система линейных алгебраических уравнений – система вида . Совместная система – система, имеющая хотя бы одно решение. Ступенчатая матрица – матрица, у которой крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки. Транспонированная матрица – матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером. Треугольная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Эквивалентные системы – две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных, множества решений которых совпадают.

Векторная алгебра.

Вектор – направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Векторное произведение неколлинеарных векторов и – вектор , такой что 1) вектор перпендикулярен векторам и , т. е. , ; 2) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т. е. ; 3) векторы , и образуют правую тройку. Векторно-скалярное (смешанное) произведение трех векторов, и – число, равное скалярному произведению вектора на вектор на вектор . Векторные величины – величины, которые определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Длина (модуль) вектора – длина отрезка АВ. Единичный вектор – вектор, длина которого равна единице. Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Компланарные векторы – три вектора в пространстве, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Координаты вектора – числа , проекции вектора на соответствующие координатные оси. Ортогональные векторы – два вектора, скалярное произведение которых равно нулю. Правила сложения – правило треугольника (трех точек), правило параллелограмма, правило многоугольника. Проекция вектора на ось l – положительное число , если вектор и ось l одинаково направлены и отрицательное число , если вектор и ось l противоположно направлены. Проекция точки М на ось l – основание перпендикуляра , опущенного из точки на ось. Произведение вектора на число – вектор, который имеет длину , его направление совпадает с направлением вектора , если и имеет противоположное направление, если . Равные векторы – коллинеарные векторы, которые одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Радиус-вектор точки М – вектор, соединяющий начало координат с точкой М пространства. Разность векторов и – вектор , такой что . Скалярное произведение двух ненулевых векторов – число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярные величины – величины, которые полностью определяются своим численным значением. Сумма двух векторов и – вектор , соединяющий начало вектора с концом вектора , отложенного от конца вектора . Формула разложения вектора по ортам координатных осей – .

Аналитическая геометрия.

Аналитическая геометрия — раздел геометрии, в котором геометрические образы (прямые, плоскости, линии и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры на основе метода координат. В аналитической геометрии используют два основных приема: первый – зная свойства геометрического образа, находят уравнение (уравнения), связывающее координаты множества точек этого образа; второй – зная уравнение (уравнения), связывающее координаты точек геометрического образа, исследуют свойства последнего и делают геометрическое построение. Гипербола – множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. Декартовы координаты точки M (x, y,z) равны: x – величина ортогональной проекции вектора OM на ось абсцисс, y, z – соответственно на оси ординат и аппликат. Координатная плоскость – плоскость, в которой расположена система координат. Координаты – числа, взятые в определённом порядке и характеризующие положение точки на линии, на плоскости, на поверхности или в пространстве. Координаты точки М в системе координат Оху – координаты радиус-вектора . Кривые второго порядка – линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат , где А, В и С – действительные числа и по крайней мере одно их них отлично от нуля. Окружность радиуса с центром в точке – множество всех точек М плоскости, удовлетворяющих условию . Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Параллельный перенос осей координат – переход от системы координат Оху к новой системе , при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными. Поворот осей координат – преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными. Полярная система координат на плоскости определяется выбором точки O (полюс), луча OA (полярная ось, обычно горизонтальный луч), масштаба длины и положительного направления поворотов вокруг точки O (обычно против часовой стрелки). Полярные координаты точки М – числа r (расстояние от полюса О до точки М) и (угол, образованный отрезком ОМ с полярной осью) – . r – полярный радиус, – полярный угол. Преобразование системы координат – переход от одной системы координат в какую-либо другую. Прямоугольная (декартова) система координат – прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве, в которой масштабы по осям координат равны, задается двумя (тремя) взаимно перпендикулярными прямыми, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный отрезок. Если нет специальных оговорок, решаются задачи и строятся графики функций в декартовой прямоугольной системе координат; например, в пространстве Oxyz оси координат Ox, Oy, Oz – оси абсцисс, ординат, аппликат соответственно. Равносторонняя гипербола – гипербола, у которой полуоси равны (). Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Система координат на плоскости – способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Угол между прямой и плоскостью – любой их двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Угол между прямыми в плоскости – наименьший (острый) из двух смежных углов, образованных этими прямыми. Уравнение линии (или кривой) на плоскости Оху – уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Уравнение поверхности в прямоугольной системе координат Охуz – уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Дифференциальное исчисление.

