Математика (стр. 5 )

Однородное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка.

Литература:

1.  Берман задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].

2.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

3.  Пискунов и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].

4.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

5.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

Ряды.

Лекция 12. Числовые ряды.

План.

Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходи­мый и достаточный признаки сходимости знакоположительных рядов. При­знаки сравнения рядов. Признаки Даламбера и Коши. Знакочередующиеся и знако­переменные числовые ряды. Признак Лейбница.

Основные понятия:

Числовой ряд. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Знакоположительные ряды. Знакочередующиеся и знако­переменные числовые ряды.

Числовой ряд – выражение вида , где – действительные числа, называемые членами ряда, – общим членом ряда.

Знакопеременный ряд – числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов.

Знакочередующийся ряд – ряд вида , где для всех , т. е. ряд, члены которого строго попеременно положительны и отрицательны.

Расходящиеся ряды. Если не существует или , ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Сходящиеся ряды. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда , то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится. записывают: .

Функциональный ряд – ряд, членами которого являются функции от х, т. е. ряд вида .

Частичная сумма ряда – сумма первых п членов ряда ,обозначается , т. е. .

Литература:

1.  Берман задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].

2.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

3.  Пискунов и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].

4.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

5.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

Лекция 13. Степенные ряды.

План.

Степенные ряды. Основные свойства сте­пенных рядов. Разложение в ряд Маклорена основных функ­ций. Формула и ряд Тейлора. При­ближенное вычисление с помощью рядов.

Основные понятия:

Степенной ряд. Область сходимости. Интервал и радиус сходимости. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

Степенной ряд – ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т. е. ряд . Числа называют коэффициентами ряда, – действительная переменная.

Интервал сходимости степенного ряда – интервал , во всех внутренних точках которого ряд сходится (абсолютно), в точках вне интервала расходится, а в концевых точках ряд может сходиться или расходиться. Если , то интервал сходимости . Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т. е. – это такое число, что при всех х, для которых , ряд абсолютно сходится, а при ряд расходится..

Ряд Маклорена: – разложение функции по степеням х.

Ряд Тейлора: – разложение функции по степеням .

Литература:

1.  Берман задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].

2.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

3.  Пискунов и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].

4.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

5.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

Элементы теории вероятностей и статистики.

Лекция 14. Случайные события.

План.

1.  Основные понятия теории вероятностей. Свойства вероятностей.

2.  Элементы комбинаторики.

3.  Теоремы сложения и умножения вероятностей.

4.  Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.

5.  Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона.

Основные понятия:

Событие. Достоверные, невозможные и случайные события.

Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей занимается изучением закономерностей, возникающих при рассмотрении большого числа однотипных (однородных) случайных явлений.

Такие закономерности, присущие массовым случайным явлениям, встречаются в самых разнообразных ситуациях: при анализе результатов многократного бросания шестигранной игральной кости, при выяснении процента брака в различных промышленных производствах, при анализе народонаселения, в теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматического управления, в теории стрельбы, при изучении закономерностей взаимодействия большого числа частиц в физике и химии и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, при контроле качества продукции и для многих других целей.

Теория вероятностей возникла примерно в 17 веке. Ее первые шаги связаны с именами Паскаля, Ферма и Бернулли. Первоначально теория вероятностей занималась преимущественно задачами, относящимися к различным азартным играм (карты, кости и т. д.). Дальнейшему ее развитию способствовали запросы естественных и социальных наук и техники (теория ошибок наблюдения, теория артиллерийской стрельбы, учет народонаселения, развитие статистической физики). Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др. (на рубеже 18-19 веков). С середины 19 века фундаментальную роль в развитии теории вероятностей стала играть российская математическая школа (работы , , ) В 20 веке в развитие теории вероятностей выдающийся вклад внесли работы , , .

В теории вероятностей основную роль будет играть понятие события.

Событием называется всякое явление, относительно которого имеет смысл говорить, произошло оно или не произошло. Др. словами, событием называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Пример. При бросании игральной кости можно рассматривать такие события: выпадение одного очка, выпадение четного числа очков, выпадение менее трех очков и т. д.

При этом каждый раз рассматриваются: 1) некоторый комплекс условий, т. е. проведение испытания (например, бросается игральная кость, стрелок стреляет по мишени) и 2) некоторая фиксированная система событий, которые могут произойти или не произойти при осуществлении данного комплекса условий (выпадение определенного количества очков, попадание или промах).

Виды событий: достоверные, невозможные и случайные.

1.  Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлен определенный комплекс условий. Др. словами, это событие, которое в результате опыта непременно должно произойти.

