1. Выдается индивидуальная работа по теме «Производная и ее приложения».
2 семестр
Знания, умения, навыки.
1. Знать определение дифференцируемости функции в точке и связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной функции в точке.
2. Знать таблицу производных.
3. Уметь вычислять производные элементарных функций по определению с использованием соответствующих замечательных пределов.
4. Знать определение дифференциала функции в точке и свойство инвариантности дифференциала функции в точке.
5. Уметь с помощью дифференциала функции проводить приближенные вычисления.
6. Знать правила дифференцирования функции и уметь применять их для нахождения производной функции.
7. Знать понятие кривой и уметь выписывать уравнения касательной и нормали к кривой.
8. Уметь находить углы между кривыми в точке их пересечения.
9. Знать геометрический смысл производной.
10. Знать теорему о дифференцируемости обратной функции и уметь применять ее для нахождения производных обратных функций, в частности, функций arctg x, arcsin x, arccos x, arcctg x, ln x и т. д.
11. Знать теорему о дифференцируемости функций, заданных параметрически и уметь применять ее для вычисления производных.
12. Знать определение производных высших порядков и уметь вычислять их.
13. Знать основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
14. Знать определение точек локального экстремума.
15. Уметь находить интервалы возрастания, убывания функции с помощью первой производной функции.
16. Знать необходимые и достаточные условия существования точки локального максимума (локального минимума).
17. Знать правило Лопиталя и уметь его применять для нахождения пределов функций.
18. Знать формулу Тейлора и уметь ее применять:
А) к разложению функции по формуле Тейлора;
Б) к исследованию функций на максимум, минимум;
В) к нахождению пределов функции.
19. Знать пять основных разложений по формуле Тейлора функций sin x, cos x,
ex, ln (1+x), 
.
20. Знать определение выпуклой, вогнутой функции.
21. Уметь определять интервалы выпуклости, вогнутости функции с помощью второй производной функции.
22. Уметь находить точки перегиба.
23. Знать определение вертикальных асимптот, наклонных асимптот.
24. Уметь находить асимптоты.
25. Знать схему исследования функции и построения графика.
26. Уметь применять схему при построении графиков функций вида y=f (x), кривых заданных параметрически, кривых в полярной системе координат.
27. Знать определения и свойства показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических функций и уметь строить их графики.
28. Знать понятие неопределенного интеграла, основные способы вычисления неопределенных интегралов (формула интегрирования по частям, замена переменных в неопределенном интеграле).
29. Уметь раскладывать рациональную функцию на простейшие дроби.
30. Уметь интегрировать простейшие дроби.
31. Уметь вычислять неопределенные интегралы с помощью подстановок Эйлера, с помощью интегрирования дифференциального бинома.
32. Уметь вычислять интегралы от рациональных тригонометрических выражений.
33. Знать определения разбиения отрезка. Знать определение нижних, верхних сумм Дарбу и их поведение при измельчении разбиений.
34. Знать определение интеграла от ограниченной функции по отрезку
с помощью интегральных сумм Римана.
35. Знать критерий интегрируемости функции.
36. Уметь доказывать интегрируемость функции, непрерывной на отрезке, интегрируемость монотонной функции.
37. Уметь приводить примеры неинтегрируемых функций.
38. Знать основные свойства определенного интеграла (Свойство аддитивности, однородности, монотонности интеграла).
39. Знать свойство аддитивности интеграла как функции области интегрирования.
40. Знать первую и вторую теорему о среднем.
41. Уметь оценивать интегралы.
42. Знать определение интеграла с переменным верхним пределом и теорему о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом.
43. Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов.
44. Уметь применять формулу интегрирования по частям для вычисления определенных интегралов.
45. Уметь применять теорему о замене переменной для вычисления определенных интегралов.
46. Знать методы численного интегрирования функций (формула трапеций, формула Симпсона и т. д.) и уметь применять на практике для приближенного вычисления интегралов.