Бесконечно большая последовательность. Последовательность называется положительной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа найдется такой номер , что для всех , начиная с этого номера, выполняется неравенство . Последовательность называется отрицательной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого по модулю отрицательного числа найдется такой номер , что для всех , начиная с этого номера, выполняется неравенство . Обозначается: б. б. . Бесконечно малая последовательность. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа можно подобрать такой номер , что, начиная с этого (т. е. для всех ), будет выполнено неравенство . Обозначается: б. м. . Возрастающая последовательность – последовательность , если , т. е. . Возрастающая функция на множестве – если для любых значений таких, что , справедливо неравенство . График функции и – множество всех точек плоскости с координатами , где . Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций, исследуются функции и решаются прикладные задачи (например, задачи на экстремум). Дифференцирование – операции нахождения производных (частных производных) функций и их дифференциалов. Дифференцируемая функция – функция одного или нескольких переменных называется дифференцируемой в некоторой точке, если в данной точке существует дифференциал этой функции. Для дифференцируемости функции необходимо и достаточно существование конечной производной для функции одной переменной или чтобы существовали в этой точке непрерывные частные производные для функции нескольких переменных. Монотонная последовательность – неубывающая или невозрастающая последовательность. Невозрастающая последовательность – последовательность , если , т. е. Неограниченная последовательность – последовательность , если для любого найдется такой ее член , что . Непрерывная на промежутке функция. Функция называется непрерывной на данном промежутке (интервале, полуинтервале, отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. При этом если функция определена в конце промежутка, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева. Непрерывная функция – функция, получающая бесконечно малые приращения при бесконечно малых приращениях аргумента (графически представима сплошной линией). Основные элементарные функции непрерывны на множестве их задания. Непрерывность функции в точке. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и . Или: Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и , где (приращение аргумента), (приращение функции, соответствующее приращению аргумента ). Неубывающая последовательность – последовательность , если , т. е. Нечетная функция – если выполняются два условия: 1) множество симметрично относительно нуля; 2) для любого справедливо равенство . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Область значений функции – множество значений функции (множество всех элементов, которые функцией поставлены в соответствие элементам из её области определения). Область определения функции – множество значений, принимаемых независимой переменной (аргументом). Обратная функция – если каждому значению соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения и множеством значений . Ограниченная на множестве функция – если существует такое число , что для всех . Ограниченная последовательность – последовательность ограниченная и сверху и снизу одновременно, т. е. последовательность ограничена, если существует такое число , что для всех п справедливо неравенство . Ограниченная сверху последовательность – последовательность , если существует такое число М, что все члены последовательности меньше, чем М. Ограниченная снизу последовательность – последовательность , если существует такое число М, что все члены последовательности больше, чем М. Односторонний предел – предел функции в некоторой точке справа или слева от неё. Окрестностью точки называется любой интервал с центром в точке . Периодическая функция – если существует такое число , что для любого справедливы условия: 1) , ; 2) . Число – период функции . Последовательность – функция, определённая на множестве натуральных чисел N. Множество значений функции может состоять из элементов любой природы (числа, функции, векторы и т. д.), занумерованных натуральными числами 1, 2, 3, ..., n, .... Последовательность записывается в виде или , элементы называют членами последовательности. Последовательность расходится, если она не имеет предела. Последовательность сходится (или стремится) к числу , если последовательность имеет своим пределом число . Обозначается: или (при ). Постоянная последовательность – последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу . Предел – одно из основных понятий математики, означающее, что некоторая переменная в процессе её изменения неограниченно приближается к какому-то постоянному значению. Через предел определяются такие понятия математического анализа, как непрерывность, производная, интеграл. Предел последовательности. Число называется пределом последовательности , если последовательность является бесконечно малой. Т. е. число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа можно подобрать такой номер (как правило, зависящий от ), что, начиная с этого (т. е. для всех ), будет выполнено неравенство . Предел функции (по Гейне – «на языке последовательностей»). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки кроме, быть может, самой точки . Число А называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к ( ), последовательность соответствующих значений функций сходится к А. Обозначается: или (при ). Предел функции (по Коши – «на языке » (эпсилон-дельта)). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки кроме, быть может, самой точки . Число А называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого числа найдется такое число (зависящее от ), что для всех таких, что , , выполняется неравенство . Предел функции на бесконечности. Пусть функция определена на бесконечном промежутке . Число А называется пределом функции при , если для любой положительной бесконечно большой последовательности (т. е. , ) последовательность соответствующих значений функций сходится к А. Обозначается: . На языке : Число А называется пределом функции при , если для любого числа найдется такое число , что для всех значений выполняется неравенство . Аналогично определяется предел функции при . Обозначается: . Производная – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции при изменении аргумента x. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Предел отношения приращения функции в этой точке (если он существует) к приращению аргумента, когда , называется производной функции в точке . Обозначения производной: или или или . Таким образом, . Численно производная равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к кривой в данной точке (тангенсу угла наклона касательной к оси Ox). Если существует производная функции , её называют второй производной и пишут: . Аналогично определяется производная любого (целого) порядка n: . Производная называется первой производной или производной первого порядка, вторая, третья производная и т. д. – производными высших порядков. Вычисление производной называется дифференцированием функции. Рекуррентная формула – формула, позволяющая выразить п-ный член последовательности через предыдущие члены. Сложная функция или композиция функций и – функция , , причем область значений функции содержится в области определения функции . Строго монотонная последовательность – убывающая или возрастающая последовательность. Точки разрыва второго рода. Если в точке не существует хотя бы один из односторонних пределов или , то называется точкой разрыва второго рода. Точки разрыва первого рода. Если в точке существуют конечные односторонние пределы и , но они не равны между собой, или же односторонние пределы равны между собой, а значение функции в этой точке не совпадает с односторонними пределами, то называется точкой разрыва первого рода. Если в точке существует конечный предел , а не определено или если в точке существуют конечные односторонние пределы , то эта точка называется точкой устранимого разрыва. Точки разрыва первого рода функции , не являющиеся точками устранимого разрыва, называются точками скачка этой функции. Если – точка скачка функции , то разность не равна нулю и называется скачком функции в точке . Точки разрыва функции. Функцию , определённую в некоторой окрестности точки , называют разрывной в этой точке, если она не является непрерывной в этой точке. Различают точки разрыва первого рода. Убывающая последовательность – последовательность , если , т. е. . Убывающая функция на множестве – если для любых значений таких, что , справедливо неравенство . Функция – соответствие , которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , где и – непустые множества. , или . Функция отображает множество на множество . Функция общего вида – функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной. Четная функция – если выполняются два условия: 1) множество симметрично относительно нуля; 2) для любого справедливо равенство . График четной функции симметричен относительно оси ординат. Числовая последовательность – последовательность, членами которой являются числа. Элементарные функции – класс функций, состоящий из основных элементарных функций (многочлен, рациональная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические), гиперболических, обратных гиперболических функций, а также функций, получающихся из перечисленных с помощью четырёх арифметических действий и суперпозиций, применяемых конечное число раз. Данные функции непрерывны всюду, где определены.

Интегральное исчисление.