Математика (стр. 8 )

Интегральная сумма. Пусть функция определена на отрезке и на этом отрезке произвольно выбраны точки , так что – выбрано разбиение этого отрезка на п частей. В каждом интервале произвольным образом выбрана точка , . Сумма вида , где , называется интегральной суммой функции на отрезке . Интегральное исчисление – раздел математики, в котором исследуют функции на основании связи между первообразной искомой функции и интегралом от неё, изучаются интегралы различного вида, их свойства, способы вычисления, а также приложения этих интегралов к различным задачам естествознания и человеческой деятельности. Интегрирование – вычисление определённых и неопределённых интегралов, а также иных видов интегралов – кратных, криволинейных и т. п. Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования (т. е. операции, заключающейся в нахождении производной от данной функции). У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл. Интегрируемая функция. Если функция непрерывна на отрезке , то предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка и от выбора точек (теорема существования определенного интеграла). Функция в этом случае называется интегрируемой на отрезке . Если функция ограничена на отрезке и непрерывна в нем, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке. Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная графиком функции , неотрицательной и непрерывной на отрезке , отрезком оси абсцисс и перпендикулярами, проведёнными к оси Ox в точках a и b, т. е. прямыми и . Метод ин­тегрирования по частям (метод стрелок). Пусть производные функций и существуют и непрерывны на заданном интервале. Тогда имеет место равенство . Метод непосредственного ин­тегрирования. Метод ин­тегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным ин­тегрированием. Метод подстановки (замена переменной). Пусть требуется вычислить интеграл , при этом функции и непрерывны на заданном интервале. Тогда этот интеграл можно упростить с помощью подстановки , используя равенство . Неопре­деленный интеграл. Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от функции . Обозначается: . Если – какая-нибудь первообразная для функции , то . Знак называется интегралом, функция – подынтегральной функцией, а – подынтегральным выражением. Определенный интеграл. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при условии, что длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю: . Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования, отрезок – областью (отрезком) интегрирования. Первообразная. Пусть функция определена на некотором (конечном или бесконечном) интервале . Тогда функция называется первообразной для функции на интервале , если для всех . Если – первообразная для функции , то функция , где С – некоторая постоянная, также первообразная для функции . Если и – две первообразные для функции , то они отличаются на некоторую постоянную, т. е. существует такое число , что . Если функция непрерывна на данном интервале, то у нее существует первообразная на этом интервале. Формула Ньютона-Лейбница. .

Дифференциальные уравнения.

Дифференциальное уравнение – уравнение, содержащее искомую функцию одного переменного, её производные различных порядков и независимую переменную. Порядок уравнения определяется старшим порядком производной функции, входящей в это уравнение. Задача Коши – дифференциальное уравнение вместе с начальными условиями; задача состоит в отыскании решения (интеграла), удовлетворяющего начальным условиям. Линейное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде , где и – заданные функции, в частности – постоянные. Начальные условия для дифференциального уравнения – дополнительные условия, налагаемые на решение уравнения, отнесённые к одному и тому же значению аргумента. Условие, что при функция должна быть равна заданному числу , т. е. называется начальным условием. или . Неоднородное линейное дифференциальное уравнение – уравнение, у которого отличен от нуля свободный член (не содержащий искомую функцию или её производные). Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям: 1) функция является решением ДУ при каждом фиксированном значении с, 2) каково бы ни было начальное условие , можно найти такое значение постоянной , что функция удовлетворяет данному начальному условию. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) называют ДУ, если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, в противном случае – ДУ в частных производных. Однородная функция п-го порядка. Функция называется однородной функцией п-го порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель вся функция умножится на , т. е. . Однородное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка. Порядок дифференциального уравнения – наивысший из порядков производных, входящих в уравнение. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Уравнение Бернулли. Уравнение вида , где называется уравнением Бернулли. Частная производная – понятие дифференциального исчисления, характеризующее локальную скорость изменения функции нескольких переменных при изменении лишь одного аргумента. Находится частная производная по рассматриваемому аргументу по обычным правилам в предположении, что остальные аргументы фиксированы, выступают в роли констант. Частное решение обыкновенного дифференциального уравнения – решение, полученное из общего решения уравнения (общего интеграла) при некотором наборе входящих в него постоянных (обычно определяются начальными условиями).