47. Знать определения и свойства аддитивной функции ориентированного промежутка.
48. Знать основную теорему о представлении аддитивной функции ориентированного промежутка через определенный интеграл.
49. Знать определение кривой, спрямляемой кривой.
50. Знать формулы для вычисления площади криволинейной трапеции, объема тела вращения, площади поверхности вращения, площади криволинейного сектора в полярных координатах и уметь их применять для решения практических задач.
51. Знать как вычисляется длина дуги кривой в различных системах координат.
52. Уметь вычислять длины дуг кривых.
53. Знать формулу для вычисления площадей области, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме.
54. Уметь применять определенный интеграл для вычисления механических и физических величин.
55. Знать критерий Коши существования конечного предела функции.
56. Знать определение несобственного интеграла первого и второго рода.
57. Знать критерий Коши ходимости несобственных интегралов. Уметь с помощью критерия Коши доказывать сходимость несобственных интегралов,
58. Знать формулу интегрирования по частям и формулу замены переменной в несобственном интеграле.
59. Знать признаки сравнения сходимости несобственных интегралов, признаки Дирихле и Абеля и уметь применять их к решению практических задач.
2 семестр
Экзаменационные вопросы.
1. Определение производной функции в точке. Определение дифференцируемости функции в точке. Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в этой точке.
2. Определение дифференциала. Свойство инвариантности дифференциала.
3. Связь между дифференцируемостью функции в точке и неприрывностью функции в точке.
4. Таблица производных.
5. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного функций.
6. Правило дифференцирования сложной функции.
7. Уравнения касательной и нормали к кривой. Угол между кривыми в точке их пересечения. Геометрический смысл производной.
8. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
9. Теорема о дифференцировании обратной функции.
10. Теорема о дифференцировании функции, заданной параметрически.
11. Производные высших порядков. Правило Лейбница вычисления производных n-го порядка от функции вида f (x) х g (x).
12. Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ферма Ролля, Лагранжа, Коши, теорема Дарбу.
13. Правило Лопиталя. Примеры вычисления пределов с помощью правила Лопиталя.
14. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, в форме Лагранжа, в форме Коши.
15. Пять основных разложений по формуле Тейлора функций
,sinx, cosx, ln(1+x),
=
+о (
, sinx =
+о (
), cos(x) = 
+ о (
),
ln (1+x)=
+о (
),=1+ 
+о ()
16. Примеры на вычисление пределов с помощью формулы Тейлора.
17. Интервалы возрастания, убывания функции. Точки локального экстремума.
18. Необходимые и достаточные условия экстремума функции в терминах первой, второй производных, производных высших порядков.
19. Текстовые задачи на экстремум. Принципиальная схема решения текстовых задач на экстремум.
20. Нахождение наименьшего, наибольшего значения непрерывной функции на отрезке.
21. Определение выпуклой, вогнутой функции. Условия выпуклости, вогнутости функции в терминах первой производной.
22. Условие выпуклости, вогнутости функции в терминах второй производной.
23. Геометрическое условие выпуклости, вогнутости в терминах касательных к графику.
24. Точки перегиба. Исследование функций на выпуклость, вогнутость.
25. Асимптоты. Нахождение асимптот для функций вида y=f (x), для функций, заданных параметрически, для кривых в полярной системе координат.
26. Схема исследования функции. Построение графиков функций y= (x).
27. Построение кривых в параметрической форме.
28. Построение кривых в полярной системе координат.
29. Определение первообразной. Основные свойства первообразных.
30. Понятие неопределенного интеграла. Таблица первообразных.
31. Формула замены переменной в неопределенном интеграле.
32. Формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
33. Разложение рациональной функции на простейшие дроби. Единственность разложения.
34. Интегрирование простейших дробей.
35. Рекуррентная формула для интеграла 
36. Подстановки Эйлера. Интеграл от дифференциального бинома.
37. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка.
38. Частные случаи вычисления интегралов отрицательных тригонометрических выражений.
