Учебная программа дисциплина «Математический анализ» для специальности «Информатика» с дополнительной специальностью «Математика» (стр. 3 )

№ п/п	Темы лекций	Часы
1	Понятие множества. Операции над множествами. Понятие соответствия. Функциональные соответствия. Примеры соответствий и функций.	2
2	Аксиоматика множества R	2
3	Некоторые важнейшие следствия из аксиом множества R. (Свойства числовых неравенств и т. д.)	2
4	Индуктивные множества. Определение множества N натуральных чисел. Метод математической индукции. Свойства натуральных чисел.	2
5	Бином Ньютона. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. Неравенство Бернулли.
6	Верхние, нижние границы множества. Ограниченные, неограниченные множества. Теорема о существовании верхней (нижней) грани множества. Характеристическое свойство верхней (нижней) грани множества.	2
7	Эквивалентность аксиомы непрерывности и теоремы о верхней грани множества. Множество Z целых чисел. Неограниченность множеств N и Z. Основные свойства целых чисел. Определение НОД (m, n), НОК (m, n).	2 с/р
8	Принцип Архимеда. Свойство плоскости Q в R. Существование иррациональных чисел. Взаимнооднозначное соответствие между числовой прямой и множеством R вещественных чисел. Определение промежутков в R.
9	Возрастающие, убывающие функции. Четные, нечетные функции. Четные, нечетные продолжения функций. Строгое возрастание последовательности Хn = (1+1/n)n, строгое убывание последовательности yn = (1+1/ n)n+1 .	2
10	Периодические функции. Понятие образа, прообраза множества. Ограниченные, неограниченные функции. Базовые примеры.
11	Классификация отображений. Определение обратной функции. Теорема о существовании обратной функции. Решение задач на нахождение обратных функций.	2
12	Счетные множества. Счетность множеств Z, Q, N х N, Q х Q. Теорема о счетности счетного объединения счетных множеств.
13	Теорема о несчетности отрезка. Примеры счетных и нечетных множеств. Понятие мощности множества. Теорема о том, что добавление к бесконечному множеству конечного или счетного множества не меняет его мощности.	2 с/р
14	Определение предела числовой последовательности. Теорема о пределе возрастающей (убывающей), ограниченной сверху (снизу) последовательности. Лемма Кантора о стягивающихся отрезках. Число е	2
15	Расширенное множество вещественных чисел. Понятие окрестности точки из . Отделимость множеств R (). Понятие предельной точки множества. Теорема о характеризации предельных точек множества в R. Определение предела функции на языке окрестностей.	2
16	Фундаментальные системы окрестностей точек из . Теорема об эквивалентном определинии предела функции в терминах фундаментальных систем окрестностей.
17	Различные частные случаи определения предела функции. Определение предела числовой последовательности как частный случай определения предела функции. Критерий Коши сходимости последовательности.	2
18	Базовые примеры доказательства существования предела функции по определению, предела числовой последовательности.
19	Теорема об единственности предела функции, числовой последовательности. Теорема о локальном характере предела функции, числовой последовательности.
20	Теорема об алгебраических свойствах предела функции. Примеры.	2
21	Теорема об алгебраических свойствах предела числовой последовательности. Примеры.
22	Теорема о предельном переходе в неравенствах. Теорема о пределе сжатого отображения. Примеры.	2
23	Теорема о связи между пределом последовательности и пределом любой ее подпоследовательности. Понятие нижнего, верхнего предела последовательности. Теорема о связи между пределом функции и пределом последовательности.
24	Бесконечно большие и бесконечно малые функции и связь между ними. Свойства бесконечно малых функций в точке а. Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную. О – символика.	2
25	Первый замечательный предел. Определение непрерывной функции. Теорема об алгебраических свойствах непрерывных функций. Непрерывность функций Sin X, Cos X, Tg Х.
26	Теорема о существовании и единственности корня n-ой степени из положительного числа. Свойства корней. Теорема Вейерштрасса.	2
27	Свойства функций, непрерывных на отрезке.
28	Односторонние пределы. Классификация точек разрыва. Исследование функций на непрерывность. Теорема о связи между существованием предела функции в точке и существовании односторонних пределов функции в этой же точке.	2
29	Теорема о пределе сложной функции. Теорема о непрерывности сложной функции. Второй замечательный предел.
30	Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.
31	Схема определения показательной функции. Вывод основных свойств показательной функции. График.	2
32	Логарифмическая функция и ее основные свойства. Общая степенная функция.
33	Определение и основные свойства тригонометрических функций.	2
34	Обратные тригонометрические функции.
35	Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.	2
36	Непрерывность элементарных функций в любой точке их области определения.

