Учебно-методический комплекс для магистров «Плазмохимические методы получения композитных материалов на основе композитных нанотрубок» (стр. 13 )

, (11.6)

Например, при I=14 В, Vk = 10 В, = 4 В, S = je/j = 0,83, j+/j = 0,17. Это - разумные величины, которые не противоречат другим данным. Однако в действительности в балансе энергии катода имеются и другие составляющие. В катод поступает из плазмы теплопроводностный поток QT, вызванный перепадом температур между плазмой, (T ~ К) и катодом (Tk ~ 3000 К). Поступает и поток излучения (Qизл). От эмити­рующей поверхности катода тепло отводится в глубь металла теплопроводностным потоком Qn, так как противоположная часть тела катода холоднее из-за охлаждения. Какую-то энер­гию Qизл катод излучает.

Величины Q имеют размерность мощности [Вт]. Отнесем их к току дуги i[A] и введем обозначение q = Q/i [B], По смыслу это потоки, которые приходятся на один электронный заряд, протекающий с электрическим током (численно — энергии в электрон-вольтах). Баланс энергии на катоде из расчета на еди­ничный протекающий заряд имеет вид (= = 1)

qп = (1 - S) (Vk + I - )+qT - qизл - S - qизл. (11.7)

Учет всех этих факторов не меняет порядка величины S по сравнению с оценкой (11.6). Подробные расчеты баланса вмес­те с другими уравнениями, в которых связаны входящие в (11.7) величины, показывают, что при увеличении тока дуги температура и плотность тока на катоде возрастают, а катод­ное падение потенциала, поле у катода и доля ионного тока уменьшаются.

Заметим, что при вычислении доли ионного тока часто при­бегают к оценке баланса энергии не на самом катоде (11.6), а в катодном слое. Предполагают, что вся энергия, при­обретаемая электронами в катодном падении, затрачивается на ионизацию, т. е. на рождение ионов, потом падающих на катод. Это дает

jeVk = j+I, S = 1/(I+ Vk), j+/j = Vk/(I+Vk). (11.8)

С теми же числами, которые были взяты при оценке по (11.6), получается S = 0,58, j+/j = 0,42. Надо полагать, что оценка ион­ного тока по (11.8) завышена, поскольку из-за возбуждающих столкновений на образование пары ионов в среднем тратится энергия, превышающая потенциал ионизации.

Результаты измерений. На рис.11.6 представлены изме­ренные разными методами падения потенциала у вольфрамового катода в атмосфере гелия при р = 1 атм в зависимости от тока дуги i.

Рис.11.6. Зависимость катодного падения потен­циала от силы тока дуги (вольфрамовый катод в атмосфере гелия, р = 1 атм). Получено зондовым (1), калориметрическим (2) методами и путем сближения электродов (3). Кривая 4 — вольтов эквивалент теплового потока qn в катод [4]

Рис.11.7. Распределение температуры по радиусу рабочей торцевой поверх­ности стержневого вольф­рамового катода в атмосфе­ре apгона [4]

Калориметрический способ заключается в измерении кало­риметрическим методом потока тепла (мощности), отводимого теплопроводностью от поверхности в глубь катода Qn [Вт]. Катод­ное падение VK восстанавливается на основе этого измерения и известного тока i путем привлечения теоретических соображении о балансе энергии на катоде. На рис.11.6 представлена также измеренная величина qn=Qn/i, которую называют волътовым эквивалентом теплового потока в катод. Она связана с Vk соот­ношением баланса энергии (11.7). В методе сближения электро­дов измеряется уменьшение напряжения на электродах при сокращении расстояния между ними. Считается, что перед самым моментом короткого замыкания, после которого напряжение резко падает до долей вольта (что соответствует сопротивле­нию контакта), положительный столб полностью исчезает и напряжение рав­няется просто сумме катодного и анод­ного падений. Последнее определяется отдельно и вычитается. Все методы указывают на уменьшение Vk с уве­личением тока, но числовые резуль­таты не совпадают. Наиболее досто­верным является, по-видимому, резуль­тат зондовых измерений.