Пример. Если брошена игральная кость, то выпадение не менее одного очка – достоверное событие.

2.  Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлен определенный комплекс условий. Др. словами, это событие, которое в результате опыта не может произойти.

Пример. Если брошена игральная кость, то выпадение больше 6 очков – невозможное событие.

3.  Случайным называют событие, которое при осуществлении определенной совокупности условий может либо произойти, либо не произойти.

Пример. Если брошена игральная кость, то выпадение 3 очков – случайное событие.

Различные события могут быть связаны между собой определенными соотношениями:

1. Если при каждом осуществлении данного комплекса условий, при котором наступает событие А, наступает и событие В, то говорят, что событие А влечет за собой событие В, и пишут или .

Пример. При бросании игральной кости событие «выпало два очка» влечет за собой событие «выпало четное число очков».

2. Если событие А влечет за собой событие В и в то же время событие В влечет за собой событие А, то события А и В называют равносильными, и пишут .

Пример. При бросании игральной кости событие А, состоящее в выпадении четного числа очков, равносильно событию В, состоящему в невыпадении нечетного числа очков.

Произведением двух событий А и В называется событие, обозначаемое символом или и состоящее в одновременном наступлении событий А и В.

Пример. Если при бросании кости событие А состоит в выпадении четного числа очков, а событие В – в выпадении меньше четырех очков, то событие означает выпадение двух очков.

Событие, состоящее в том, что наступило хотя бы одно из событий А и В, называется их суммой и обозначается символом или .

Пример. Из колоды карт, содержащей 36 карт, извлекается

случайным образом одна карта. Будет ли это король или пика? Имеется 4 короля и 9 пик, среди которых одна – король пик – встречается 2 раза. Благоприятных вариантов 9 + 4 – 1 = 12.

Событие, состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается символом .

Пример. Если при бросании кости событие А состоит в выпадении четного числа очков, а событие В – в выпадении более двух очков, то событие означает выпадение двух очков.

Пример. Событие заключается в том, что вытаскивается любой король, кроме пикового.

Если А – какое-либо событие, то событие, состоящее в том, что событие А не наступило, называется противоположным событию А и обозначается символом .

Пример. Если при бросании кости событие А состоит в выпадении четного числа очков, то событие состоит в выпадении нечетного числа очков.

Все достоверные события равносильны между собой и все невозможные события равносильны между собой. Поэтому все достоверные события будем обозначать одной и той же буквой Е, а любое невозможное событие – одной и той же буквой N.

Противоположные события А и связаны между собой соотношениями , .

События А и В называются несовместными (несовместимыми), если их одновременное наступление невозможно, т. е. если . Др. словами, события несовместны, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» – несовместные.

Аналогично п событий называются попарно несовместимыми, если при всех .

Если и события попарно несовместны, то говорят, что событие А подразделяется на частные случаи .

События образуют полную группу, если в результате испытания обязательно появится хотя бы одно из них, т. е. если . Др. словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

Частный случай. Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Полные группы попарно несовместимых событий – это такие группы событий , которые удовлетворяют условиям , при всех .

Пример. При бросании игральной кости события , состоящие в выпадении соответственно 1, 2, …, 6 очков, образуют полную группу попарно несовместимых событий.

Пример. Приобретены два лотерейных билета. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: 1. выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй, 2. выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй, 3. выигрыш выпал на оба билета, 4. выигрыш не выпал на оба билета. Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример. Появление герба и появление решки при бросании монеты – равновозможные события, т. к. предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

Пример. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости – равновозможные события. Предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника, и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.

Рассматривая определенный комплекс условий и определенную группу S событий, которые могут произойти при реализации этого комплекса условий, предполагают, что эта группа событий удовлетворяет двум условиям: 1) если группе S принадлежат события А и В, то ей принадлежат также и события , и , 2) группе S принадлежат достоверное и невозможное события. Группу S событий, удовлетворяющих требованиям 1 и 2, называют полем событий.

Классическое определение вероятности события А

Если событие А подразделяется на m частных случаев, входящих в полную группу n попарно несовместных и равновероятных событий, то вероятностью события называется число .

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого события.

Пример. Если бросается монета, то возможны два равновероятных Результата: выпадение герба и выпадение решки. Эти события несовместимы и образуют полную группу. Вероятность каждого из этих событий равна .

Пример. При бросании игральной кости возможны 6 равновероятных исходов, образующих полную группу попарно несовместных событий: выпадение 1, 2. …, 6 очков. Вероятность каждого из этих событий равна .

