ГОУ ВПО Новосибирский государственный педагогический
университет
Кафедра математического анализа
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
дисциплина «Математический анализ»
для специальности «Информатика»
с дополнительной специальностью
«Математика»
Программу составили к. п.н., доцент
к. п.н., доцент
Новосибирск 2006 г.
Пояснительная записка
В соответствии с государственным образовательным стандартом подготовка будущего учителя математики осуществляется в основном на первых 3-х курсах педагогического университета и состоит из изучения базовых математических дисциплин. Наибольшую нагрузку из этих дисциплин несет курс математического анализа, поскольку он содержит в себе основы многих теоретических вопросов других дисциплин, а также обоснование как теоретических, так и практических положений ряда фундаментальных вопросов школьной математики. Последнее обстоятельство делает невозможным математическое образование будущего учителя без глубокого изучения курса математического анализа. На необходимость широкого математического образования будущего учителя математики указывает тот факт, что в последнее время создается целая сеть профильных лицеев, гимназий, колледжей, авторских и частных школ, в которых требуется углубленное изучение математики. Тем самым будущий учитель математики должен быть подготовлен так, чтобы он обладал достаточной математической культурой, имел развитое математическое мышление, владел математическим языком и умел корректно выражать и аргументировано обосновывать положения предметной области знания.
Курс математического анализа имеет общеобразовательное и прикладное значение и дает научное обоснование большинства относящихся к нему понятий, первое представление о которых учащийся (на интуитивном уровне) получает в школе; он также содержит богатый материал для формирования диалектического мышления.
Настоящая программа определят объем знаний по разделам математического анализа, необходимый для преподавателей математики образовательных учреждений, приравненных к средней школе. Поэтому проведение всех видов учебных занятий должно быть подчинено основной задаче – подготовке учителя математики.
Программа реализуется в соответствии с государственным стандартом Министерства образования Российской Федерации в рамках объема часов, отведенного на лекции, практические занятия и самостоятельную работу. Контрольные мероприятия (контрольные работы, индивидуальные задания, коллоквиумы, зачеты, экзамены и т. д.) проводятся согласно графику учебного процесса.
Общие требования к уровню профессиональной подготовки специалиста.
Специалист должен:
- владеть культурой мышления и уметь в письменной и устной речи кратко, последовательно и логично оформить и изложить изучаемый учебный материал по математике;
- осуществлять обучение и воспитание учащихся с учетом специфики преподаваемого предмета;
- уметь использовать разнообразные приемы, методы и средства обучения;
- обеспечивать уровень подготовки обучающихся в соответствии с требованиями ГОС;
- прививать и развивать навыки и умения самостоятельной учебной деятельности;
- анализировать собственную деятельность с целью ее совершенствования и повышения своей квалификации;
- иметь представление о человеке как субъекте образовательного процесса, его возрастных и индивидуальных особенностях и социальных факторах развития;
- уметь использовать математический аппарат и математические методы при изучении и количественном описании реальных процессов и явлений;
- иметь целостное представление о математике как науке, ее месте в современном мире и системе наук.
Частные требования к уровню профессиональной подготовки по математическому анализу.
Специалист должен:
- уметь связывать знания по математическому анализу с целями и задачами школьного курса математики;
- владеть основными идеями и понятиями математического анализа;
Цели курса
Курс является основополагающим в предметной подготовке учителя математики.
- ввести основные идеи и понятия математического анализа
и сформировать их у студентов;
- отработать со студентами основные методы математического анализа
и научить применять их к решению задач;
- внести определенный вклад в формирование математической культуры студентов (в части построения математических моделей, в части графической культуры и т. д.);
- развить навыки логического мышления, сформировать и научить пользоваться логическим аппаратом для анализа правильности рассуждений, применяемых в курсе математического анализа;
- научить сводить практические и математические задачи к задачам, решаемым с помощью методов математического анализа;
- научить самостоятельности в решении задач;
- научить отбирать и систематизировать учебный материал;
- сформировать у студентов навыки самостоятельной учебной деятельности, навыки работы с математической литературой и развить их.
