Математика (стр. 3 )

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

1. Находим . Если , то система совместна и определена.

2. Находим матрицу , обратную к матрице системы.

3. Для этого находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы .

4. Записываем матрицу .

5. Находим матрицу : .

6. Находим решение системы уравнений по формуле:

Метод Гаусса – метод приведения к треугольному виду определителя (при его вычислении) или расширенной матрицы системы (путём эквивалентных её преобразований при решении системы линейных уравнений). Один из наиболее универсальных и эффективных методов решения линейных алгебраических систем, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Элементарные преобразования системы линейных уравнений:

— умножение некоторого уравнения системы на число λ ≠ 0;

— прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число;

— перестановка местами уравнений.

Литература:

1.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

2.  , , Шевченко задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

3.  Бугров Я. С., Никольский линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1988.

4.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 – ч. 1, 2.

5.  , Куркина математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.

Лекция 3. Векторная алгебра. Произведение векторов.

План.

Основные понятия. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось, ее свойства. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Скалярное произведение векторов, его свойства. Векторное произведение векторов, его свойства. Площади параллелограмма и треугольника. Смешанное произведение векторов, его свойства и применение. Объем параллелепипеда.

Основные понятия:

Скалярные и векторные величины. Вектор. Длина (модуль) вектора. Единичный вектор. Равные векторы. Коллинеарные и компланарные векторы. Сумма векторов и разность векторов. Правила сложения. Произведение вектора на число. Признаки коллинеарности и компланарности векторов. Проекция точки на ось. Проекция вектора на ось. Угол между векторами. Формула разложения вектора по ортам координатных осей. Координаты вектора. Радиус-вектор точки. Скалярное произведение векторов. Ортогональные векторы. Правая и левая тройка векторов. Векторное произведение векторов. Векторно-скалярное (смешанное) произведение векторов.

Векторы.

Скалярные величины – величины, которые полностью определяются своим численным значением. Площадь, длина, объем, температура, работа, масса и т. д.

Векторные величины – величины, которые определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Сила, скорость, ускорение и т. д.

Вектор – направленный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Обозначение: или . Вектор , называется противоположным вектору .

Длина (модуль) вектора – длина отрезка АВ. Обозначение: или .

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается: . Нулевой вектор направления не имеет. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается: .

Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. они могут быть направлены одинаково и противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Равные векторы – коллинеарные векторы, которые одинаково направлены и имеют одинаковые длины. . Равные векторы называются также свободными. Вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку пространства.

.

Компланарные векторы – три вектора в пространстве, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Линейные операции над векто­рами.

Операции сложения и вычитания векторов, умножение вектора на число.

Правила сложения – правило треугольника (трех точек), правило параллелограмма, правило многоугольника. Сумма двух векторов и – вектор , соединяющий начало вектора с концом вектора , отложенного от конца вектора .

Правило треугольника: .

Правило параллелограмма: (где – параллелограмм).

Правило многоугольника – правило сложения трех и более векторов.

Разность векторов и – вектор , такой что .

Правило вычитания векторов: .

Произведение вектора на число – вектор, который имеет длину , его направление совпадает с направлением вектора , если и имеет противоположное направление, если .

Проекция точки М на ось l – основание перпендикуляра , опущенного из точки на ось. Проекция вектора на ось l – положительное число , если вектор и ось l одинаково направлены и отрицательное число , если вектор и ось l противоположно направлены. Обозначение: .

Основные свойства проекций:

1. . Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью.

2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

3. . При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число.

Угол между вектором и осью l (или угол между двумя векторами):

Разложение вектора по ортам координатных осей.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Оxyz. выделим на координатных осях Оx, Оy, Оz единичные векторы (орты), обозначаемые , , соответственно. Пусть .

Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно . Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда , , . По определению суммы нескольких векторов: .

. Проекции векторов обозначим , , .

Формула разложения вектора по ортам координатных осей: .

Координаты вектора – числа , проекции вектора на соответствующие координатные оси.

Радиус-вектор точки М – вектор, соединяющий начало координат с точкой М пространства.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов – число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Ортогональные векторы – два вектора, скалярное произведение которых равно нулю.

Векторное произведение неколлинеарных векторов и – вектор , такой что 1) вектор перпендикулярен векторам и , т. е. , ; 2) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т. е. ; 3) векторы , и образуют правую тройку.

Векторно-скалярное (смешанное) произведение трех векторов, и – число, равное скалярному произведению вектора на вектор на вектор .

Литература:

1.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

2.  , , Шевченко задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

Бугров Я. С., Никольский линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1988.

4.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

5.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

6.  , Куркина математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.

Аналитическая геометрия.

Лекция 4. Метод координат на плоскости. Прямая на плоскости.

План.

1.  Прямоугольная система координат. Полярная система координат. Связь между прямоугольными и полярными координатами. (ПК, проектор).

2.  Основные приложения метода координат на плоскости. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника. (ПК, проектор).

3.  Преобразование систем координат на плоскости. Параллельный перенос осей координат. Поворот осей координат. (ПК, проектор).

4.  Уравнение линии. Уравнения прямой на плоскости. (ПК, проектор).

5.  Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Пересечение прямых. Расстояние от точки до прямой. (ПК, проектор).

6.  Плоскость и прямая в пространстве.