На рис.11.7 показаны радиальные распределения температуры на торце­вой токовой поверхности стержневого вольфрамового катода диаметром 0,6 см и длиной 2,5 см. В центре тем­пература превышает 4000 К. Видно, как расширяется высокотемператур­ная токовая площадь при возрастании тока. Температу­ру поверхности измеряют в основном по яркости ее свечения. Плотность тока на вольфрамовом катоде составляет 103— 104 А/см2. Ее находят по известному полному току и измеренно­му распределению температуры, которое показывает площадь, занимаемую током на катоде. Расчет контролируется при помощи формулы для тока термоэлектронной эмиссии. Долю ионного то­ка измерить прямыми путями невозможно. Ее извлекают из ана­лиза баланса энергии и других измеренных величин. Так полу­чаются цифры 1 — S ~ 0,1—0,3.

Одной из важнейших для практики мощных электродуговых устройств является проблема эрозии электродов, в особенности катода. Даже тугоплавкие материалы подвержены разрушению и испарению. Резко повышает эрозию присутствие в газе кисло­рода, паров воды, даже в малых концентрациях порядка 0.1 %, что вызывает окисление. Тем более это относится к такой распространенной среде, как воздух. Стойкость катода характе­ризуется удельной эрозией - потерей массы из расчета на проте­кание заряда 1 Кл. Удельная эрозия зависит от многих условий. Для стержневых вольфрамовых катодов в инертных газах при токах в сотни ампер и не низких давлениях она имеет порядок 10-7 г/Кл. Это значит, например, что при токе 300 А катод те­ряет 0.1 г в час.

Полый катод. При низких давлениях р < 1 торр даже на тугоплавком вольфраме образуются катодные пятна, мате­риал в которых разрушается гораздо сильнее, чем при работе в режиме горячего катода. Поэтому в практических устройствах стержневые катоды из тугоплавких материалов применяют только при высоких давлениях. При низких давлениях приме­няются конструкции, разработанные по принципу полого катода. В простейшем варианте полый катод представляет собой отре­зок трубки, к внутренней поверхности которой «привязывается» дуга, как в тлеющем разряде. С применением продувания газа сквозь полые катоды, чтобы создать внутри газовую атмосферу, удалось добиться очень высокой стойкости тугоплавких электродов в электродуговых устройствах [4]. Она характеризуется рекордно малой удельной эрозией 10-9 — 10-10 г/Кл.

11.6. Анодная область.

Процессы на аноде также сложны и многообразны. Как и на катоде, здесь существуют две формы привязки дуги к по­верхности.

Диффузная привязка. Ток при этом занимает на аноде срав­нительно большую площадь, плотность его j ~ 102 А/см2. Так бывает, когда анод обладает большой поверхностью Эрозия ма­териала при диффузной привязке незначительна, так как плот­ность потока энергии к поверхности невелика.

Анодные пятна. Пятно образуется, когда анод небольшой, и по мере повышения тока последний вынужден захватывать края, «неудобные» боковые места и т. д. При какой-то силе тока происходит срыв, разряд на поверхности анода контрагируется. Плотность тока в пятне имеет порядок j ~ 104-105 А/см2. Число пятен обычно растет с ростом тока дуги и давления. Иногда возникает много пятен, которые симметрично выстраиваются, образуя правильные узоры. Пятна иногда двигаются, также по правильным траекториям типа концентрических кругов и др. Анодные пятна ярко светятся, из них вырываются струп раска­ленного пара.

Падение потенциала. Слой пространственного заряда. Анодное падение складывается из двух частей. Одна связана с возникновением слоя отрицательного объемного заряда у самой поверхности анода из-за того, что анод отталкивает положитель­ные ионы в сторону катода. Эта часть анодного падения призва­на восполнить отсутствие ионного тока у анода за счет повышенной ионизации атомов газа или паров и с сответствующего небольшого увеличения электронного тока Она имеет порядок потенциалов ионизации или возбуждения атомов паров или га­за. При диффузной привязке анодное падение может этим и ограничиться. Иногда при диффузной привязке падение сов­сем мало или даже отрицательно, 1-3 В. Так случается, когда анод обладает большой поверхностью, к нему прилегает плот­ная сильноионизованная плазма и нет необходимости в дополнительных затратах энергии для подведения электронною тока к аноду.