Требования к уровню освоения дисциплины
После изучения курса математического анализа студент
а) должен иметь представление:
- о месте курса математического анализа в системе математических дисциплин и науки в современном мире;
- об основных идеях и понятиях математического анализа;
- об элементах теории множеств, соответствий и отношений на множествах, функциональных соответствиях;
- о нахождении областей определений функций, исследовании функций на четность, нечетность, периодичность, ограниченность, неограниченность, на монотонность, на экстремум;
- об определении предела функции, числовой последовательности, об алгебраических свойствах функций, имеющих предел;
- о строении множества вещественных чисел, об основных подмножествах множества R: N, Z, Q, J.
- о технике вычисления пределов функций и числовых последовательностей;
- об исследовании функций на экстремум, на выпуклость, вогнутость;
- о непрерывных функциях, об исследовании функций на непрерывность, об односторонних пределах функции;
- о свойствах функций, непрерывных на отрезке;
- о равномерно непрерывных функциях;
- об определении и свойствах дифференцируемых функций;
- об основных теоремах дифференциального исчисления;
- о схеме исследования функции и построения графиков;
- о построении графиков кривых в параметрической форме, в полярных координатах;
- об основных методах вычисления неопределенных интегралов;
- об определении определенного интеграла, его основных свойствах и методах вычислений определенных интегралов;
- о применении определенного интеграла к вычислению длин кривых, площадей, объемов тел, площадей поверхностей, физических и механических величин;
- о признаках сходимости числовых рядов;
- об условной, абсолютной и безусловной сходимости числового ряда;
- о равномерной сходимости последовательностей функций и функциональных рядов;
- о связи между равномерной сходимостью функциональных последовательностей и интегрируемостью или дифференцируемостью предельной функции;
- о степенных рядах, их основных свойствах, необходимых и достаточных условиях представления функции в виде суммы ряда Тейлора;
- о функциях нескольких переменных, пределе и непрерывности функции нескольких переменных;
- о дифференцируемости функции нескольких переменных;
- об основных правилах дифференцирования функции нескольких переменных;
- о понятии частной производной, необходимых и достаточных условиях дифференцируемости функции нескольких переменных, формулируемых с помощью понятия частной производной;
- о формуле Тейлора для функции нескольких переменных;
- о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования;
- об определении, свойствах и методах вычисления кратных интегралов и их приложения к вычислению площадей фигур, площадей поверхностей, объемов тел и т. д.;
- об определении и свойствах криволинейных интегралов и их приложениях;
- о формуле Грина;
- о восстановлении функции по ее полному дифференциалу;
- о поверхностных интегралах;
- о теореме Остроградского, Стокса;
- об элементах теории поля.
б) должен знать:
- понятие множества и его элемента, определение включения и равенства множеств; понятие задания (записи) множеств; определение операций над множествами;
- определение соответствия, функционального соответствия, определение функции, графика функции;
- определение четной, нечетной функции, периодической функции, монотонной функции, ограниченной, неограниченной функции;
- аксиомы множества R, определение основных подмножеств множества R: множества N – натуральных, Z – целых, Q – рациональных, J – иррациональных чисел, алгебраических операций на указанных множествах;
- примеры иррациональных чисел и уметь доказывать иррациональность числа 
;
- определение расширенного множества 
вещественных чисел, определение окрестности точки в R и в ;
- определение системы окрестностей точки, фундаментальной системы окрестностей;
- определение предела функции на языке окрестностей, его различные частные случаи (определение предела на e - d языке);
- алгебраические свойства функций, имеющих в точке конечные пределы;
- определение непрерывности функции в точке;
- определение точки разрыва, характеристику точек разрыва в терминах односторонних пределов;
- свойства функций, непрерывных на отрезке;
- основные теоремы о пределах, связь между порядковыми свойствами множества R и операцией предельного перехода;
- определение равномерной непрерывности и связь между непрерывными и равномерно непрерывными функциями;
- теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности;
- определение числа е, замечательные пределы;
- теорему Вейерштрасса о существовании предельной точки у ограниченного множества, о существовании сходящейся подпоследовательности у ограниченной последовательности;
- критерий Коши сходимости последовательности;
- определение предельной точки, точки прикосновения, характеризацию предельных точек множества в терминах сходящихся последовательностей;
- определение и основные свойства показательной, логарифмической, тригонометрических и обратных тригонометрических функций;
- определение бесконечно большой величины, бесконечно малой величины и взаимосвязь между ними;