1 семестр

№ п/п	Темы практических занятий	Практические занятия	с/р
1	Понятие множества. Способы задания множеств. Операции над множествами. Булеан множества. Декартово произведение множеств.	2	4
2	Отношения и соответствия. Область определения и область значения соответствия. Функциональные соответствия, понятие функции. Графики функций.	2	4
3	Метод выделения полного квадрата. Формула для нахождения корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Абсолютная величина числа. Правило освобождения выражений от знаков абсолютной величены, решение уравнений и неравенств, содержащих выражения под знаком абсолютной величены.	2	2
4	Определение множества N натуральных чисел. Принцип математической индукции. Метод математической индукции. Доказательство утверждений методом математической индукции.	2	2
5	Основная теорема арифметики. Определение делимости чисел, алгоритм Евклида. Определение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Рациональные числа. Обращение рационального числа в бесконечную десятичную дробь и обратно. Действия со степенями.	2	2
6	Текстовые задачи на нахождение функциональных зависимостей. Область определения функции. Образы и прообразы множеств. Композиция функций. Графики.	2	2
7	Четные, нечетные функции. Четное, нечетное продолжение функций. Периодические функции.	2	2
8	Монотонные функции. Ограниченные, неограниченные функции. Внутренность, замыкание множества. Обратные функции.	4	2
9	Понятие последовательности, числовой последовательности. Свойства числовых последовательностей. Понятие предела числовой последовательности. Доказательство существования предела последовательности на основе определения предела. Последовательности, заданные рекуррентно.	2	4
10	Техника вычисления пределов последовательностей. Использование пределов =1, =1,с>0	2	4
11	Понятие нижнего, верхнего предела последовательности. Нахождение предельных точек последовательностей.	2	4
12	Понятие окрестности, системы окрестностей. Фундаментальные системы окрестностей. Определение предела функции. Нахождение пределов функций по определению. Отрицание определения предела функции в точке.	2	2
13	Контрольная работа по темам: «Множества. Функции. Предел функций».	2
14	Техника вычисления пределов функций. Вычисление пределов рациональных функций.	2	4
15	Техника вычисления пределов функций. Вычисление пределов иррациональных функций. Формулы сокращенного умножения.	2	4
16	Техника вычисления пределов функций. Вычисление пределов функций с помощью первого замечательного предела.	2	4
17	Техника вычисления пределов функций. Второй замечательный предел.	2	4
18	0 – символика. Определение символов 0-малое, 0-большое. Свойства символов 0-малое, 0-большое, нахождение главных частей функции, числовых последовательностей.	2	4
19	Непрерывные функции. Доказательство непрерывности по определению. Отрицание определения непрерывности функции в точке.	2	4
20	Односторонние пределы. Исследование функций на непрерывность.	2	4
21	Равномерно непрерывные функции и их свойства. Исследование функций на равномерную непрерывность.	2	2
22	Бесконечно большие, бесконечно малые функции. Связь между ними. Определениеf (x)=B, f (x)=. Примеры.	2	2
23	Контрольная работа № 2 по темам: «Техника вычисления пределов функций». «Непрерывные функции».	2
24	Решение показательных уравнений и неравенств.	2	4
25	Решение логарифмических уравнений и неравенств.	2	4
26	Решение тригонометрических уравнений и неравенств.	2	4

Замечания.