39. Вычисление интегралов вида 
, где R (x, y) - рациональная функция переменных x, y.
40.
dx.
41. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
42. Понятие разбиения отрезка. Определение нижних, верхних сумм Дарбу. Поведение нижних, верхних сумм Дарбу при измельчении разбиений.
43. Понятие нижнего, верхнего интеграла Дарбу. Определение интеграла от ограниченной функции f по отрезку. Примеры интегрируемых и неинтегрируемых функций.
44. Критерий интегрируемости.
45. Интегрируемость функции, непрерывной на отрезке.
46. Интегрируемость монотонной функции .
47. Свойство аддитивности определенного интеграла.
48. Свойство монотонности определенного интеграла.
49. Интегрируемость произведения интегрируемых функций.
50. Свойство аддитивности определенного интеграла относительно области интегрирования. (Если функция f интегрируема на и Р={ а, х1, х2,…., хn1, b } - произвольное разбиение отрезка , то f интегрируема на каждом отрезке [
i] разбиения Р и верно равенство.
=
Если Р={a, 
,…,
,b} - некоторое разбиение отрезка , и f интегрируема на[
,
], I =1,…,n и верно равенство
=
51. Первая, вторая теорема о среднем.
52. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом.
53. Формула Ньютона – Лейбница.
54. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
55. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
56. Определение интеграла с помощью интегральных сумм Римана.
57. Теорема о замене переменной в определенном интеграле.
58. Применение формулы интегрирования по частям, формулы Ньютона – Лейбница, теоремы о замене переменной к вычислению определенных интегралов.
59. Численное интегрирование функций. Формула трапеций.
60. Формула Симпсона приближенного вычисления интеграла. Оценки точности формулы Симпсона.
61. Аддитивные функции ориентированного промежутка и их основные свойства.
62. Определенный интеграл как аддитивная функция ориентированного промежутка
63. Теорема о представлении аддитивной функции ориентированного промежутка, через определенный интеграл от функции f.
64. Площадь криволинейной трапеции. Вывод формулы для вычисления площади криволинейной трапеции.
65. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.
66. Объем тела вращения.
67. Понятие кривой. Определение простой замкнутой кривой. Понятие регулярной кривой. Спрямляемые кривые.
68. Длина дуги кривой заданной в параметрическом виде, в полярных координатах, в явном виде y= f (x).
69. Вычисление длин кривых. Примеры.
70. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме.
71. Механические приложения определенного интеграла (центр тяжести, моменты инерции и т. д.)
72. Физические приложения определенного интеграла.
73. Критерий Коши существования конечного предела функции.
74. Определение несобственных интегралов.
75. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.
76. Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов в форме неравенства, в предельной форме.
77. Признаки Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов.
78. Формула интегрирования по частям в несобственных интегралах.
79. Формула замены переменной в несобственных интегралах.