Геометрическое падение. Когда анод обладает маленькой по­верхностью, которая меньше сечения положительного столба, или когда дуга сильно контрагирована на аноде, токовый канал должен сжаться от столба к аноду. Практически весь ток пере­носится электронами. Сжатие канала при сохранении полною тока

(где Sk — площадь сечения канала) возможно, если возрастают плотность электронов, скорость дрейфа, т. е. поле, или обе эти величины. И на дополнительное рождение электронов, чтобы скомпенсировать возрастающую с nе реком­бинацию, и на ускорение дрейфа требуется повышенное поле, т. е. дополнительное напряжение. Так появляется в анодной области вторая составляющая падения потенциала. Она имеет скорее геометрическую природу и не связана с образованием пространственного заряда у электрода, так что, строго говоря, ее не следовало бы присоединять к анодному падению, но в литературе обе составляющие иногда объединяют (на опыте их не всегда удается разделить; в тлею­щем разряде - также).

Анод угольной дуги. В угольной дуге в воздухе до из­вестного предела по току (ВАХ на рис. 3.3.3) привязка к аноду диффузная, j ~ 40 А/см2, полное падение в анодной области составляет 36 В, из них 16 В—«гео­метрического» и 20 В - в области отрицательного пространствен­ного заряда. При i ~ 15—20 А образуется анодное пятно, где j ~ 5 104 А/см2. Дуга становится шипящей. Анодное падение при этом уменьшается примерно на 10 В. Пятно движется со ско­ростью 300 м/с. При дальнейшем увеличении тока из пятна исхо­дит факел раскаленных паров; температура в пятне 4200 К. Если угольный анод содержит присадки из солей или окислов церия или других редкоземельных элементов, при токах порядка 100 А образуется глубокий ярко светящийся кратер, из которого выхо­дит язык пламени. Яркость поверхности кратера соответствует яркости Солнца, он излучает до 6 кВт/см2. В случае не очень длинных дуг 70 % мощности дуги излучается анодом. Это ис­пользуют в светотехнике, в прожекторах. Анодное падение по­тенциала около металлических анодов в воздухе составляет 1,5-2 потенциала ионизации атомов пара.

Баланс энергии. В области анода, куда поступает ток, выделяется энергия. Она складывается из кинетической энергии электронов, которую электроны приобретают в анодном падении, и потенциальной энергии связи, которая выделяется при нейтра­лизации электронами положительного заряда ионов металла. Эта составляющая равна работе выхода. Всего — порядка 10 эВ на один электрон тока. Значит, в пятне при j ~ 104 А/см2 плотность потока энергии составляет 104 • 10 = 105 Вт/см2. Тем­пература в анодных пятнах вакуумных металлических дуг Т ~ К.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ТЕСТА ПО МАТЕРИАЛАМ ЛЕКЦИИ - 11

Дайте определение дугового разряда и охарактеризуйте его основные отличия и место среди других газовых разрядов. Перечислите основные виды дуг. Какие имеются способы зажигания дуговых разрядов и как происходит переход тлеющего разряда в дуговой? Дайте основные характеристики дуги с угольными электродами в свободной атмосфере воздуха. Опишите прикатодные явления в дуговом разряде и структуру катодного слоя. Чем определяется баланс энергии на катоде и оцените долю ионного тока на катоде. Охарактеризуйте основные явления на аноде дугового разряда.

