Учебная программа дисциплина «Математический анализ» для специальности «Информатика» с дополнительной специальностью «Математика» (стр. 7 )

-  определение граничной точки множества; границы множества; характеризация границы отображения, пересечения и разности множеств;

-  определение предела и непрерывности функции нескольких переменных; теорему о связи между пределом и функции и пределом и ее компонент;

-  непрерывность линейных отображений из Rn в Rm;

-  оценку нормы линейного отображения из Rn в Rm;

-  определение дифференцируемости функции нескольких переменных; определение дифференциала;

-  основные правила дифференцирования; правило дифференцирования сложной функции;

-  определение частной производной; частных производных высших порядков;

-  связь между существованием частных производным и дифференцированностью функции;

-  достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных в терминах непрерывности частных производных;

-  условие независимости смешанных производных от порядка дифференцирования;

-  правило вычисления частных производных;

-  формулу Тейлора для функции нескольких переменных;

-  необходимые и достаточные условия экстремума;

-  теорему об обратной функции; теорему о неявной функции.

-  знать определения, основные свойства определенного интеграла от функции нескольких переменных;

Должны уметь:

–  исследовать числовые ряды на сходимость;

–  доказывать равномерную сходимость последовательности функций, функциональных рядов;

–  находить радиус сходимости степенного ряда;

–  представлять функцию в виде суммы степенного ряда;

–  записывать явной формулой функции, заданные степенными рядами;

–  приводить приближенные вычисления с помощью рядов.

3 семестр.

Экзаменационные вопросы.

1.Определение числового ряда, сходящегося числового ряда. Понятие суммы ряда. Алгебраические операции над сходящимися числовыми рядами.

2.Геометрическая прогрессия.

3.Критерий Коши сходимости рядов.

4.Необходимое условие сходимости.

5.Гармонический ряд.

6.Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с отрицательными членами.

7.Признаки сравнения рядов с неотрицательными членами в форме неравенств, в предельной форме.

8.Интегральный признак сходимости.

9.Исследование обобщенного гармонического ряда на сходимость.

10.Признаки Коши и Даламбера сходимости ряда.

11.Признаки Раабе и Гаусса сходимости ряда.

12.Формула суммирования по частям.

13.Признаки Дирихле и Абеля.

14.Знакочередующееся ряды. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

15.Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

16.Теорема Римана об условно сходящихся рядах. Условная, абсолютная,

безусловная сходимость ряда и связь между этими типами сходимости.

17.Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Различные примеры.

18.Равномерная сходимость последовательности функций (функционального ряда). Примеры.

19.Критерий Коши равномерной сходимости.

20.Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Примеры.

21.Основная теорема о перестановке предельных переходов.

22.Непрерывность равномерно сходящейся последовательности непрерывных

функций.

23.Равномерная сходимость и интегрируемость.

24.Равномерная сходимость и дифференцируемость.

25.Степенные ряды. Первая теорема Абеля.

26.Существование радиуса сходимости степенного ряда. Область сходимости

степенного ряда.

27.Теорема единственности для степенных рядов.

28.Равномерная сходимость степенного ряда на любом отрезке внутри интервала сходимости.

29.Почленная дифференцируемость степенного ряда в любой точке интервала

сходимости.

30. Ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции, единственность ряда Тейлора. Достаточное условие представление функции суммой степенного ряда.

31.Разложение в степенной ряд функций ех, cosx, sinх, ln (1+х),

32.Пример бесконечного дифференцируемой функции, не являющейся суммой своего ряда Тейлора.

33.Основное свойство показательной функции.

34.Понятие тригонометрического ряда Фурье.

35.Необходимые и достаточные условия представления функции в виде суммы ряда Фурье.

36.Примеры разложений функций в ряд Фурье.

37.  Понятие метрического пространства. Примеры метрических пространств. Арифметическое векторное пространство Rn.

38.  Неравенства Гельдера и Минковского, неравенство Коши-Буняковского.

39.  Различные метрики в Rn. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах. Свойства открытых и замкнутых множеств.

40.  Внутренние, внешние, граничные точки множества. Понятие границы множества. Характеризация границы объединения, пересечения и разности множеств в терминах границ этих множеств.

41.  Предел и непрерывность отображений метрических пространств.