- определение эквивалентных величин, свойства символов о – малое, О – большое;
- определение дифференцируемости функции в точке, связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием конечной производной;
- основные правила дифференцирования, правило дифференцирования сложной функции;
- определение касательной и нормали, уравнения касательной и нормали;
- определение дифференциала, инвариантность дифференциала, применение дифференциала к приближенным вычислениям;
- основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши);
- правило Лопиталя и его применение к вычислению пределов функций;
- формулу Тейлора, разложение функций e x, sin x, cos x, ln(1 + x), (1 + x) a по формуле Тейлора;
- применение формулы Тейлора к вычислению пределов функций, нахождению производных достаточно большого порядка;
- определение точек локального экстремума, необходимые и достаточные условия локального экстремума;
- необходимые и достаточные условия монотонности функции в терминах первой производной;
- определение выпуклой, вогнутой функции, характеризация выпуклых, вогнутых функций в терминах первой и второй производных;
- определение точки перегиба, правило нахождения точек перегиба;
- определение наклонных, вертикальных асимптот;
- схему исследования функции и построения графика;
- определение неопределенного интеграла и основные методы нахождения неопределенных интегралов (интегрирование рациональных функций, тригонометрических выражений, подстановки Эйлера и т. д.), интегрирование по частям, замена переменной;
- определение интеграла Римана с помощью сумм Дарбу, интегральных сумм;
- основные свойства сумм Дарбу, критерий интегрируемости;
- основные свойства определенного интеграла, первую и вторую теорему о среднем;
- формулы для вычисления площади криволинейной трапеции, длины кривой, объема тела вращения, площади поверхности вращения;
- определение несобственного интеграла, признаки сравнений, Дирихле и Абеля сходимости несобственных интегралов;
- определение числового ряда, признаки сравнения в форме неравенств и в предельной форме сходимости числового ряда, признаки Коши и Даламбера, признаки Раабе и Коши, признаки Дирихле и Абеля, интегральный признак сходимости ряда;
- определение условной, абсолютной и безусловной сходимости числового ряда, связь между этими типами сходимости;
- признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда, оценка остатка знакочередующегося ряда;
- формулировку теоремы Римана об условно сходящихся рядах;
- определение функционального ряда, области сходимости функционального ряда;
- определение равномерной сходимости функциональной последовательности, функционального ряда;
- связь между равномерной сходимостью и непрерывностью предельной функции;
- связь между равномерной сходимостью, интегрируемостью и дифференцируемостью предельной функции (функционального ряда);
- определение степенного ряда, теорему единственности для степенных рядов;
- достаточные условия разложения функции в ряд Тейлора, разложение в ряды функций e x, sin x, cos x, ln(1 + x), (1 + x) a;
- теорему о существовании радиуса сходимости степенного ряда;
- определение метрического пространства, предела и непрерывности отображений метрических пространств;
- определение полного метрического пространства;
- определение компактного метрического пространства, основные свойства компактных метрических пространств;
- теорему о характеризации компактных множеств в R n;
- примеры различных метрик в R n;
- определение связного множества в метрическом пространстве, теорему об образе связного множества при непрерывном отображении, характеристику связных множеств на прямой, характеристику открытых множеств на прямой;
- определение векторного, нормированного, банахова, гильбертова пространства, теорему о характеризации линейных функционалов
из R n в R;
- определение скалярного произведения;
- определение предела и непрерывности функции нескольких переменных, теорему о связи между пределом функции и пределом ее компонент;
- непрерывность линейных отображений из R n в R m;
- определение дифференцируемости функции нескольких переменных, определение дифференциала;
- основные правила дифференцирования, правило дифференцирования сложной функции;
- определение частной производной, частных производных высших порядков;
- связь между существованием частных производных и дифференцируемостью функции;
- достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных в терминах непрерывности частных производных;
- условие независимости смешанных производных от порядка дифференцирования;
- правило вычисления частных производных;
- формулу Тейлора для функции нескольких переменных;
- необходимые и достаточные условия экстремума;
- теорему об обратной функции, теорему о неявной функции;
- определение интеграла от функции нескольких переменных;
- основные свойства интеграла;
- приложения интеграла к вычислению площадей фигур, объемов тел, физических и механических характеристик;
- сведения кратного интеграла к повторным;
- определение и основные свойства криволинейных интегралов;
- формулу Грина;
- восстановление функции по ее полному дифференциалу;
- элементы теории поля;
- формулы Остроградского, Стокса
- поверхностные интегралы.
