Математика (стр. 4 )

5) График функции получается из графика функции симметричным отражением относительно оси .

6) График функции получается из графика функции симметричным отражением относительно оси .

Пределы.

Предел – одно из основных понятий математики, означающее, что некоторая переменная в процессе её изменения неограниченно приближается к какому-то постоянному значению. Через предел определяются такие понятия математического анализа, как непрерывность, производная, интеграл.

Предел последовательности. Число называется пределом последовательности , если последовательность является бесконечно малой. Т. е. число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа можно подобрать такой номер (как правило, зависящий от ), что, начиная с этого (т. е. для всех ), будет выполнено неравенство .

Окрестностью точки а называется любой интервал с центром в точке а.

Предел функции (по Гейне – «на языке последовательностей»). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки кроме, быть может, самой точки . Число А называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , сходящейся к ( ), последовательность соответствующих значений функций сходится к А. Обозначается: или (при ).

Предел функции (по Коши – «на языке » (эпсилон-дельта)). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки кроме, быть может, самой точки . Число А называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого числа найдется такое число (зависящее от ), что для всех таких, что , , выполняется неравенство .

Предел функции на бесконечности. Пусть функция определена на бесконечном промежутке . Число А называется пределом функции при , если для любой положительной бесконечно большой последовательности (т. е. , ) последовательность соответствующих значений функций сходится к А. Обозначается: . На языке : Число А называется пределом функции при , если для любого числа найдется такое число , что для всех значений выполняется неравенство . Аналогично определяется предел функции при . Обозначается: .

Запись предела функции в точке: .

Определение. Если f(x) ® A1 при х ® а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A2 при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.

Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. , где С = const.

Теорема 2.

Теорема 3.

Следствие.

Теорема 4. при

Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А > 0.

Теорема 6. Если g(x) £ f(x) £ u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï<M вблизи точки х = а.

Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при х® а, то она ограничена вблизи точки х = а.

Литература:

1.  Берман задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].

2.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

3.  Пискунов и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].

4.  , , Шевченко задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

5.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

6.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

7.  , Е, Темникова представления о введении в математический анализ: Визуальный конспект практикум. - СПб., ЛОИРО, 2005.

Лекция 7. Элементы теории дифференцирования.

План.

Производная функции, ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной. (ПК, проектор, слайд фильмы). Теоремы о производ­ных. Производная сложной и обратной функций. Формулы дифференцирования. Дифференцирование ос­новных элементарных функ­ций. Произ­водные второго порядка. (ПК, проектор, слайд фильмы). Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Общая схема исследования функции и построения ее графика. (ПК, проектор).

Основные понятия:

Дифференциальное исчисление. Дифференцирование. Дифференцируемая функция. Производная.

Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций, исследуются функции и решаются прикладные задачи (например, задачи на экстремум).

Дифференцирование – операции нахождения производных (частных производных) функций и их дифференциалов.

Дифференцируемая функция – функция одного или нескольких переменных называется дифференцируемой в некоторой точке, если в данной точке существует дифференциал этой функции. Для дифференцируемости функции необходимо и достаточно существование конечной производной для функции одной переменной или чтобы существовали в этой точке непрерывные частные производные для функции нескольких переменных.

Производная – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции при изменении аргумента x. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Предел отношения приращения функции в этой точке (если он существует) к приращению аргумента, когда , называется производной функции в точке . Обозначения производной: или или или . Таким образом, . Численно производная равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к кривой в данной точке (тангенсу угла наклона касательной к оси Ox). Если существует производная функции , её называют второй производной и пишут: . Аналогично определяется производная любого (целого) порядка n: . Производная называется первой производной или производной первого порядка, вторая, третья производная и т. д. – производными высших порядков. Вычисление производной называется дифференцированием функции.

Литература:

1.  Берман задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].

2.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

3.  Пискунов и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].

4.  , , Шевченко задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

5.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

6.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

7.  , Е, Темникова представления о введении в математический анализ: Визуальный конспект практикум. – СПб., ЛОИРО, 2005.

Интегральное исчисление.

Лекция 8. Неопределенный интеграл.

План.

Первообразная и неопре­деленный интеграл. Свойства неопре­деленного интеграла. Таблица основных интегралов. Основные методы ин­тегрирования.

Основные понятия:

Первообразная и неопре­деленный интеграл. Метод непосредственного ин­тегрирования. Метод подстановки (замена переменной). Метод ин­тегрирования по частям (метод стрелок).

Интегральное исчисление – раздел математики, в котором исследуют функции на основании связи между первообразной искомой функции и интегралом от неё, изучаются интегралы различного вида, их свойства, способы вычисления, а также приложения этих интегралов к различным задачам естествознания и человеческой деятельности.

Первообразная. Пусть функция определена на некотором (конечном или бесконечном) интервале . Тогда функция называется первообразной для функции на интервале , если для всех . Если – первообразная для функции , то функция , где С – некоторая постоянная, также первообразная для функции . Если и – две первообразные для функции , то они отличаются на некоторую постоянную, т. е. существует такое число , что . Если функция непрерывна на данном интервале, то у нее существует первообразная на этом интервале.