42.  Теорема о непрерывности сложной функции.

43.  Метрики на произведении метрических пространств (E1, d1), (E2, d2). Связь между непрерывностью функции f и непрерывностью любой ее компоненты.

44.  Полные метрические пространства. Примеры. Теорема Банаха о неподвижной точке.

45.  Компактные метрические пространства. Компактность отрезка [а, b] в R.

46.  Связь между компактностью и полнотой.

47.  Связь между замкнутостью и полнотой.

48.  Компактность n мерной клетки в Rn.

49.  Теорема об эквивалентности условий компактности множества в Rn.

50.  Образ компактного множества при непрерывном отображении.

51.  Связные множества в метрических пространствах. Условия связности объединения семейства связных множеств.

52.  Связные и линейно – связные множества.

53.  Характеристика связных множеств в R.

54.  Образ связного множества при непрерывном отображении.

55.  Определение нормированного, банахова, гильбертова пространства. Гильбертовость пространства Rn.

56.  Характеристика линейных функционалов в Rn. Линейные отображения из Rn в Rm.

57.  Непрерывность линейных отображений из Rn в Rm. Оценка нормы линейного отображения из Rn в Rm.

58.  Определение дифференцируемости функции нескольких переменных. Определение дифференциала. Единственность дифференциала.

59.  Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке.

60.  Дифференцируемость линейных отображений из Rn в Rm. Базовые примеры.

61.  Основные правила дифференцирования функции нескольких переменных.

62.  Правило дифференцирования сложной функции.

63.  Производная по направлению. Понятия частной производной. Частные производные высших порядков.

64.  Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием частных производных.

65.  Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.

66.  Правило вычисления частных производных.

67.  Условия постоянства функции нескольких переменных.

68.  Условие независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.

69.  Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

70.  Точки локального экстремума. Необходимые условия экстремума.

71.  Достаточные условия экстремума. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

72.  Нахождение наибольшего, наименьшего значения непрерывной функции в замкнутой ограниченной области в Rn.

73.  Теорема об обратной функции.

74.  Теорема о неявной функции.

75.  Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

76.  Огибающие

4 семестр

№ п/п	Темы лекций	Часы
1	Нижние и верхние суммы Дарбу. Свойства нижних и верхних сумм Дарбу. Определенный интеграл по параллепипеду в Rn от ограниченной функции. Критерий интегрируемости. Примеры интегрируемых функций.	2
2	Интегрируемость функции, непрерывной на параллепипеде. Свойство линейности и однородности определенного интеграла.
3	Свойство монотонности определенного интеграла. Интегрируемость интегрируемой функции по любому параллепипеду разбиение параллепипеда А. Если Р – произвольное разбиение параллепипеда А и функция f интегрируема по любому параллепипеду разбиение Р, то f интегрируема по параллепипеду А.	2
4	Колебание функции в точке. Характеристика непрерывности функции в точке в терминах комбания функции в точке. Характеризация множеств вида { | 0 (f (х)) }, где f: А R – ограниченная функция. А параллепипед в Rn, > 0
5	Множества меры О и множества объема ноль в Rn. Свойства множеств меры ноль. Связь между множествами меры ноль и множествами объема ноль. Примеры множеств меры ноль, не являющихся множествами объема ноль.	2
6	Теорема Лебега о характеризации ограниченных функций, интегрируемых по параллепипеду, в терминах множества точек разрыва функции f.
7	Множества, измеримые по Жордану. Определения интеграла по множествам более общим, чем параллепипед.	2
8	Теорема Фубини о сведении кратного интеграла по параллепипеду к повторным. Сведение двойного интеграла к повторным. Принцип Кавальери.	2
9	Замена переменной в кратных интегралах, полярная, цилиндрическая, сферическая система координат.	2
10	Вычисление площадей плоских фигур. Понятие цилиндроида. Измеримость цилиндроида по Жордану. Формула для вычисления объема цилиндроида. Вычисление объема эллипсоида и объема шара.	2
11	Понятие площади поверхности. Формулы для вычисления площади поверхности. Примеры.	2
12	Вычисление объемов тел. Примеры.
13	Механические приложения определенного интеграла (центр тяжести, моменты инерции и т. д.)
14	Физические приложения кратных интегралов.
15	Определение и основные свойства криволинейных интегралов.	2
16	Формула Грина. Приложение формулы Грина.	2
17	Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
18	Поверхностные интегралы	4
19	Формула Стокса	2
20	Формула Гаусса-Остроградского	2
21	Элементы теории поля	2

