Учебная программа дисциплина «Математический анализ» для специальности «Информатика» с дополнительной специальностью «Математика» (стр. 6 )

№ п/п	Темы практических занятий	Практика	с/р
1	Вычисление площадей плоских фигур.	2	2
2	Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.		2
3	Длина дуги кривой. Вычисление длины кривой.	2	2
4	Объем тела вращения. Площадь поверхности вращения.
5	Физические и механические приложения определенного интеграла (центр тяжести, моменты инерции и т. д.).	2	6
6	Исследование несобственных интегралов на сходимость.	4	6
7	Определение сходимости числового ряда. Понятие суммы ряда. Алгебраические операции для сходящихся числовых рядов. Вычисление сумм рядов по определению. Геометрическая прогрессия. Необходимые условия сходимости ряда.	2	2
8	Исследования рядов с неотрицательными членами на сходимость с помощью признака сравнения либо в форме неравенств, либо в предельной форме.		2
9	Интегральный признак сходимости ряда. Обобщенный гармонический ряд. Исследование рядов на сходимость с помощью признака сравнения с обобщенным гармоническим рядом.		2
10	Исследования радов на сходимость с помощью признаков Коши и Даламбера.	2	2
11	Исследования рядов на сходимость с помощью признаков Раабе и Гаусса.		2
12	Знакочередующееся ряд. Оценка остатка знакочередующегося ряда. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.	2	2
13	Исследование рядов на сходимость с помощью признаков Дирихле и Абеля.	2	2
14	Контрольная работа по темам «Определенный интеграл», «Числовые ряды».	2
15	Исследование рядов на сходимость с помощью формулы Тейлора.		2
16	Функциональные ряды. Исследование функциональных рядов на сходимость.	2	2
17	Равномерная сходимость функциональных последовательностей и функциональных рядов.		2
18	Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Исследование функциональных рядов на равномерную сходимость.	2	2
19	Степенные ряды. Равномерная сходимость и интегрируемость. Равномерная сходимость и дифференцируемость.	2	2
20	Ряд Тейлора функция f (x). Разложение функции в ряд Тейлора.	2	4
21	Нахождение сумм степенных рядов в явном виде с помощью почленного интегрирования или почленного дифференцирования степенного ряда.	2	2
22	Приближенные вычисления с помощью рядов.		2
23	Ряд Фурье функции f (x).Разложение функции в ряд Фурье.	2	4
24	Понятие метрического пространства. Примеры метрик и метрических пространств.	2	2
25	Различные метрики на множестве Rn.		2
26	Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах. Замыкание множества. Внутренность, внешность множества. Границы множества.	2	2
27	Компактные множества в метрических пространствах.		2
28	Связные множества в метрических пространствах.		2
29	Понятие функции нескольких переменных. Линии и поверхности уровня.	2	2
30	Предел и непрерывность функции нескольких переменных.		2
31	Дифференцируемость функции нескольких переменных. Понятие дифференциала. Нахождение дифференциала функции по определению.	2	2
32	Понятие частной производной. Частные производные первого и высших порядков.	2	2
33	Правило вычисления частных производных.	2	2
34	Формула Тейлора для функции нескольких переменных.		2
35	Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных. Исследования функций на экстремум.	2	2
36	Текстовые задачи на экстремум.		2
37	Контрольная работа по темам: «Математические структуры анализа», «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», «Функциональные ряды».	2
38	Неявные функции определяемые системой уравнений.	2	2
39	Вычисление частных производных неявной функции.		2
40	Касательная плоскость и нормаль к поверхности.	2	2

Замечания:

1.Выдается индивидуальная работа по теме «Определенный интеграл и его приложения».

2.Выдается индивидуальная работа по темам:

«Числовые ряды», «Функциональные ряды».

3 семестр.

Знания, умения, навыки.

1. Знать определение числового ряда, определение сходимости ряда и суммы ряда.

2. Знать алгебраические операции над сходящимися числовыми рядами.

3. Знать критерий Коши сходимости числового ряда, необходимые условия сходимости.

4. Знать, что гармонический ряд расходится и уметь это доказывать.

5. Знать условия сходимости обобщенного гармонического ряда

6. Знать необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.

7. Знать признаки сравнения рядов с неотрицательными членами как в форме неравенств, так и в предельной форме и уметь применять их к исследованию рядов на сходимость.

8. Знать формулу суммирования по частям.

9. Знать признаки Коши и Даламбера, признаки Дирихле и Абеля, интегральный признак сходимости рядов и уметь их применять при решении задач.

10. Знать определение условной, абсолютной и безусловной сходимости ряда и связь между этими типами сходимости.

11. Знать определение знакочередующегося ряда, оценку остатка знакочередующегося ряда, признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

12. Знать формулировку теоремы Римана об условно сходящихся рядах.

13. Знать определение функционального ряда, области сходимости функционального

ряда.

14. Уметь исследовать функциональные ряды на сходимость.

15. Знать определение равномерной сходимости последовательности функций,

функционального ряда.

16. Знать критерий Коши равномерной сходимости, признак Вейерштрасса

равномерной сходимости ряда.

17. Уметь исследовать ряды на равномерную сходимость с помощью признака

Вейерштрасса.

18. Знать основную теорему о перестановке предельных переходов.

19. Знать связь между равномерной сходимостью, интегрируемостью и

дифференцируемостью предельной функции (функционального ряд).

20. Знать определение степенного ряда, теорему о существовании радиуса

сходимости степенного ряда, теорему единственности для степенных рядов.

21. Знать достаточные условия разложения функции в ряд Тейлора, разложение в ряд Тейлора функций ,sinx, cosx, ln (1+x),

22. Знать понятие тригонометрической системы функций, определение ряда Фурье.

23. Знать необходимые и достаточные условия представления функции рядом Фурье.

24. Уметь раскладывать функции в ряд Фурье.

Должны знать:

-  определение метрического пространства, предела и непрерывности отображений метрических пространств;

-  определение полного метрического пространства, теорему Банаха о неподвижной точке;

-  определение компактного метрического пространства, основные свойства

-  компактных метрических пространств;

-  теорему о характеризации компактных множеств в Rn;

-  примеры различных метрик в Rn;

-  определение связного множества в метрическом пространстве; теорему об образе связного множества при непрерывном отображении характеристику связных множеств на прямой; характеристику открытых множеств на прямой;

-  определение векторного, нормированного, банахова, гильбертова пространства; теорему о характеризации линейных функционалов из Rn в R;

-  определение скалярного произведения;

-  неравенства Гельдера, Минковского, Коши – Буняковского;

-  связь между компактностью и полнотой метрического пространства;

-  определение открытого, замкнутого множества в метрическом пространстве; свойства открытых, замкнутых множеств;