80. Условие сходимости несобственного интеграла 
, a>0
81. Условие сходимости несобственного интеграла 
3 семестр
№ п/п | Темы лекций | Часы |
1 | Понятие числового ряда, суммы ряда. Алгебраические свойства сходящихся числовых рядов. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Геометрическая прогрессия. Гармонический ряд. | 2 |
2 | Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами. Признаки сравнения рядов с неотрицательными членами. Примеры | 2 |
3 | Интегральный признак сходимости ряда. | 2 |
4 | Признаки Коши и Даламбера сходимости ряда. Примеры | |
5 | Формула суммирования по частям. Признаки Дирихле и Абеля. Примеры. | 4 |
6 | Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Условная, абсолютная, безусловная сходимость ряда и связь между этими типами сходимости. Теорема Римана об условно сходящихся рядах. | 2 |
7 | Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Равномерная сходимость последовательности функции ( функциональных рядов). Примеры. | 2 |
8 | Критерий Коши равномерной сходимости последовательности функций (функциональных рядов). Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. | |
9 | Исследования рядов на равномерную сходимость с помощью признаков Вейерштрасса. | |
10 | Основная теорема о перестановке предельных переходов. Непрерывность равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. Примеры | 2 |
11 | Равномерная сходимость и интегрируемость. | 2 |
12 | Равномерная сходимость и дифференцируемость. | |
13 | Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Существование радиуса сходимости степенного ряда. Область сходимости степенного ряда. | 2 |
14 | Теорема единственности для степенных рядов. Равномерная сходимость степенного ряда на любом отрезке внутри интервала сходимости. Почленная дифференцируемость степенного ряда в любой точке интервала сходимости. Примеры. | |
15 | Ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции. Достаточное условие представление суммы степенного ряда. Разложение в степенные ряды функций | 2 |
16 | Разложение функции в ряд Тейлора. Решение задач. Пример бесконечно дифференцируемой функции, не являющейся суммой своего ряда Тейлора. Основной свойство показательной функции. | |
17 | Приближенные вычисление с помощью рядов. | 2 |
18 | Понятие тригонометрической системы функций. Понятие ряда Фурье. Необходимые достаточные условия представления функции в виде суммы ряда Фурье. | 2 |
19 | Разложение функций в ряд Фурье. Особенности разложения для четных и нечетных функций. | |
20 | Понятие метрического пространства. Примеры метрических пространств. Арифметическое векторное пространство Rn. Неравенства Гельдера и Минковского. Неравенства Коши – Буняковского. | 2 |
21 | Различные метрики в Rn. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах. Внутренние, внешние, граничные точки множества. Понятие границы множества. Характеризация границы объединения, пересечения и разности множеств в терминах границ этих множеств. | |
22 | Предел и непрерывность отображений метрических пространств. Теорема о непрерывности сложной функции. | 2 |
23 | Метрики на произведении метрических пространств (Е1,d1), (E2, d2). Связь между непрерывностью функции f и непрерывностью любой ее компоненты. | |
24 | Полные метрические пространства. Теорема Банаха о неподвижной точке. | |
25 | Компактные метрические пространства. Компактность отрезка. Связь между компактностью и полнотой. Связь между замкнутостью и полнотой. | 2 |
26 | Компактностью n мерной клетки в Rn. Теорема об эквивалентности условий компактности множества в Rn. | |
27 | Образ компактного множества при непрерывном отображении. Связные множества в метрических пространствах. Условие связности объединения семейства связных множеств. Связные и линейно – связные множества. | |
28 | Характеристики связных множеств в R. Образ связного множества при непрерывном отображении. Определение нормированных, банаховых, гильбертовых пространств. Гильбертовость пространства Rn. | 2 |
29 | Характеристика линейных функционалов в Rn. Линейные отображения из Rn в Rm. Непрерывность линейных отображений из Rn в Rm. Оценка нормы линейных отображений из Rn в Rm. | 2 |
30 | Определение дифференцируемости функции нескольких переменных. Определение дифференциала. Единственность дифференциала. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке. | 2 |
31 | Доказательство дифференцируемости функции нескольких переменных по определению. Дифференцируемость линейных отображений из Rn в Rm. Базовые примеры. | |
32 | Основные правила дифференцирования функции нескольких переменных. Решение задач. | 2 |
33 | Правило дифференцирования сложной функции. Решение задач. | |
34 | Производная по направлению. Понятие частной производной. Частные производные высших порядков | 2 |
35 | Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием частных производных. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных. Правило вычисления частных производных. | 2 |
36 | Условия постоянства функции. Условие независимости смешанных производных от порядка дифференцирования. | 2 |
37 | Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Примеры. | |
38 | Точки локального экстремума. Необходимые и достаточные условия существования точки линейного экстремума. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратной формы. | 2 |
39 | Текстовые задачи на экстремум. Нахождение наибольшего, наименьшего значения непрерывной функции в замкнутой ограниченной области в Rn. | |
40 | Теорема об обратной функции. | 2 |
41 | Теорема о неявной функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. | 4 |
,sinx, cosx, ln(1+x),
3 семестр
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
