Математика (стр. 6 )

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: .

Док-во: Пусть п – общее число возможных элементарных исходов испытания; – число исходов, благоприятствующих событию А; – число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно . Следовательно, .

Так как и , то .

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Пример. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А) .

Вероятность появления синего шара (событие В) .

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность .

Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на три области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

События А стрелок попал в первую область и В – стрелок попал во вторую область – несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность .

Полная группа событий

Теорема. Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице: .

Док-во: Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то .

Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: .

Левые части равенств равны, значит, равны и их правые части. .

Пример. Консультационный пункт института получает пакеты с работами ЕГЭ из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В – 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

События – пакет получен из города А, пакет получен из города В, пакет получен из города С – образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице: .

отсюда искомая вероятность .

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, другое принятии обозначать .

Пример. Попадание и промах при выстреле по цели противоположные события. Если А – попадание, то – промах.

Пример. Из ящика наудачу взята деталь. События – появилась стандартная деталь и появилась нестандартная деталь – противоположные.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: .

Док-во: Противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через p, то вероятность другого события обозначают через q. В силу теоремы о сумме вероятностей противоположных событий .

Пример. Вероятность того, что день будет дождливым, . Найти вероятность того, что день будет ясным.

События – день дождливый и день ясный – противоположные, поэтому искомая вероятность .

При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно вычислить вероятность события , а затем найти искомую вероятность по формуле: .

Пример. В ящике имеется 10 деталей, из которых 4 стандартных. Найти вероятность того, что среди 3 наудачу извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная.

События – среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная, и среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной – противоположные. Обозначим первое событие через А, а второе – через. .

Найдем . Общее число способов, которыми можно извлечь k деталей из п деталей, равно . Число нестандартных деталей равно ; из этого числа деталей можно способами извлечь k нестандартных деталей. Поэтому вероятность того, что среди извлеченных k деталей нет ни одной стандартной, равна . Искомая вероятность .

Принцип практической невозможности маловероятных событий

При решении практических задач приходится иметь дело с событиями, вероятность которых весьма мала, т. е. близка к нулю. Однако, считать, что маловероятное событие А в единичном испытании не произойдет, нельзя, так как не исключено, хотя и мало вероятно, сто событие А наступит.

Появление или непоявление маловероятного события в единичном испытании предсказать невозможно. Длительный опыт показывает, что маловероятное событие в единичном испытании в подавляющем большинстве случаев не наступает.

Принцип практической невозможности маловероятных событий: если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит.

Достаточно малую вероятность, при которой (в данной определенной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно применяют уровни значимости, заключенные между 0,01 и 0,05. Уровень значимости, равный 0,01, называют однопроцентным, уровень значимости, равный 0,02, называют двухпроцентным, и т. д.

Если случайное событие имеет вероятность, очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит.

Теорема умножения вероятностей

Произведением двух событий А и В называют событие , состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Пример. Если А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то – годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Пример. Если А, В, С – появление герба соответственно в первом, втором и третьем бросании монеты, то – выпадение герба во всех трех испытаниях.

Условная вероятность

Случайное событие – событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.

Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А.

Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна =, где .

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: .

Доказательство. По определению условной вероятности, .

Отсюда . (*)

Замечание. Применив формулу (*) к событию ВА, получим , или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ, . (**)

Сравнивая формулы (*) и (**), заключаем о справедливости равенства

(***)

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

,

где т – вероятность события , вычисленная в предположении, что события наступили. В частности, для трех событий .

Порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.

Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

.

Подставим это соотношение в равенство , получим .

Отсюда следует, что , т. е. условная вероятность события А в предположении, что наступило событие В, равно его безусловной вероятности. Др. словами, событие А не зависит от события В.

Таким образом, если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В. Это означает, что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения вероятностей имеет вид , т. е. если события А и В независимы, то вероятность одновременного их наступления равна произведению их вероятностей.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий, в противном случае события называют зависимыми.

Пример. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) – 0,7.

События А и В независимые, поэтому по теореме умножения, искомая вероятность

.

Если события А и В независимы, то независимы также события А и , и В, и .

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. например, события А, В и С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий: .

Независимость событий в совокупности влечет за собой попарную независимость этих событий.

Если события независимы в совокупности, то и противоположные им события также независимы в совокупности.

Пример. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Вероятность появления герба первой монеты (событие А) . Вероятность появления герба второй монеты (событие B) . События А и В независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна .

Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться п событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них, причем вероятности появления каждого их них известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий : .

Док-во. Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий . События А и (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице: .

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим , или .

Частный случай. Если события имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий .

Пример. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Обозначим через А событие – при п выстрелах стрелок попадет в цель хотя бы один раз. События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д. , независимы в совокупности, поэтому применима формула . По условию, , , значит, , получим , отсюда .

Прологарифмируем это неравенство по основанию 10: ; .

Учитывая, что , имеем .

Получили , , т. е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

Следствия теорем сложения и умножения.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример. А – появление четырех очков при бросании игральной кости; В – появление четного числа очков. События А и В – совместные.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Док-во: По условию, события А и В – совместны, то событие наступит, если наступит одно из трех несовместных событий: , или . По теореме сложения вероятностей несовместных событий: .

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий или . По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем: . Отсюда . Аналогично имеем . Отсюда .

Подставив эти равенства в равенство , получим

.

При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.

Для независимых событий ,

для зависимых событий .

Если события А и В несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и .

Выведенная формула для несовместных событий принимает вид .

Получили теорему сложения для несовместных событий. Таким образом, формула справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.

Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

. Формула полной вероятности.

Док-во: По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий: . Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим .

Вычисляем каждое из слагаемых по теореме умножения вероятностей зависимых событий

, , …, .

Подставим правые части этих равенств в первое соотношение, получим формулу полной вероятности .

Пример. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

Событие А – извлеченная деталь стандартна. Деталь может быть извлечена из первого набора (событие ), либо из второго (событие ).

Вероятность того, что деталь извлечена из первого набора .

Вероятность того, что деталь извлечена из второго набора .

Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, . Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь, . Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности равна .

Вероятность гипотез. Формулы Бейеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности: .

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Определим, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, надо найти условные вероятности .

Найдем сначала условную вероятность . По теореме умножения имеем . Отсюда . Заменив по формуле полной вероятности, получим . Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы может быть вычислена по формуле

. Полученные формулы называют формулами Бейеса (по имени английского математика, который их вывел, опубликованы в 1794 г.) Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона

На практике часто встречаются ситуации, в которых многократно повторяются испытания, связанные с появлением интересующего нас случайного события. Например, многократное подбрасывание монеты или игральной кости, физические измерения и т. д.

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Какова вероятность того, что при п независимых испытаниях интересующее нас событие А произойдет ровно k раз и, следовательно, не произойдет п - k раз.

Пусть , , искомая вероятность (символ означает вероятность того, что в п испытаниях событие появится ровно k раз и не наступит п – k раз).

Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А одинакова и равна р, событие А наступит k раз, вычисляется по формуле Бернулли:

или .

Пример. В семье пятеро детей. Найти вероятность того, что среди этих детей два мальчика, если вероятности рождения мальчиков и девочек считать одинаковыми.

По условию вероятность рождения мальчика , тогда . По формуле Бернулли найдем искомую вероятность:

.

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна . Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна . Искомая вероятность по формуле Бернулли равна .

Если число испытаний п велико, а вероятность р появления события в каждом испытании мала , то пользуются приближенной формулой Пуассона (формула редких событий):

, где , , .

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна . Найти вероятность того, что на базу прибудет три негодных изделия.

По условию , , . Найдем . Искомую вероятность вычислим по формуле Пуассона .

Пример. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение 1 мин абонент позвонит на коммутатор, равна . Какое из двух событий вероятнее: в течение 1 мин позвонят 3 абонента; позвонят 4 абонента?

Найдем . Искомую вероятность вычислим по формуле Пуассона .

.

Литература:

1.  Гмурман вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. М. Высшая школа. Изд 7-е, 2001.

2.  Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов. 4-е издание. М. Высшая школа

3.  Локоть для нематематиков. Учебное пособие для студентов-гуманитариев. Мурманск, 1997.

4.  , Куркина математика: учеб. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.

5.  Турецкий и информатика. Екатеринбург, 1999.

Лекция 15. Случайные величины.

План.

Дискретные случайные величины. Математическое ожидание и дисперсия. Законы распределений вероятностей непрерывной случайной величины. Выборочный метод. Генеральная и выборочная совокупности. Статистические оценки параметров распределения.

Основные понятия:

Свойства вероятностей. Элементы комбинаторики.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.

Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.