в) должен уметь:
- исследовать функции на четность, нечетность, периодичность, ограниченность, неограниченность, монотонность;
- доказывать ограниченность, неограниченность множеств сверху, снизу;
- записывать определение предела функции, числовой последовательности на языке окрестностей, на e - d языке;
- доказывать монотонность последовательностей, ограниченность, неограниченность последовательностей;
- решать показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства;
- вычислять пределы функций и последовательностей;
- находить односторонние пределы;
- классифицировать точки разрыва функции;
- исследовать функции на непрерывность;
- пользуясь свойствами непрерывных функций, доказывать существование решений уравнений вида f(x) = 0, где f(x) – непрерывная функций;
- доказывать эквивалентность величин, определять порядок малости одной бесконечно малой величины относительно другой, выделять главную часть;
- исследовать функции на равномерную непрерывность;
- находить производную функции, дифференциал функции, производную обратной функции, производную функции, заданной параметрически;
- выписывать уравнения касательной и нормали к кривой и решать задачи с их использованием;
- находить пределы с помощью правила Лопиталя;
- находить разложения функций по формуле Тейлора;
- вычислять значения функции с заданной степенью точности с использованием формулы Тейлора;
- вычислять пределы функций с помощью формулы Тейлора;
- исследовать функции на монотонность, на экстремум методами дифференциального исчисления;
- определять характер точек локального экстремума;
- находить наклонные, вертикальные асимптоты;
- проводить исследование функции и строить графики (в декартовых координатах, в полярных координатах), графики функций, заданных параметрически;
- вычислять неопределенные интегралы, используя различные методы интегрирования;
- вычислять определенные интегралы;
- вычислять длину кривой, площади фигуры, объема тела, массу тела и другие физические и механические характеристики;
- исследовать несобственные интегралы на сходимость;
- исследовать числовые ряды на сходимость;
- доказывать равномерную сходимость последовательностей функций, функциональных рядов;
- находить радиус сходимости степенного ряда;
- представлять функции в виде суммы степенного ряда;
- функции, заданные степенными рядами записывать явной формулой;
- проводить приближенные вычисления с помощью рядов;
- строить линии (поверхности) уровня функции нескольких переменных;
- находить пределы функций нескольких переменных, исследовать функции нескольких переменных на непрерывность;
- доказывать дифференцируемость функции нескольких переменных;
- находить частные производные первого и высших порядков;
- находить точки локального экстремума функции нескольких переменных и определять их характер;
- находить частные производные неявной функции, обратной функции;
- доказывать интегрируемость функции нескольких переменных;
- вычислять кратные интегралы;
- находить с помощью кратных интегралов площади фигур, объемы, физические и механические величины и характеристики;
- вычислять криволинейные интегралы;
- восстанавливать функцию по ее полному дифференциалу;
- с помощью криволинейных интегралов вычислять работу, массу, находить координаты центра масс и т. д.;
3. Содержание учебной дисциплины
1 семестр
Множества, операции над ними. Свойства операций над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна. Аксиоматическая теория множества R вещественных чисел.
Множество натуральных чисел, метод математической индукции. Бином Ньютона, треугольник Паскаля, свойства биномиальных коэффициентов. Множества Z, Q, J и их основные свойства.
Понятие верхней, нижней грани множества. Характеристическое свойство верхней, нижней грани множества. Принцип Архимеда. Свойство плотности Q в R. Целая, дробная части числа, абсолютная величина числа.
Соответствия и функции
Понятие соответствия, функционального соответствия. Определение функции, графика функции. Композиция функций. Обратная функция. Типы отображений. Счетные множества и их свойства. Счетность множеств Z, Q, N ´ N.
Четные, нечетные функции. Периодические функции. Ограниченные, неограниченные функции и числовые последовательности. Монотонные функции и последовательности. Число е. Неравенство Бернулли.
Предел вещественной функции вещественной переменной.