4 семестр

№ п/п	Темы практических занятий	Практика	с/р
1	Сведения двойного интеграла к повторным. Запись двойного интеграла в виде повторного вторым способом для функции двух переменных.	2	3
2	Двойной интеграл в полярных координатах. Сведение двойного интеграла в полярных координатах к повторным.	2	3
3	Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Вычисление площадей фигур с помощью замены переменной в двойном интеграле.	2	4
4	Цилиндрические, сферические координаты. Замена переменной в кратком интеграле. Вычисление тройных интегралов в сферических координатах.	2	4
5	Сведения тройного интеграла к повторным.	2	4
6	Вычисление объемов. Вычисление объема цилиндроида. Вычисление площади поверхности.	4	6
7	Физические и механические приложения кратных интегралов.	12	16
8	Контрольная работа по кратным интегралам и их применениям	2
9	Основные свойства криволинейных интегралов. Формула Грина.	4	6
10	Восстановление функции по ее полному дифференциалу.	2	4
11	Поверхностные интегралы	6	8
12	Формула Стокса	2	2
13	Формула Гаусса-Остроградского	2	2
14	Элементы теории поля	3	7
15	Контрольная работа № 2	2

Замечания

1.  Выдается индивидуальная работа по темам:

2.  «Математические структуры анализа».

«Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных».

2. Выдается индивидуальная работа по теме: «Интегральные исчисления функций нескольких переменных».

4 семестр

Знания, умения, навыки.

Должны знать:

–  теорему об обратной функции; теорему о неявной функции.

–  определения, основные свойства определенного интеграла от функции нескольких переменных;

–  определение криволинейных интегралов, их свойства, формулу Грина и приложения криволинейных интегралов к вычислению работы, массы тела и. т.д;

–  элементы теории поля.

Должны уметь:

–  строить линии и поверхности уровня функции нескольких переменных;

–  находить пределы функций нескольких переменных, исследовать функции нескольких переменных на непрерывность;

–  доказывать дифференцируемость функций нескольких переменных;

–  находить частные производные первого и высших порядков;

–  находить точки локального экстремума функции нескольких переменных и определять их характере;

–  решать текстовые задачи на экстремум для функций одной и нескольких переменных;

–  находить частные производные неявной функции, обратной функции;

–  сводить кратный интеграл к повторным для вычисления кратных интегралов;

–  записывать двойной интеграл в полярных координатах, тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах;

–  применять кратные интегралы к вычислению площадей фигур, объемов тел, площадей поверхностей, вычислению физических и механических величин;

–  восстанавливать функции по ее полному дифференциалу;

–  уметь пользоваться формулами Стокса, Гаусса-Остроградского.

4 семестр

Экзаменационные вопросы.

1. Нижние и верхние суммы Дарбу. Свойства нижних и верхних сумм Дарбу. Определенный интеграл по параллепипеду в Rn от ограниченной функции.

2. Критерий интегрируемости. Примеры интегрируемых и неинтегрируемых функций.

3. Интегрируемость функции, непрерывной на параллепипеде.

4. Свойства линейности определенного интеграла.

5. Свойство однородности определенного интеграла.

6. Свойство монотонности определенного интеграла.

7. Интегрируемость интегрируемой функции по любому параллепипеду разбиения параллепипеда А.

8. Если Р – произвольное разбиение параллепипеда А и функция f интегрируема по любому параллепипеду разбиения Р, то f интегрируема по параллепипеду А.

9. Колебание функции в точке. Характеристика непрерывности функции в точке в терминах колебания функции в точке.

10. Характеризация множеств вида { х А | о ( f (х) ) } , где

f: А R – ограниченная функция. А параллепипед в .

11. Множества меры о и множества объема ноль в Свойства множеств меры ноль.

12. Связь между множествами меры ноль и множествами объема ноль. При меры множеств меры ноль, не являющихся множествами объема ноль.