Основные понятия:

Система координат. Прямоугольная (декартова) система координат. Координатная плоскость. Координаты точки. Полярная система координат. Полярные координаты, полярный радиус, полярный угол. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника. Преобразование системы координат. Параллельный перенос осей координат. Поворот осей координат. Формулы поворота осей. Уравнение линии. Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Полярное уравнение прямой. Нормальное уравнение прямой. Угол между прямыми в плоскости. Расстояние от точки до прямой. Уравнение поверхности. Уравнение сферы. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Полярная система координат на плоскости определяется выбором точки O (полюс), луча OA (полярная ось, обычно горизонтальный луч), масштаба длины и положительного направления поворотов вокруг точки O (обычно против часовой стрелки). Произвольной точке M ставят в соответствие: ρ – расстояние от точки M до полюса O, – угол, на который надо повернуть луч OA до совмещения с лучом OM (0≤ <2π). ρ и называются полярными координатами точки M (ρ – полярный радиус, – полярный угол), связь их с декартовыми координатами: x = ρ cos , y = ρ sin , . Координатные линии – концентрические окружности (ρ = const) и лучи ( = const). Полярная система координат удобна при исследовании ряда кривых, фигур, а также при изучении циклических процессов, вращательных движений, крутильных колебаний и т. д.

Параллельный перенос осей координат.

Поворот осей координат.

Формулы поворота осей: .

Преобразование системы координат (параллельный перенос осей координат и поворот осей).

Расстояние между двумя точками и : .

Деление отрезка АВ: и в данном отношении : и .

Если , т. е. АМ = МВ, то и .

Площадь треугольника АВС с вершинами , , : .

Уравнения прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: , где – угловой коэффициент прямой.

Общее уравнение прямой: .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении: , где ( – угол, образуемый прямой с осью Ох).

Уравнение прямой, проходящей через две точки: .

Уравнение прямой в отрезках: , числа и указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Полярное уравнение прямой: , где – расстояние от полюса О до данной прямой, – угол между полярной осью ОР и осью l, проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой.

Нормальное уравнение прямой: , где – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, – угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ох.

Угол между прямыми в плоскости.

Литература:

1.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

2.  Привалов геометрия. - М.: Наука,1966 [и последующие издания].

3.  , , Шевченко задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

Бугров Я. С., Никольский линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1988.

5.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

6.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

7.  , Куркина математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.

Лекция 5. Кривые второго порядка.

План.

Линии (кривые) второго порядка. Окружность. Каноническое уравнение окружности. (ПК, проектор, презентация). Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. (ПК, проектор, презентация). Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. (ПК, проектор, презентация). Парабола. Каноническое уравнение параболы. (ПК, проектор, презентация).

Основные понятия:

Кривые второго порядка. Окружность. Эллипс. Центр, вершины, оси и полуоси эллипса. Гипербола. Центр, вершины, действительные и мнимые оси и полуоси гиперболы. Основной прямоугольник гиперболы. Асимптоты гиперболы. Равносторонняя гипербола. Парабола. Вершина параболы. Ось симметрии параболы.

Кривые второго порядка.

Уравнение окружности: , где – радиус окружности, – координаты центра окружности.

Уравнение эллипса: , где – большая полуось, – малая полуось эллипса.

Уравнение гиперболы: , где – действительная полуось, – мнимая полуось гиперболы.

Центр, вершины, действительные и мнимые оси и полуоси гиперболы. Основной прямоугольник гиперболы. Асимптоты гиперболы.

Уравнение сферы: , где – радиус сферы, – координаты центра сферы.

Общее уравнение линий второго порядка всегда определяет: либо окружность, либо эллипс, либо гиперболу, либо параболу. При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) – в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы – в пару пересекающихся прямых, для параболы – в пару параллельных прямых

.

Общее уравнение плоскости в пространстве: .

Общее уравнение прямой в пространстве: .

Литература:

1.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

2.  Привалов геометрия. - М.: Наука,1966 [и последующие издания].

3.  , , Шевченко задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

Бугров Я. С., Никольский линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Наука, 1988.

5.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

6.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

7.  , Куркина математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.

Дифференциальное исчисление.

Лекция 6. Элементарные функции. Элементы теории пределов.

План.

Функция. Способы задания функций. Основные характеристики функции. Элементарные функции и их графики. Исследование функций и построение графиков. Чтение графика функции. Преобразования графиков функций. (ПК, проектор). Последовательности. Предел последовательности. Предел и непрерывность функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы.

Основные понятия:

Функция. Область определения и множество значений функции. График функции. Элементарные функции. Четная и нечетная функции. Возрастающая и убывающая функции. Ограниченная функция. Периодическая функция. Обратная функция. Сложная функция. Сдвиги графиков вдоль осей координат. Растяжение и сжатие графиков.

Числовая последовательность. Рекуррентная формула. Монотонная последовательность. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно малая последовательность. Предел последовательности. Бесконечно большая последовательность.

Предел функции. Непрерывность функции в точке. Непрерывная на промежутке функция. Точки разрыва первого и второго рода. Первый и второй замечательные пределы.

Функция – соответствие , которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , где и – непустые множества. , или . Функция отображает множество на множество .

График функции и – множество всех точек плоскости с координатами , где .

Преобразования графиков функций.

1. График функции можно построить с помощью преобразований (сдвиг, растяжение) графика некоторой уже известной функции.

1) График функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси на единиц (вверх, если , и вниз, если ).

2) График функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси на единиц (вправо, если , и влево, если ).

3) График функции получается из графика функции растяжением вдоль оси в раз.

4) График функции получается из графика функции сжатием по оси в раз.