Лекция -12

Положительный столб дуги высокого давления

Положительный столб замыкает электрическую цепь в пространстве между катодным слоем и анодом, и единственно в этом заключается его функция. Состояние плазмы в достаточно длинном столбе совepшенно не зависит от того, что делается в приэлектродных обла­стях. Оно определяется местными процессами и значением пропускаемоrо тока. Для дуги высокого давления (выше р ~ 0,1-0,5 атм) характерно образование равновес­ной плазмы в положительном столбе. Среди такого типа дуг особенно распространены дуги атмосферного давления, в том числе и в свободном воздухе. Столб дуги атмосферного давле­ния - наиболее типичный и распространенный образец плотной низкотемпературной равновесной плазмы, поддерживаемой элек­трическим полем. Обычные температуры - Т ~ 6000К.

12.1. Стабилизация. В столбе дуги выделяется значительная мощность, например, в воздухе при р = 1 атм и токе i=10 А поле Е = 20 В/см. Значит, в 1 см длины выделяется W =Ei = = 200 Вт/см. Чтобы процесс был стационарным, эта энергия должна отводиться от разряда. Непосредственно из токового ка­нала джоулево тепло выносится теплопроводностью (при сверх­высоких давлениях - излучением). Дальнейшая судьба теплово­го потока зависит от организации разряда. Если, как это часто бывает при исследованиях, дуга заключена в трубку, наполнен­ную газом, тепло поступает в стенки, которые необходимо ох­лаждать, дабы предотвратить от разрушения. Во многих экспериментах и приложениях столб дуги обдувают потоком холодно­го газа (бывает и жидкости), который уносит энергию. Особен­но эффективно действует закрученный поток; он надежно от­жимает столб нагретого газа от стенок. Когда дуга горит в сво­бодной атмосфере, тепло рассасывается в пространстве благода­ря возникающим конвективным течениям. В короткой дуге энергия поступает в основном в электроды, которые в случае необходимости охлаждают. О перечисленных вариантах осу­ществления стационарного состояния говорят: дуга стабилизи­рована стенками, потоком, электродами.

12.2. Степень равновесности плазмы. Она зависит от рода газа, давления, силы тока. При р ~ 0,1 атм и небольших токах i ~ 1 А плазма всегда неравновесна. Плазма воздуха и других молеку­лярных газов, паров металлов при давлениях р ~ 1 атм практи­чески при любых токах бывает равновесной. Это обусловлено интенсивным обменом энергией между электронами и молекула­ми через возбуждение колебаний и вращений, а в парах метал­ла — большими сечениями упругого рассеяния электронов. В па­рах Hg равновесие наступает уже при р ~ 0,1 атм. В инертных газах отрыв температур сильнее из-за относительной малости сечений рассеяния электронов атомами. Только при больших токах, когда степень ионизации велика и сильно взаимодействие электронов с ионами, отрыв исчезает. Так, в Аг при р = 1 атм электронная и газовая температуры совпадают (Те ~ Т ~ 8000 К) только при i > 10А, когда nе > 3 • 1015 см-3. При меньших токах Т примерно вдвое меньше Те (рис.12.1).

Рис.12.1. Отрыв температур в положительном столбе дуги в Аг или Аг с добавкой Н2 при р = 1 атм в зависимости от силы тока или плотности электронов на оси: Те — температура электро­нов, Тт — температура газа, Tw со­ответствует температуре заселен­ности верхних уровней, Td — ниж­них уровней, Тг связана с nе(0) по формуле Саха.

Еще хуже устанавли­вается равновесие в Не, где заметный отрыв температур при р = 1 атм наблюдается, начиная с малых токов и вплоть до i ~ 100 А (Tе ~ К, Т ~ К). Только при i ~ 200 А, когда ne ~ 5 ·1016 см-3, отрыв исчезает, Те ~ Т ~К.

12.3. Радиальные распределения температуры и плотности электронов. Они максимальны иа оси столба и спадают к стен­кам. Но из-за чрезвычайно резкой зависимости равновесной сте­пени ионизации от температуры, nе ~ ехр (- 1/2кТ), плотность электронов спадает от оси неизмеримо быстрее, чем сама температура, которая более или менее равномерно уменьшается от Tк ~К на оси к Te ~ 1000 К у стенок, если последние хорошо охлаждаются. Так же, как nе, ведет себя и яркость свечения. Таким образом, токопроводящий и ярко светящийся столб дуги представляет собой относительно тонкий канал у оси. Это иллюстрируется рис.12.2, 12.3, на которых показаны измеренные радиальные профили Т и nе в столбе дуги в смеси Ar + 5 % Н2 при р =1 атм. Обращаем внимание иа то, что резкость спада nе(r) завуалирована принятым на рис.12.3 логарифмическим масштабом для nе.