Предел числовой последовательности
Расширенное множество вещественных чисел. Окрестности точек в R, . Предельные точки, точки прикосновения. Фундаментальные системы окрестностей.
Определение предела функции, числовой последовательности на языке окрестностей, на "e - d" языке. Алгебраические свойства предела. Порядковые свойства предела. Локальный характер предела функции.
Характеризация предела функции на языке предела последовательности. Лемма Кантора о стягивающихся отрезках. Существование предельной точки у ограниченной последовательности. Понятие предела функции по множеству. Односторонние пределы. Бесконечно большие, бесконечно малые функции, связь между ними. О – символика.
Непрерывные функции и их свойства
Определение непрерывной функции. Алгебраические свойства непрерывных функций. Понятие точки разрыва. Классификация точек разрыва.
Теорема о непрерывности сложной функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Обоснование метода интервалов. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.
Равномерно непрерывные функции. Теорема о равномерной непрерывности.
Элементарные функции и их свойства
Схема определения показательной функции. Основные свойства показательной функции.
Логарифмическая функция и ее основные свойства.
Тригонометрические и обратные тригонометрические функции, их свойства и графики. Общая степенная функция.
Асимптотика элементарных функций.
2 семестр
Определение дифференцируемости функции в точке. Понятие производной, дифференциала функции. Основные правила дифференцирования. Правило дифференцирования сложной функции. Уравнение касательной и нормали к графику функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Правило дифференцирования функции, заданной параметрически, обратной функции.
Производные высших порядков. Правило Лейбница. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Асимптотические разложения для функций e x, sin x, cos x, ln(1 + x), (1 + x) a/ вычисление пределов с помощью правила Лопиталя, с помощью формулы Тейлора. Необходимые и достаточные условия монотонности функции в терминах первой производной.
Точки локального экстремума. Характеризация точек локального экстремума в терминах первой, второй производных. Текстовые задачи на экстремум. Выпуклые, вогнутые функции. Характеризация выпуклости, вогнутости в терминах первой, второй производных. Точки перегиба. Наклонные, вертикальные асимптоты. Схема исследования функции и построения графика. Пример непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции. Приближенные методы решения уравнений f(x) = 0.
Неопределенный интеграл
Понятие первообразной. Таблица первообразных. Основные правила вычисления неопределенных интегралов (интегрирование по частям, замена переменной в неопределенном интеграле).
Интегрирование рациональных функций. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений. Подстановка Эйлера. Интеграл от дифференциального бинома.
3 семестр
Определенный интеграл
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его основные свойства (свойство аддитивности, однородности, свойство монотонности, аддитивность интеграла как функция области интегрирования). Теоремы о среднем.
Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница. Формула интегрирования по частям. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Замена переменной в определенном интеграле.
Аддитивные функции ориентированного промежутка. Определенный интеграл, как аддитивная функция ориентированного промежутка. Понятие кривой. Спрямляемые кривые. Формула для вычисления длины дуги кривой. Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.
Объем тела вращения. Площадь поверхности вращения. Приложения определенного интеграла к вычислению физических и механических величин. Приближенное вычисление определенных интегралов (формула прямоугольников, формула трапеций, формула Симпсона).
Ряды числовые и функциональные
Определение числового ряда, суммы ряда. Признаки сходимости числовых рядов. Условная, абсолютная, безусловная сходимость ряда и связь между этими типами сходимости. Теорема Римана об условно сходящихся рядах.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Равномерная сходимость последовательности функций, функционального ряда. Критерий Коши равномерной сходимости. Теорема о перестановке предельных переходов. Непрерывность равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. Равномерная сходимость и интегрируемость. Равномерная сходимость и дифференцируемость.
Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Формула для нахождения радиуса сходимости степенного ряда. Теорема единственности для степенных рядов.
Ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции. Достаточные условия представления функции суммой степенного ряда.
Пример бесконечно дифференцируемой функции, не представимой в виде суммы степенного ряда. Приближенные вычисления с помощью рядов.
4 семестр
Основные структуры анализа
Понятие метрического пространства. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах. Внутренние, внешние, граничные точки множества. Понятие границы множества. Характеризация границы объединения, пересечения и разности множеств в терминах границ этих множеств. Предел и непрерывность отображений метрических пространств. Теорема о непрерывности сложной функции. Связь между непрерывностью функции f и непрерывностью любой ее компоненты.
