Учебная программа дисциплина «Математический анализ» для специальности «Информатика» с дополнительной специальностью «Математика» (стр. 4 )

Выдается индивидуальная работа по темам:

«Предел функций и числовых последовательностей», «Непрерывные функции и их свойства».

1 семестр.

Знания, умения, навыки.

Элементы теории множеств.

1.  Знать определение включения и равенства множеств.

2.  Уметь задавать множества различными способами.

3.  Знать определение операций над множествами и свойства этих операций.

4.  Составлять список элементов множества, заданного характеристическими свойствами.

5.  Выяснять, принадлежит ли данный элемент указанному множеству или не принадлежит.

6.  Знать выражение теоретико – множественных операций через комбинации других теоретико – множественных операций.

7.  Находить объединения, пересечения, дополнения и разности конкретных множеств на числовой прямой и на плоскости.

8.  Изображать на координатной плоскости прямые произведения данных подмножеств множества R.

9.  Доказывать логические следования, содержащие высказывания о включении или равенстве множеств.

10.  Доказывать включение или равенство абстрактных множеств и иллюстрировать равенства диаграммами Эйлера – Венна.

Бинарные соответствия.

Функциональные соответствия. Графики функций.

1. Знать определение бинарного соответствия. Уметь составлять матрицу бинарного отношения R1 А х А.

2. Знать определение функционального соответствия, графика функции.

3. Находить область определения и область значений бинарных соответствий.

4. Строить первые и вторые проекции и всевозможные сечения бинарных отношений.

5. Выяснять функциональность бинарных соответствий (отношений).

6. Находить область определения и множество значений функций.

7. Находить образы и прообразы множеств при отображении f.

8. Уметь находить область определения композиции функций.

9. Знать определение обратного отображения и находить отображения, обратные к заданным.

10.  Знать определение функции, заданной параметрические, и функции, заданной неявно.

11.  Уметь доказывать равенство двух функций, заданных явно.

12.  Знать определение четной, нечетной функции. Уметь строить четные, нечетные продолжения функций.

13.  Знать определение периодической функции и уметь исследовать функции на периодичность.

14.  Знать определение монотонной функции и уметь исследовать функции на монотонность.

15.  Уметь исследовать функции на ограниченность, неограниченность.

Множество R вещественных чисел.

1.  Уметь исследовать множества из R на ограниченность, неограниченность.

2.  Знать определение верхней (нижней) грани множества. Уметь использовать характеристические свойства верхней (нижней) грани множества для нахождения граней множества.

3.  Знать определение предельной точки множества. Уметь находить предельные точки множества для достаточно простых множеств.

Метод математической индукции. Бином Ньютона.

1.  Знать формулировку метода математической индукции и этапы доказательства методом математической индукции.

2.  Доказывать простейшие равенства и неравенства, содержащие выражения от n.

3.  Знать общую формулу бинома Ньютона и уметь записывать формулу бинома Ньютона для конкретных значений n.

4.  Вычислять биноминальные коэффициенты Сkn для конкретных значений n и k.

5.  Знать формулу включений и исключений.

6.  Решать простейшие уравнения и неравенства, содержащие биноминальные коэффициенты.

7.  Решать рациональные уравнения и неравенства (системы рациональных уравнений и неравенств).

8.  Решать иррациональные уравнения (неравенства).

9.  Решать уравнения (неравенства), содержащие выражения под знаком абсолютной величены.

10.  Строить графики линейной и квадратичной функций; графики функций, аналитический вид которых содержит выражения под знаком абсолютной величены.

11.  Уметь находить внутренности, замыкание и границу множеств из R.

12.  Доказывать счетность множеств N x N, Z, Q.

Числовые последовательности.

Основные свойства числовых последовательностей.

1.  Знать различные способы задания числовых последовательностей.

2.  Доказывать убывание, возрастание последовательностей.

3.  Исследовать последовательности на ограниченность, неограниченность.

Предел числовой последовательности.

1. Знать определение предела числовой последовательности на языке окрестностей и на «» языке.

2. Знать определение частичных пределов последовательности, верхнего и нижнего пределов.

3.Уметь строить последовательности с заданным множеством частичных пределов.

4.  Уметь доказывать по определению, что данное число а является пределом числовой последовательности.