Неопре­деленный интеграл. Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от функции . Обозначается: . Если – какая-нибудь первообразная для функции , то . Знак называется интегралом, функция – подынтегральной функцией, а – подынтегральным выражением.

Интегрирование – вычисление определённых и неопределённых интегралов, а также иных видов интегралов – кратных, криволинейных и т. п. Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования (т. е. операции, заключающейся в нахождении производной от данной функции). У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл.

Метод непосредственного ин­тегрирования. Метод ин­тегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным ин­тегрированием.

Метод подстановки (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл , при этом функции и непрерывны на заданном интервале. Тогда этот интеграл можно упростить с помощью подстановки , используя равенство .

Метод ин­тегрирования по частям (метод стрелок). Пусть производные функций и существуют и непрерывны на заданном интервале. Тогда имеет место равенство .

Лекция 9. Определенный интеграл, его свойства.

План.

Понятие определенного интеграла и условия его существования. Геометрический и физический смысл определенного интеграла. (ПК, проектор). Тео­рема Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла. Приложения определенного интеграла. Площади и объемы. (ПК, проекторы).

Основные понятия:

Определенный интеграл. Криволинейная трапеция.

Введение понятия определенного интеграла.

Интегральная сумма. Пусть функция определена на отрезке и на этом отрезке произвольно выбраны точки , так что – выбрано разбиение этого отрезка на п частей. В каждом интервале произвольным образом выбрана точка , . Сумма вида , где , называется интегральной суммой функции на отрезке .

Определенный интеграл. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при условии, что длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю: . Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования, отрезок – областью (отрезком) интегрирования.

Интегрируемая функция. Если функция непрерывна на отрезке , то предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка и от выбора точек (теорема существования определенного интеграла). Функция в этом случае называется интегрируемой на отрезке . Если функция ограничена на отрезке и непрерывна в нем, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.

Формула Ньютона-Лейбница. .

Криволинейная трапеция.

Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная графиком функции , неотрицательной и непрерывной на отрезке , отрезком оси абсцисс и перпендикулярами, проведёнными к оси Ox в точках a и b, т. е. прямыми и .

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой и параболой .

Литература:

1.  Берман задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].

2.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

3.  Пискунов и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].

4.  , , Шевченко задач по высшей математике. 1 курс. – 2-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2003.

5.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

6.  , Е, Темникова представления о введении в математический анализ: Визуальный конспект практикум. – СПб., ЛОИРО, 2005.

Дифференциальные уравнения.

Лекция 10. Элементы теории дифференциальных уравнений.

План.

Общие сведения о дифференциальных уравнениях. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Уравнения I-го порядка с разде­ляющимися переменными.

Основные понятия:

Дифференциальные уравнения. Решение дифференциального уравнения. Общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение – уравнение, содержащее искомую функцию одного переменного, её производные различных порядков и независимую переменную. Порядок уравнения определяется старшим порядком производной функции, входящей в это уравнение.

Задача Коши – дифференциальное уравнение вместе с начальными условиями; задача состоит в отыскании решения (интеграла), удовлетворяющего начальным условиям.

Начальные условия для дифференциального уравнения – дополнительные условия, налагаемые на решение уравнения, отнесённые к одному и тому же значению аргумента. Условие, что при функция должна быть равна заданному числу , т. е. называется начальным условием. или .

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям: 1) функция является решением ДУ при каждом фиксированном значении с, 2) каково бы ни было начальное условие , можно найти такое значение постоянной , что функция удовлетворяет данному начальному условию.

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) называют ДУ, если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, в противном случае – ДУ в частных производных.

Порядок дифференциального уравнения – наивысший из порядков производных, входящих в уравнение.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Уравнение Бернулли. Уравнение вида , где называется уравнением Бернулли.

Частная производная – понятие дифференциального исчисления, характеризующее локальную скорость изменения функции нескольких переменных при изменении лишь одного аргумента. Находится частная производная по рассматриваемому аргументу по обычным правилам в предположении, что остальные аргументы фиксированы, выступают в роли констант.

Частное решение обыкновенного дифференциального уравнения – решение, полученное из общего решения уравнения (общего интеграла) при некотором наборе входящих в него постоянных (обычно определяются начальными условиями).

Литература:

1.  Берман задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1973 [и последующие издания].

2.  , Демидович курс высшей математики. - М.: Наука, 1989.

3.  Пискунов и интегральное исчисления. В 2 т. - М.: Наука, 1970 [и последующие издания].

4.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах.: в 2-х ч.- М.: Высш. шк., 1986 - ч.1, 2.

5.  Каплан занятия по высшей математике, части 1, 2, 3, 4, 5. Харьков, 1967.

Лекция 11. Ли­нейные и однородные уравнения I-го порядка.

План.

Ли­нейные и однородные уравнения I-го порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэф­фициен­тами.

Основные понятия:

Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения.

Линейное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде , где и – заданные функции, в частности – постоянные.

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение – уравнение, у которого отличен от нуля свободный член (не содержащий искомую функцию или её производные).

Однородная функция п-го порядка. Функция называется однородной функцией п-го порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель вся функция умножится на , т. е. .