13.Теорема Лебега о характеризации ограниченных функций, интегрируемых по параллепипеду, в терминах множества точек разрыва функции f,

14.Множества, измеримые по Жордану. Определение интеграла по множества и более общим, чем параллепипед.

15.Теорема Фубини о сведении кратного интеграла по параллепипеду к повторным.

16. Сведения двойного интеграла к повторным. Принцип Кавальери.

17. Замена переменной в кратных интегралах. Полярная, цилиндрическая, сферическая система координат.

18. Вычисление площадей плоских фигур.

19.Понятие цилиндроида. Измеримость цилиндроида по Жордану.

20. Формула для вычисления объема цилиндроида. Вычисление объема эллипсоида и объема шара.

21. Понятие площади поверхности. Формула для вычисления площади поверхности.

22. Вычисление объемов тел.

23. Механические приложения определенного интеграла (центр тяжести, моменты инерции и т. д.)

24. Физические приложения кратных интегралов.

25. Определение и основные свойства криволинейных интегралов.

26. Формула Грина. Приложения формулы Грина.

27. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.

31. Поверхностные интегралы и их свойства.

32. Формула Стокса.

33. Формула Гаусса-Остроградского.

34. Элементы теории поля. Операторы.

4 семестр

Требования к зачету

Студент должен уметь сводить двойной интеграл к повторным в декартовых и полярных координатах. По повторному интегралу должен уметь определять область интегрирования и записывать интеграл в виде повторных вторым способом;

Уметь записывать тройной интеграл в виде повторных; переходить к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам и использовать этот переход для вычисления кратного интеграла;

Уметь вычислять площади фигур, площадь поверхности, объемы тел;

Уметь вычислять механические и физические характеристики; уметь вычислять криволинейные интегралы;

Сводить криволинейный интеграл с помощью формулы Грина к двойному интегралу;

Уметь восстанавливать функцию по ее полному дифференциалу.

Требования к уровню усвоения дисциплины
и формы контроля и отчетность

Студент должен освоить основные определения и понятия, ориентироваться в материале, решать основные виды задач, знать основные примеры. Студент в каждом семестре сдает коллоквиумы, выполняет индивидуальную работу, отчитывается по ней в форме тестирования или собеседования; выполняет аудиторные контрольные работы; выполняет аудиторные отсроченные контрольные работы; выполняет домашние контрольные работы; отчитывается по модулям для самостоятельного изучения; сдает зачет и экзамен за семестр.

Итоговая оценка учебной деятельности в семестре складывается из средней по всем видам выше перечисленных отчетов.

Перечень рекомендуемой литературы

1. Зорич анализ т.1,2 М:Наука,1984г.

2. ,Позняк математического анализа

ч.1,ч.2,М: Наука,1980г.

3. Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления

т.1,2,3, М: Наука,2004г.

4. ,,Сендов анализ т.1,2

Изд-во МГУ, 1977г.

5. Решетняк математического анализа ч.1,книги 1,2; ч.2, книги 1,2,

Новосибирск, Изд-во института математики, гг.

6. АрхиповГ. И.,, Чубариков по математическому

анализу, М: Высшая школа, 1999г.

7. Осипов анализ. Ч 1.Введение в анализ. Предел и

непрерывность вещественных функций вещественной переменной. Изд-во

НГПУ, 2003г.

8. Основы математического анализа, М: Мир, 2001г.

9. Ярахмедов анализ. Введение в математический

анализ.- Новосибирск, 1992г.

10. Математический анализ. Одномерное дифференциальное

исчисление.- Новосибирск, 1992г.

11. Ярахмедов анализ. Определенный интеграл.-

Новосибирск, 1992г.

12.Ярахмедов анализ. Многомерный математический

анализ.- Новосибирск,2001г.

13. Сборник задач и упражнений по математическому анализу,

М:Наука,1969г.

14., , Садовничий и упражнения по

математическому анализу. М: ,Высшая школа т.1,2 2000г.

15. Кудрявцев задач по математическому анализу М: Наука,

1986г., т.1.

16. Кудрявцев задач по математическому анализу. Функции

нескольких переменных, Санкт-Петербург,1994г.

17. Д Сборник задач по математическому анализу. Интегралы и

ряды. М: Наука т.2,1987г.