5.  Уметь доказывать, что заданное число а не является пределом данной последовательности.

6.  Уметь доказывать, что заданная последовательность не имеет предела.

7.  Уметь находить пределы последовательности, используя различные преобразования и алгебраические свойства предела последовательности.

8.  Уметь применять теорему Штольца для вычисления пределов последовательностей.

Предел функции.

1. Знать определение предела функции на языке окрестностей и на «» языке.

2. Уметь доказывать, используя определения, что заданное число является (не является) пределом указанной функции в соответствующей точке.

3.Уметь находить односторонние пределы функций.

4.  Иметь представление о технике вычисления пределов функций, для различных классов функций.

5.  Знать замечательные пределы и следствия замечательных пределов и уметь применять их для вычисления пределов функций.

0 – символика

1.  Знать определение символов о-малое, О-большое.

2.  Знать определение эквивалентных величин.

3.  Знать свойства символов о-малое, О-большое.

4.  Уметь находить главную часть функции (числовой последовательности).

5.  Используя свойства символов 0-малое, уметь выводить различные асимптотические соотношения.

6.  Вычислять пределы, используя основные асимптотические формулы.

Непрерывные функции.

1.  Знать определение непрерывности функции в точке.

2.  Знать определение точек разрыва и классификацию точек разрыва.

3.  Уметь исследовать на непрерывность композицию функций.

4.  Уметь обосновывать исследование функции на непрерывность.

5.  Используя свойства непрерывных функций, доказывать разрешимость уравнений вида f (x )=0, где f – непрерывная функция.

6.  Знать свойства непрерывных функций и уметь ими пользоваться при решении задач.

Равномерно непрерывные функции.

1.  Уметь исследовать функции на равномерную непрерывность.

2.  Оценивать модули непрерывности функций.

Элементарные функции.

1.  Знать определение и свойства показательной, логарифмической функции.

2.  Уметь строить графики показательной и логарифмической функции.

3.  Знать определение и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

4.  Уметь строить графики тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

5.  Уметь доказывать непрерывность элементарных функций в любой точке ее области определения.

6.  Уметь решать простейшие показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства.

7.  Знать и уметь доказывать основные тригонометрические тождества.

1 семестр.

Экзаменационные вопросы.

1.  Понятие множества. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна.

2.  Понятие соответствия. Функциональные соответствия. Примеры соответствий и функций.

3.  Аксиомы множества R: аксиомы сложения, аксиомы умножения, аксиомы порядка, аксиомы непрерывности.

4.  Некоторые важнейшие следствия из аксиом. Свойства числовых неравенств,

2) х2 > 0 для любого х R\ о,Х = (-Х) и т. д.

5.  Индуктивные множества. Определение множества N натуральных чисел.

6.  Принцип математической индукции. Метод математической индукции.

7.  Основные свойства натуральных чисел: 1) замкнутость множества натуральных чисел относительно операций сложения и умножения; 2) Между натуральными числами n и (n+1) нет других натуральных числе.

8.  Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов.

9.  Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

10.  Неравенство Бернулли.

11.  Определение верхних, нижних границ множества. Ограниченные, неограниченные множества. Примеры.

12.  Теорема о существовании верхней (нижней) грани множества.

13.  Характеристическое свойство верхней, нижней грани множества.

14.  Эквивалентность аксиомы непрерывности и теоремы о верхней грани множества.

15.  Определение множества Z целых чисел. Замкнутость множества Z относительно операций сложения и умножения. Неограниченность множеств N и Z.

16.  Определение множества Q рациональных чисел. Замкнутость множества Q относительно операций сложения и умножения. Существование иррациональных чисел. Доказать, что – иррациональное число.

17.  Принцип Архимеда.

18.  Свойство плотности Q в R.

19.  Определение целой части вещественного числа. График функции y = .

20.  Взаимнооднозначное соответствие между числовой прямой и множеством R вещественных чисел. Определение промежутков в R.

21.  Возрастающие, убывающие функции. Определение и примеры.

22.  Четные, нечетные функции. Определение и примеры. Четные, нечетные продолжения функций. Представление функции, определенной на R в виде суммы четной и нечетной функций.

23.  Периодические функции. Определение и примеры.

24.  Понятие образа, прообраза множества. Ограниченные, неограниченные функции.