Рис.12.2. Распределение темпе­ратуры по радиусу в столбе дуги в Аг + 5 % Н2 при р = 1 атм, i = 50 А в условиях, близких к равновесным, когда все темпера­туры совпадают [4].

Рис.12.3. Распределения плотности электронов по радиусу в столбе дуги в Аг + 5 % Н2

12.4. ВАХ. Поле в столбе находят, изменяя расстояние между электродами L при неизменном токе. При L > 0,5-1 см напряжение линейно зависит от L, так что E = dV/dL = const. Это свидетельствует о продольной однородности длинного стол­ба. На рис.12.3 показаны ВАХ столба в воздухе при разных давлениях. Увеличение давления при фиксированном токе приводит к увеличению поля. Это вы­звано возрастанием потерь на излучение и, быть может, некото­рым увеличением теплопередачи от плазмы к стенкам, что тре­бует повышения погонной мощности W = Еi. На рис.12.4 со­поставлены ВАХ в различных газах. Одни кривые относятся к разряду в трубке радиуса 2 см, другие — к разряду в большом объеме, т. е. как бы в свободной атмосфере, не ограниченной стенками. При одном и том же токе для поддержания плазмы в трубке требуется более сильное поле, так как теплоотдача выше и нужно вкладывать больше мощности. В водороде поле сильнее, чем в других газах, также из-за более высокой тепло­проводности и более интенсивного теплоотвода от столба.

Рис.12.3. ВАХ положительного столба дуги в воздухе.

Рис.12.4. ВАХ положительного столба дуги в различных газах в трубках радиусом R = 2 см и в свободной атмосфере (R = ∞) [4]

12.5. Излучение столба. Излучательная способность и ин­тегральный выход излучения из столба зависят от газа, давле­ния и силы тока. В каком-то приближении они пропорциоыональны . В азоте, воздухе при р = 1 атм потери на излучение составляют от одного до нескольких процентов вкладываемой мощности. В аргоне при 1 атм они становятся заметными (более 15%) при мощностях W > 150 Вт/см. Среди различных газов своими высокими излучательными свойствами выделяются пары ртути. Экспериментальное исследование баланса мощности ртутной дуги в кварцевой трубке с внутренним диаметром 4,1 см и длиной 50 см при р = 0,88 атм, i = 6 А, Е = 5,8 В/см показало, что из мощности W = 35 Вт/см 10 Вт/см отводится теплопроводностью в стенки, 18 Вт/см выходит в виде излучения, а остальные 7 Вт/см, по-видимому, выносятся из плазмы в резонансных линиях Hg 1850 и 2537 А и поглощаются в кварце. И вообще, при высоких давлениях теплопроводность выносит из ртутных паров 10 Вт/см независимо от диаметра трубки и давления.

Очень велико излучение столба дуги при сверхвысоких дав­лениях р ~ 10 атм (и, конечно, при достаточно больших мощ­ностях), в особенности в Hg, Хе, Кг. Эю используется в ртут­ных и ксеноновых лампах. Приводим эмпирические формулы для мощности излучения столба дуги для нескольких газов, вы­веденные из результатов измерений [4] :

Hg, р > 1 атм Wизл [Вт/см] = 0,72 {W [Вт/см] – 10},

Хе, р = 12 атм Wизл l = 0,88 (W - 24), W> 35,

Кг, р - 12 атм Wизл =0,72 (W - 42), W > 70,

Аг, р=1 атм Wизл = 0,52 (W-95), W > 150

12.6. Температура плазмы и ВАХ столба дуги высокого давления.