Ряды.

Знакопеременный ряд – числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов. Знакочередующийся ряд – ряд вида , где для всех , т. е. ряд, члены которого строго попеременно положительны и отрицательны. Интервал сходимости степенного ряда – интервал , во всех внутренних точках которого ряд сходится (абсолютно), в точках вне интервала расходится, а в концевых точках ряд может сходиться или расходиться. Если , то интервал сходимости . Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т. е. – это такое число, что при всех х, для которых , ряд абсолютно сходится, а при ряд расходится.. Расходящиеся ряды. Если не существует или , ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет. Ряд Маклорена: – разложение функции по степеням х. Ряд Тейлора: – разложение функции по степеням . Степенной ряд – ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т. е. ряд . Числа называют коэффициентами ряда, – действительная переменная. Сходящиеся ряды. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда , то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится. записывают: . Функциональный ряд – ряд, членами которого являются функции от х, т. е. ряд вида . Частичная сумма ряда – сумма первых п членов ряда ,обозначается , т. е. . Числовой ряд – выражение вида , где – действительные числа, называемые членами ряда, – общим членом ряда.

Элементы теории вероятностей и статистики.

Вариационный ряд – расположенная в порядке неубывания последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин. Вероятность – количественная характеристика степени объективной возможности появления некоторого (случайного) события в тех или иных определённых, могущих повторяться неограниченное число раз, условиях. Для некоторого события А вероятность его лежит в пределах: 0 ≤ P(A) ≤1. Если P(A) = 0 , то это значит, что событие А не наступит ни при каких условиях, т. е. оно является невозможным. Вероятность достоверного события, т. е. которое наступит обязательно, равна 1. Выборка (выборочная совокупность) – понятие математической статистики, объединяющее результаты каких-либо однородных наблюдений; в широком смысле это конечная совокупность результатов наблюдений, представляющих собой независимые одинаково распределённые случайные величины. Гаусса распределение – нормальное распределение случайной величины. Генеральная совокупность – множество всех статистических единиц, из которого производится отбор некоторой его части – выборки. Объём генеральной совокупности – число её элементов, предполагается большим или даже бесконечным. Гистограмма – графическое представление эмпирического распределения в виде столбчатой диаграммы, основанное на геометрическом изображении количества измерений (наблюдений) исследуемой величины в границах отрезков одинаковой или различной протяженности. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: . Достоверное событие – событие, которое в результате опыта (наблюдения) непременно должно произойти; вероятность достоверного события равна единице. Испытание – термин классической теории вероятностей, при аксиоматическом подходе определяемый как любое разбиение пространства элементарных событий на попарно несовместимые случайные события, которые называются исходами испытания. Термин часто употребляется в сочетаниях "независимые испытания", "повторные испытания", "схема испытаний" и т. п. Комбинаторика – раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами (условиями). Каждое такое правило определяет комбинаторную конфигурацию или конструкцию из элементов исходного множества. Примерами комбинаторных конфигураций являются перестановки, размещения и сочетания. Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы систематизации и использования статистических данных; во многом опирается на теорию вероятностей. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. . Медиана – одна из числовых характеристик распределения вероятностей непрерывной случайной величины X, численно равная тому значению случайной величины , что вероятности принять значение меньше m и больше m совпадают. Мода – одна из числовых характеристик распределения вероятностей случайной величины (как правило, равна наиболее вероятному значению случайной величины). При симметричном одномодальном распределении случайной величины мода совпадает с медианой и математическим ожиданием. Невозможное событие – событие, которое в данном опыте не произойдет (вероятность его равна нулю). Независимым от события А называют событие В, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: . Непрерывная случайная величина – случайная величина X, (интегральная) функция распределения F(x) которой непрерывна. Несмещённая оценка – статистическая оценка параметра распределения вероятностей по результатам наблюдений, лишенная систематической ошибки. Несовместные события – события A и B, которые не могут произойти одновременно (их произведение AB=∅). Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: . Перестановками из n элементов называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число перестановок из n элементов обозначают символом . Число всех возможных перестановок , где . Произведением двух событий А и В называют событие , состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Пространство элементарных событий – множество всех взаимно исключающих исходов случайного эксперимента. Элементы этого множества называют элементарными событиями. Пространство называют дискретным, если число его элементов (элементарных событий) конечно или счётно. Противоположные события – события A и называются противоположными, если они образуют полную группу событий и в единичном опыте появление одного из них исключает появление другого. Размах выборки – разность между наибольшим и наименьшим значениями результатов наблюдений. Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по элементов, которые различаются либо составом элементов, либо их порядком. Число размещений из n элементов по обозначают . Число всех возможных размещений. Распределение – одно из основных понятий теории вероятностей. Распределение вероятностей случайной величины X , возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность, задаётся указанием совокупности этих значений и соответствующих им вероятностей . Распределение Пуассона является предельным для биномиального. Случайная величина X имеет пуассоновское распределение, если она принимает только целые неотрицательные значения. Случайная величина – некоторая переменная величина, принимающая в зависимости от случая (в разных независимых опытах) те или иные значения с определёнными вероятностями. Случайное событие – событие, которое при осуществлении определенной совокупности условий может либо произойти, либо не произойти. случайные события. Случайный процесс – временной процесс изменения состояния какой-либо системы, происходящий в соответствии с вероятностными закономерностями. Характеристики процесса в любой момент времени Случайный эксперимент – наблюдение или опыт, исход которого не вполне однозначно определяется его условиями. Случайный элемент – обобщение понятия случайной величины, когда исходы опыта могут быть описаны не только числом или совокупностью чисел, но и представляют собой кривые, ряды, функции и т. п. Событие – любой факт, регистрируемый в результате случайного эксперимента. Событием называется всякое явление, относительно которого имеет смысл говорить, произошло оно или не произошло. Др. словами, событием называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Совместными называются два события, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний из n элементов по обозначают . Число сочетаний . Суммой двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений (случайных событий, случайных величин и т. д.). Характеристика в теории вероятностей – числовой параметр, характеризующий существенные черты распределения случайной величины (математическое ожидание, асимметрия распределения и т. д.) Частота случайного события – отношение числа появления события в опытах к общему числу проведённых опытов. Элементарные события – совокупность взаимно исключающих друг друга исходов случайного эксперимента.

РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач (практических ситуаций) по темам лекций (одна из составляющих частей итоговой государственной аттестации).

Линейная алгебра.

Решить систему линейных уравнений тремя способами (методом Крамера, методом Гаусса, методом обратной матрицы):

1 способ. Формулы Крамера. Находим определить матрицы системы:

Так как , то решение системы существует и единственно. Находим дополнительные определители:

Решение системы уравнений: , , .

Ответ: .

2 способ. С помощью обратной матрицы. . Находим матрицу , обратную к матрице системы

. Для этого найдем и алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы :

, ,

, ,

, ,

, ,

. Запишем матрицу .

Найдем матрицу : .

Найдем решение системы уравнений:

Ответ: .

3 способ. Метод Гаусса.

.

Ответ: .

2. Вычислить определитель:

3. Определите значение , при котором система имеет единственное решение.

4. Решить уравнение:

Аналитическая геометрия.

Найти расстояние между точками и . Найти радиус окружности, заданной уравнением . Найти центр сферы, заданной уравнением . Найти угловой коэффициент прямой .

Задачи для самостоятельного решения при подготовке к итоговой аттестации

1.

2.  Даны матрицы и . Найти.

Дифференциальное исчисление.

1. Вычислить пределы числовых последовательностей.

2. Вычислить пределы числовых последовательностей.