25.  Классификация отображений. Определение обратной функции. Теорема о существовании обратной функции. Определение счетного множества. Счетность множеств N х N, Z, Q, Q х Q.

26.  Теорема о счетности счетного объединения счетных множеств.

27.  Теорема о выделении из любого бесконечного подмножества счетного множества.

28.  Теорема о несчетности отрезка.

29.  Понятие мощности множества. Теорема о том, что добавление к бесконечному множеству конечного или счетного множества не меняет его мощности.

30.  Расширенное множество вещественных чисел. Допустимые операции на.Отделимость множества R, отделимость множества .

31.  Понятие предельной точки множества. (+ )– единственная предельная точка множества N натуральных чисел в R. Примеры предельных точек множества.

32.  Теорема о характеризации предельных точек множества в R.

33.  Определение предела функции на языке окрестностей.

34.  Определение предела числовой последовательности как частный случай определения предела функции.

35.  Фундаментальные системы окрестностей точек из. Примеры фундаментальных систем окрестностей.

36.  Теорема об эквивалентном определении предела функции в терминах фундаментальных систем окрестностей.

37.  Определение предела функции на “ “ языке, как частный случай определения предела функции на языке окрестностей (всего 9 определений).

38.  Частные случаи определения предела числовой последовательности (3 случая).

39.  Теорема о пределе возрастающей (убывающей), ограниченной сверху (снизу) числовой последовательности. Существование предела последовательности Хn =

Определение числа е как предела последовательности Хn =

е = Иррациональность числа е.

40.  Теорема об единственности предела функции (числовой последовательности).

41.  Теорема о локальном характере предела функции (числовой последовательности).

42.  Теорема об алгебраических свойствах предела функции (теорема о пределе суммы, произведения и частного).

43.  Теорема об алгебраических свойствах предела последовательности (теорема о пределе суммы, произведения и частного).

44.  Теорема о предельном переходе в неравенствах для функции (для числовых последовательностей).

45.  Теорема о пределе сжатого отображения для функций (для числовых последовательностей).

46.Теорема о связи между пределом последовательности и пределом любой ее подпоследовательности. Следствие о несуществовании Хn

47.Понятие нижнего, верхнего предела последовательности. Хn – как наибольшая предельная точка последовательности, Хn – как наименьшая предельная точка последовательности. Связь между Хn, Xn, Xn.

48.Теорема о связи между пределом функции и пределом последовательности. Следствие о несуществованииf (x)

49.Бесконечно большие и бесконечно малые функции в точке а. Связь между ними. Свойства бесконечно малых функций.

50.Теорема о произведении бесконечно малых функции на ограниченную.

51.О – символика. Свойства символов о-малое, О-большое. Эквивалентные функции. Главная часть функции.

52.Первый замечательный предел.

53.Определение непрерывной функции. Непрерывность функций Sin x, Cos x, tg x, ctg x в любой точке области определения.

54.Теорема об алгебраических свойствах непрерывных функций (теорема о непрерывности суммы, произведения и частного).

55.Теорема о существовании и единственности корня n-ой степени из положительного числа. Свойства корня.

56.Теорема Вейерштрасса о существовании предельной точки у любого ограниченного множества в R.

57.Свойства функций непрерывных на отрезке:

-  теорема о сохранении знака непрерывной функцией;

-  теорема об ограниченности функции, непрерывной на отрезке;

-  теорема о достижении граней функцией, непрерывной на отрезке;

-  теорема об обращении непрерывной функции в О;

-  теорема о промежуточных значениях.

58.Обоснование метода интервалов.

59.Нахождение приближенного значения корня уравнения f (х) = 0 для непрерывной функции f.

60.Односторонние пределы. Теорема о связи между существованием предела функции в точке и существованием односторонних пределов функции в этой же точке.

61.Классификация точек разрыва. Исследование функции на непрерывность.

62.Теорема о пределе сложной функции.

63.Теорема о непрерывности сложной функции.

64Второй замечательный предел.

65.Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.

66.Непрерывность функции y = , х 0, n N.

67.Схема определения показательной функции: определение на множествах N, Z, Q, определение степени с иррациональным показателем. Непрерывность показательной функции в любой точке множества R.

68.Основные свойства и график показательной функции.

69. Основные свойства и график логарифмической функции.

70.Общая степенная функция.