Плотная равновесная низкотемпературная плазма привлекает внимание физиков и инженеров в не меньшей, а быть может даже в большей степени, чем слабоионизованная неравновесная. Ее исследуют в лабораториях, используют в экспериментах и технике. Сейчас ее получают в полях любых частотных диапазонов, од­нако дуговой способ по-прежнему остается самым простым, доступным и рас­пространенным. Первей­шей характеристикой рав­новесной плазмы является ее температура, и задача состоит в том, чтобы по­нять, чем она определя­ется, как связана с элект­рическими параметрами разряда током, мощ­ностью, как эти связи от­ражаются в ВАХ столба.

12.7. Термическая ио­низация. Описание состо­яния равновесной плаз­мы, баланса ее энергии, которым определяется по­ле, необходимое для стационарного поддержания, в некоторых отношениях проще, чем в случае неравновесной плазмы тлеющего разряда. Мы избавлены от необходимости вникать в сложные механизмы и кинетику рождения и гибели зарядов. Электропро­водность плазмы однозначным образом определяется ее темпе­ратурой и давлением; последнее обычно известно просто из ус­ловий эксперимента. При не слишком высокой степени ионизации, когда проводимость определяется столкновениями электронов с нейтральными атомами, . Поскольку плотность электронов равновесна, основная температурная за­висимость определяется формулой Саха . При сильной ионизации не зависит от nе и пропорциональна T3/2.

Сам характер процесса ионизации отличен от того, что про­исходит в слабоионизованной неравновесной плазме. Там моле­кулы ионизуются электронами, которые приобрели необходимую для того энергию непосредственно от поля. В сильноионизованной плотной плазме действие поля как бы «обезличивается», Поле поставляет энергию всему электронному газу в целом. Электроны термализуются в результате столкновений друг с другом, приобретая максвелловское распределение. Ионизуют газ те из них, которые получили достаточно энергии не от поля, а в xqдe обмена с другими частицами. Термическая ионизация происходит совершенно независимо от того, каким путем энер­гия поступает в плазму.

Рис.12.5. Температурная зависимость удельной электрической проводимо­сти равновесных воздуха, N2, 02, Н2, p = 1 атм. точки— эксперименты, кри­вые — расчеты [4].

12.8. Уравнения столба равновесной плазмы. Рассмотрим длинный цилиндрический столб дуги в продольном поле Е. Пусть дуга стационарно горит в неподвижном газе, заключенном в охлаждаемую трубку радиуса R. Подобные условия часто встре­чаются в разрядной практике, но даже если дуга горит в сво­бодной атмосфере или оодувается потоком, такая модель дает представление о состоянии в токопроводящем канале, ибо темпе­ратура на оси разряда не очень чувствительна к внешним ус­ловиям. Будем интересоваться не слишком высокими давления­ми, для определенности - атмосферным, и не слишком сильными токами, когда температура плазмы не превышает 11 000К. Потери на излучение при этом в большинстве случаев заметно уступают теплопроводностному выносу энергии из столба, поэто­му и учитывать их не станем.

Поскольку rot Е = 0, электрическое поле в однородном по длине столбе постоянно по сечению. Радиальное распределение проводимости о, плотности тока j = Е, источников джоулева тепла w = jE = Е2 [Вт/см3] определяется только распределени­ем температуры через зависимость (Т). Баланс энергии плазмы описывается уравнением теплопроводности с энерговыделением за счет джоулева тепла:

, (12.1)

Граничные условия к нему: при r = R T = Tc, где Тc — температура стенки; при г =0 dT/dr = 0 вследствие симметрии. Температура токопроводящей плазмы гораздо выше температу­ры стенок, так что, по существу, можно положить Тc = 0. Раз­рядный ток равен

(12.2)

Сила тока регулируется на опыте и потому является зада­ваемым параметром. Поле находится в результате решения поставленной задачи, которая при известных характеристиках ве­щества , вполне определена. Так получится ВАХ столба E(i). Введение потенциала теплового потока

(12.3)

позволяет ограничиться одной материальной функ­цией вместо двух. Уравнение (3.3.11) называют уравне­нием Эленбааса - Геллера (1934 г.).