Полные метрические пространства. Теорема Банаха о неподвижной точке.
Компактные метрические пространства. Связь между компактностью и полнотой. Связь между замкнутостью и полнотой.
Компактность n – мерной клетки в Rn.
Теорема об эквивалентности условий компактности множества в Rn.
Образ компактного множества при непрерывном отображении.
Связные множества в метрических пространствах. Характеристика связных открытых множеств в R. Образ связного множества при непрерывном отображении. Определение нормированных пространств, банаховых пространств, гильбертовых пространств.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Различные метрики в Rn. Эквивалентность метрик в Rn. Неравенства Гельдера и Минковского. Характеристика линейных функционалов в Rn. Линейные отображения из Rn в Rm и их непрерывность.
Определение дифференцируемости функции нескольких переменных. Определение дифференциала. Единственность дифференциала. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке. Основные правила дифференцирования. Правило дифференцирования сложной функции. Производная по направлению. Понятие частной производной. Частные производные высших порядков.
Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием частных производных. Достаточные условия дифференцируемости. Условия постоянства функции. Условие независимости смешанных производных от порядка дифференцирования. Точки локального экстремума. Необходимые и достаточные условия существования точки локального экстремума. Текстовые задачи на экстремум. Нахождение наибольшего, наименьшего значения непрерывной функции в замкнутой области. Вывод достаточных условий экстремума с помощью формулы Тейлора. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Теорема об обратной и неявной функции.
Интегральное исчисление функций нескольких переменных
Определенный интеграл по параллелепипеду в Rn от ограниченной функции. Нижние и верхние суммы Дарбу и их основные свойства. Критерий интегрируемости. Примеры интегрируемых функций. Основные свойства определенного интеграла.
Колебания функции в точке. Характеристика непрерывности функции
в точке в терминах колебания функции в точке. Характеризация множеств
вида {x Î A: o(f(x)) ³ e}, где f: A ® R ограниченная функция, А – параллеле-пипед в Rn, e > 0.
Множества меры ноль и множества объема ноль. Свойства множеств меры ноль. Связь между множествами меры ноль и множествами объема ноль.
Примеры множеств меры ноль, не являющихся множествами объема ноль. Теорема Лебега о характеризации ограниченных функций, интегрируемых по параллелепипеду в терминах множества точек разрыва функции f.
Множества измеримые по Жордану. Определение интеграла по множествам более общим, чем параллелепипед. Теорема Фубини о сведении кратного интеграла по параллелепипеду к повторным.
Сведение двойного интеграла к повторным.
Принцип Кавальери.
Полярные, цилиндрические, сферические системы координат. Замена переменной в кратных интегралах. Вычисление площадей фигур. Понятие цилиндроида. Измеримость цилиндроида по Жордану.
Формула для вычисления объема цилиндроида. Понятие площади поверхности. Формула для вычисления площади поверхности.
Физические и механические приложения определенного интеграла.
Криволинейные интегралы первого и второго рода. Основные свойства криволинейных интегралов. Формула Грина. Теорема эквивалентности. Восстановление функции по ее полному дифференциалу. Приложения криволинейных интегралов.
Структура курса
В силу большого объема материала и соответствующей сложности структурных связей внутри его материала проведено структурирование по курсам или семестрам.