71.Определение и основные свойства тригонометрических функций. Основные тригонометрические формулы.

72.Определение и основные свойства обратных тригонометрических функций.

73. =1; =1, с 0

74.=1

75. =1 ,

76. .

77.Если , то

78.Определение равномерно непрерывной функции. Основные свойства равномерных функций.

79.Теорема Кантора о равномерной непрерывности.

80. bn – an = (b-a) (bn-1 + bn-2 a + bn-3 a2 +…….an-1), n N.

81.(а1+а2+….. + an)2 = а12 + а22 = …..+ аn2 + 2а1 (а2+…..+аn) + 2а2 (а3+…. )+ ….+2 аn-1 аn.

82.Критерий Коши существования предела последовательности.

2 семестр

№ п/п	Темы лекций	Часы
1	Понятие производной. Таблица производных. Определение дифференцируемости функции в точке. Связь между определением дифференцируемости функции в точке и существовании производной в этой точке. Понятие дифференциала. Вычисление производных по определению.	2
2	Связь между дифференцируемостью функции в точке и непрерывностью функции в точке. Алгебраические свойства дифференцируемых функций. Примеры применения правил дифференцирования.	2
3	Правило дифференцирования сложной функции. Примеры на вычисление производных сложных функций.	2
4	Касательная и нормаль. Их уравнения. Угол между кривыми в точке их пересечения. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Примеры. Геометрический смысл производной.
5	Теорема о дифференцируемости обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Базовые примеры.	2
6	Производные высших порядков. Правило Лейбница вычисления производных n-го порядка от функций вида f (х) g(х) .
7	Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, теорема Дарбу).	2
8	Правило Лопиталя. Примеры.	2
9	Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя.
10	Формула Тейлора. Различные формулы остаточного члена в формуле Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеало, в форме Лагранжа, в форме Коши).	2
11	Пять основные разложений: разложение функций ,cos(x),sin (x), ln (1+x), по формуле Тейлора в окрестности точки х=0. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора.
12	Интервалы возрастания, убывания функции. Необходимые и достаточные условия экстремума функции в терминах первой, второй производных, производных высших порядков, нахождение наименьшего, наибольшего значения непрерывной функции на отрезке.	2
13	Текстовые задачи на экстремум.
14	Определение выпуклой ( вогнутой) функции. Необходимые и достаточные условия выпуклости (выгнутости) функции в терминах первой (второй) производных. Характеризация выпуклых (вогнутых) функций в терминах касательных к графику.	2
15	Точки перегиба. Исследование функций на выпуклость, вогнутость. Решение базовых задач.
16	Асимптоты. Нахождение асимптот для функций вида y = f(x), для функций, заданных параметрически, для кривых в полярной системе координат.	2
17	Схема исследования функции и построение графика. Построение графиков функций вида y=f (x)
18	Построение графиков кривых, заданных параметрически.	2
19	Построение графиков кривых в полярной системе координат.
20	Определение первообразной. Основные свойства первообразных. Понятие неопределенного интеграла. Таблица первообразных. Примеры.	2
21	Формулы замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры
22	Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Примеры.	2
23	Интегрирование рациональных функций. Примеры	2
24	Интегрирование простейших дробей. Примеры	2
25	Подстановки Эйлера. Интеграл от дифференциального бинома.	2
26	Интегрирование рациональных тригонометрических выражений.
27	Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Понятие разбиение отрезка. Нижние, верхние суммы Дарбу. Свойства нижних, верхних сумм Дарбу. Определение интеграла от ограниченной функции по отрезку. Критерий интегрируемости. Примеры интегрируемых и неинтегрируемых функций.	2
28	Интегрируемость непрерывной функции. Интегрируемость монотонной функции. Примеры вычисления интегралов от непрерывных функций, от монотонных функций.
29	Свойство аддитивности определеного интеграла. Свойство однородности определеного интеграла. Интегрируемость произведения интегрируемых функций.	2
30	Аддитивность интеграла как функции области интегрирования. Свойство монотонности интеграла. Теоремы о среднем.
31	Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница.
32	Формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.	2
33	Определение интеграла с помощью интегральных сумм Римана. Теорема о замене переменной в определенном интеграле.	2