Пример. При бросании игральной кости событие А состоит в выпадении четного числа очков. Это событие подразделяется на три частных случая: выпадение 2, 4, и 6 очков. Поэтому , и искомая вероятность равна .

В теории вероятностей принята следующая терминология. Каждое осуществление данного фиксированного комплекса условий называется испытанием, а полная группа попарно несовместных и равновероятных событий, которые могут произойти при этом испытании, называется полной группой возможных исходов испытания. Каждый из возможных результатов испытания называется элементарным исходом. Те из возможных исходов, на которые подразделяется событие А, называются исходами, благоприятствующими событию А. Др. словами, е элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими событию А.

В этих терминах классическое определение вероятности звучит так: вероятность события А равна отношению числа возможных исходов испытания, благоприятствующих событию А, к числу всех возможных исходов испытания.

, где – число элементарных исходов, благоприятствующих А, – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойства вероятностей:

1.  Вероятность достоверного события равна единице.

Если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае , следовательно, .

2.  Вероятность невозможного события равна нулю.

Если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае , следовательно, .

3.  Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае , значит, , следовательно, .

Вероятность любого события удовлетворяет неравенству .

4.  Если событие А влечет за собой событие В, то .

Если событие А влечет за собой событие В, то число исходов, благоприятствующих событию В, не меньше числа исходов, благоприятствующих событию А.

Элементы комбинаторики

При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики.

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике и др. областях знания, т. к. в науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций.

Пример. Из группы теннисистов, в которую входит четыре человека – Иванов, Петров, Сидоров и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

Составим все пары, в которые входит Иванов. Получим три пары: ИП, ИС, ИФ.

Все пары, в которые входит Петров, но не входит Иванов: ПС, ПФ.

Все пары в которые входит Сидоров, но не входят Иванов и Петров: СФ.

Других вариантов составления пар нет, так как все пары в которые входит Федоров, уже составлены.

Значит, всего существует 6 вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.

При решении задачи мы воспользовались способом рассуждений, который называется перебором возможных вариантов.

Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Выпишем все такие числа.

Пусть на первом месте стоит цифра 1. На втором месте может быть записана любая из цифр 2, 3, 5. Запишем, например, на втором месте цифру 2. Тогда в качестве третьей цифры можно взять 3 или 5. Получим два числа 123 и 125. Если на втором месте записать цифру 3, то в качестве третьей цифры можно взять цифру 2 или 5. Получим числа 132 и 135. Если на втором месте написать цифру 5, то получим числа 152 и 153. Мы составили все числа, которые начинаются с цифры 1, их всего 6:

123, 125, 132, 135, 152, 153.

Аналогичным способом можно составить числа, которые начинаются с цифры 2, с цифры, 3 и с цифры 5. Запишем их в четыре строки, в каждой из которых шесть чисел:

123, 125, 132, 135, 152, 153

213, 215, 231, 235, 251, 253

312, 315, 321, 325, 351, 352

512, 513, 521, 523, 531, 532

Таким образом, из цифр 1, 2, 3, 5 (без повторения цифр) можно составить 24 трехзначных числа.

Проведенный перебор вариантов можно изобразить с помощью схемы, которую называют деревом возможных вариантов.

Полученный ответ можно получить, не выписывая сами числа. Первую цифру можно четырьмя способами. Так как после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать уже тремя способами. Третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Значит, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению , т. е. 24.

Комбинаторное правило умножения. Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся элементов способами, затем третий элемент – способами и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению .

Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.

Пример. Пусть имеется три книги . Эти книги можно расставить на полке по-разному.

Если первой поставить книгу , то возможны такие расположения книг: , .

Если первой поставить книгу , то возможны такие расположения книг: , .

Если первой поставить книгу , то возможны такие расположения книг: , .

Каждое из этих расположений называется перестановкой из трех элементов.

Перестановками из n элементов называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Число перестановок из n элементов обозначают символом (читается «из n»).

Число всех возможных перестановок , где .

По определению, считают, что 1!=1 и 0!=1.

В примере: .

Пример. Сколькими способами могут быть расставлены пять студентов на пяти беговых дорожках?

Число способов равно числу перестановок из 5 элементов.

Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по элементов, которые различаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число размещений из n элементов по обозначают (читается «из n по »).

Число всех возможных размещений.

Пример. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по обозначают (читается «из n по »).

Число сочетаний.

Пример. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством:

Пример. Из 15 студентов группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

При решении задач комбинаторики используют следующие правила.

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов в указанном порядке может быть выбрана способами.

Теорема сложения вероятностей

Суммой двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Пример. Если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

Если два события несовместные, то – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример. Событие состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.