1 семестр
Вводный курс математики. Элементы логики и теории множеств | ||
Модули для самостоятельного изучения | Модули основного курса | |
Следствия из аксиом множества R. Свойства числовых неравенств. Бином Ньютона. Формула включений и исключений. Эквивалентность леммы Кантора теореме о верхней грани, леммы Дедекинда аксиоме непрерывности. Бесконечно большие, бесконечно малые величины. Применение метода интервалов к решению рациональных неравенств, неравенств содержащих абсолютную величину. | 1) Теория множества R вещественных чисел. 2) Порядковые свойства вещественных чисел. 3) Функции и их основные свойства. 4) Числовые последовательности и их свойства. 5) Топологическая структура множества R. 6) Предел функции (числовой последовательности). 7) Бесконечно большие, бесконечно малые величины. Их свойства и связь между ними. 8) Непрерывные функции. Основные свойства непрерывных функций. 9) Свойства функций непрерывных на отрезке. 10) Элементарные функции, их свойства и графики. | |
2 семестр | ||
Таблица производных. Техника вычисления производных. Исследование функции на монотонность с помощью производной. Решение текстовых задач на экстремум. Построение графиков функций. Техника вычисления неопределенных интегралов. Подстановки Эйлера. Интеграл от дифференциального бинома. | 11) Определение дифференцируемости функции в точке. Понятие дифференциал. Правила дифференцирования. Касательная и нормаль. 12) Основные теоремы дифференциального исчисления. 13) Формула Тейлора и ее применение. 14) Условия монотонности функции. Точки локального экстремума. Необходимые и достаточные условия экстремума в терминах первой либо второй производной. 15) Выпуклые функции и их основные свойства. 16) Асимптоты. Схема исследования функции и построения графика. Неопределенный интеграл. 17) Первообразная функции. Интегрирование по частям и замена переменной в неопределенном интеграле. 18) Интегрирование рациональных функций. |
2 семестр | ||
Вычисление определенных интегралов с помощью формулы Ньютона - Лейбница. Вычисление площади криволинейной трапеции, криволинейного сектора, объема тела вращения, длины дуги кривой. Решение задач механики и физики с помощью определенного интеграла. Исследование несобственных интегралов на сходимость. Приближенное вычисление определенных интегралов с помощью формул прямоугольников, трапеций, формулы Симпсона. | Определенный интеграл19) Определение и основные свойства определенного интеграла от ограниченной функции по отрезку [a, b]. 20) Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле. |
3 семестр | ||
Исследование числовых рядов на сходимость. Разложение функций в ряд Тейлора. Приближенные вычисления с помощью рядов. Разложение функции в ряд Фурье. | Ряды числовые и функциональные21) Приложения определенного интеграла. 22) Несобственные интегралы. 23) Приближенные вычисления определенных интегралов. 24) Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов. 25) Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. 26) Равномерная сходимость и интегрируемость. Равномерная сходимость и дифференцируемость. 27) Степенные ряды. Ряд Тейлора. Разложение функций ex, ln(1+x), sin x, cos x, (1+x) a в ряд Тейлора. 28) Тригонометрический ряд Фурье. Достаточные условия разложения функции в ряд Фурье. Полнота тригонометрической системы. |
3 семестр | ||
Поверхности уровня. Функции нескольких переменных. Техника вычисления частных производных. Исследование функций на экстремум. Текстовые задачи на экстремум. Огибающие. | 29) Понятие метрического пространства. Определение предела и непрерывности функции, заданной на метрическом пространстве. 30) Компактные множества и их основные свойства. 31) Связные множества в метрических пространствах. 32) Пространство Rn. Метрика в Rn. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Непрерывность линейных отображений из Rn в Rm. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. 33) Определение дифференцируемости функции в точке. Дифференцируемость сложной функции. 34) Частные производные. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных. Правило вычисления частных производных сложной функции. 35) Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Достаточные условия экстремума. |
4 семестр | ||
Сведение двойного интеграла к повторному. Приложения кратных интегралов. Приложения криволинейных интегралов | 36) Касательная плоскость и нормаль к поверхности. 37) Теорема об обратной функции. Теорема о неявной функции. 38) Определение интеграла от ограниченной функции по параллелепипеду. Основные свойства интеграла. 39) Множества меры ноль, объема ноль. Их свойства. 40) Колебания функции в точке. Теорема Лебега необходимые и достаточные условия интегрируемости функции f: A ® R, в терминах точек разрыва функции. Определение интеграла по множествам более общим, чем параллелепипед. 41) Теорема Фубини. Частные случаи теоремы Фубини. Сведение двойного интеграла к повторному. Вычисление объема цилиндроида. 42) Замена переменной в кратных интегралах. Приложения кратных интегралов. 43) Криволинейные интегралы и их свойства. Восстановление функции по ее полному дифференциалу. 44) Поверхностные интегралы и их свойства. 45) Элементы теории поля. 46) Формула Стокса. Формула Гаусса-Остроградского. |
Объем и виды учебной работы для специальности
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