34	Решение задач на вычисление определенных интегралов с помощью формулы интегрирования по частям, формулы замены переменной, формулы Ньютона – Лейбница.
35	Численное интегрирование функций. Формула трапеций.	2 с/р
36	Формула Симпсона численного интегрирования. Оценка точности формулы Симпсона, при условии, что функция f и имеет на отрезке ограниченную четвертую производную. Примеры.	2 с/р
37	Аддитивные функции ориентированного промежутка. Определенный интеграл как аддитивная функция ориентированного промежутка. Основная теорема о представлении аддитивной функции ориентирования промежутка, через интеграл от функции f.	2
38	Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах. Объем тела вращения. Примеры.
39	Решение задач на вычисление площадей криволинейных трапеций, площади криволинейного сектора в полярных координатах. Нахождение объема тела вращения.	1
40	Понятие кривой. Определение простой замкнутой кривой. Понятие регулярной кривой. Спрямляемые кривые. Длина дуги кривой в различных системах координат.	2
41	Вычисление длин кривых.
42	Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме. Решение задач.	2
43	Механические приложения определенного интеграла (центр тяжести, статистические моменты, моменты инерции).
44	Физические приложения определенного интеграла (вычисление работы и т. д.)
45	Критерий Коши существования конечного предела функции. Определение несобственных интегралов. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Примеры.	2
46	Формула интегрирования по частям в несобственных интегралах.
47	Формула замены переменной в несобственных интегралах.
48	Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов. Примеры.	2
49	Признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов. Примеры.
2 семестр
№ п/п	Темы практических занятий	Практика	с/р
1	Понятие приращения функции. Дифференциал функции. Вычисление производных по определение.	2	2
2	Техника вычисления производных. Дифференцирование определителя. Исследование производной на непрерывность.	2	2
3	Техника вычисления производных.	2	2
4	Производная обратной функции. Производная функция, заданный параметрически. Производная функции, заданной неявно	2	2
5	Производные высших порядков. Понятие скорости и ускорения. Физические приложения производной.		2
6	Уравнения касательной и нормали к кривой. Сопряжение кривых. Угол между кривыми в точке их пересечения. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.	2	2
7	Основные теоремы дифференциального исчисления.	2	2
8	Правило Лопиталя. Вычисление производных функции f (x)={, x в точке х=0 0,х=0	2	4
9	Формула Тейлора. Различные формы остаточного члена формулы Тейлора. Формула Тейлора для многочленов. Применение разложения функций , cos x, sin x, ln (1+x), к нахождению разложения по формуле Тейлора других функций.	2	2
10	Разложение функций по формуле Тейлора. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора.	2	2
11	Интервалы возрастания, убывания функции. Точки локального экстремума. Необходимые и достаточные условия монотонности функции в терминах первой производной.	2	4
12	Текстовые задачи на экстремум.		2
13	Выпуклые, вогнутые функции. Исследование функций на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.	2	4
14	Асимптоты. Нахождение асимптот функций вида y=f(x), функций, заданных параметрически. Асимптоты кривых в полярных координатах.	2	2
15	Контрольная работа по теме: «Производная. Техника вычисления производных».	2
16	Схема исследования функции. Построение графиков функций вида y=f(x)	2	4
17	Построение графиков функций, заданных параметрически.	2	2
18	Построение кривых в полярных координатах.	2	4
19	Приближенное нахождение корней уравнений. Метод касательных. Метод Ньютона.		2
20	Таблица первообразных. Вычисление первообразных.	2	2
21	Формулы интегрирования по частям в неопределенном интеграле.	2	2
22	Замены переменной в неопределенном интеграле.		2
23	Интегрирование рациональных функций	2	2
24	Интегрирование рациональных функций	2
25	Подстановки Эйлера. Интеграл от дифференциального бинома	1	2
26	Интегрирование рациональных тригонометрических выражений.	2	2
27	Интегрирование иррациональных выражений.		2
28	Контрольная работа № 2 по темам «Построение графиков функций». «Вычисление неопределенных интегралов»	2
29	Вычисление определенных интегралов с помощью сумм Дарбу, интегральных сумм. Вычисление пределов с помощью интегральных сумм.	2	2
30	Формула Ньютона-Лейбница.	2	2
31	Интегрирование по частям в определенном интеграле.
32	Замена переменной в определенном интеграле.	2	2

Замечание