12.9. Каналовая модель и принцип минимума мощности. Не­линейный характер реальных функций о (в) не позволяет ре­шить уравнение (12.1) в общем виде аналитически. С начала 30-х годов, когда была сформулирована задача о столбе душ, стали разрабатываться различные формальные методы ее реше­ния, основанные на линеаризации функции , разбиении области интегрирования на отдельные численные зоны [4]. Для того чтобы лучше понять природу закономерностей, обра­тимся к хорошо отвечающей существу дела каналовой модели дуги, предложенной Штеенбеком в 1932 г.

При не очень высоких температурах проводимость исчезающе мала. При Т~ 4000— 6000 К она становится заметной и быстро нарастает с увеличением Т. Благодаря действию теплового потока, температура спадает от оси к стенкам более или менее равномерно. Ток же фактически протекает только в приосевой части трубки, где температура достаточно высока. Это иллюстрируется рис.12.6, при взгляде на который каналовая модель напрашивается сама собой.

Рис.12.6. Схематиче­ские распределения тем­пературы Т и проводимости по радиусу столба дуги. Штриховая линия — замена ступенькой в каналовой модели.

Введем эффективный радиус токопроводящего канала r0 и приближенно положим, что вне канала (при r > r0) и тока нет. Внутри канала (при 0 < r < rо) проводимость высока и близка к величине , соответствующей температуре на оси Tк = T(0). Каналовая модель сводится к приближенной замене истинного распределения (г) ступенчатым, показанным па рис.12.6 штриховой линией.

В этом приближении выражение (12.2) для силы тока при­обретает вид

(12.4)

а уравнение (12.2) в бестоковой зоне (rо < r <R) легко ин­тегрируется. Полагая приближенно на границе канала T0 =T(r0) ~ Т(0) = Тk, и у стенки Te = 0, находим

, , (12.5)

где W =Ei - выделение мощности в 1 см столба.

Два уравнения (12.4), (12.5) содержат три неизвестные величины: Tк, rо, Е; ток i является задаваемым параметром, как и радиус трубки R. Для получения недостающего соотношения Штеенбек предложил использовать принцип минимума мощно­сти. При заданных i и R в трубке должно установиться такое распределение температуры, а в рамках каналовой модели — такие температура плазмы Тк и радиус канала rо, чтобы мощ­ность W и поле E = W/i оказались минимальными. Расчеты ВАХ дуги на основе принципа минимума дали хорошее согласие с опытом (рис.12.7), и, в частности, это послужило причиной, по которой принцип приобрел известную популярность.

Рис.12.7. ВАХ положитель­ного столба дуги в азоте в трубке радиуса R = 1,5 см. Сплошная кривая — экспери­мент, штриховая — расчет с привлечением принципа мини­мума [4].

Однако вопрос о его правомерности, не переставая волновать пытливых исследователей, послужил предметом многих изыска­ний и дискуссий вплоть до наших дней. Поиски обоснований привели к связи с термодинамикой необратимых процессов. При­менительно к уравнениям столба дуги было показано, что прин­цип справедлив. Однако возможность его использования должна в

каждом случае подтверждаться специаль­ным анализом. Так, неосмотрительное при­менение принципа минимума к индукционному и СВЧ разрядам в рамках моделей, совершенно аналогич­ных каналовой, в отличие от дуги привело к ошибочным резуль­татам, причем их ошибочность оказалась завуалированной ка­жущимся согласием со здравым смыслом и опытом в каких-то диапазонах параметров [4].

12.10. Баланс энергии в токопроводящем канале. Не останав­ливаясь больше на вопросе о принципе минимума (подробнее см. в [4]), рассмотрим, чем же определяется температура плазмы. Для этого нет нужды в привлечении дополнительных принципов. Ведь вся информация о столбе заложена в уравне­ниях (12.1), (12.2). Начав их приближенное решение путем профилирования функции ступенькой, нужно последова­тельно довести его до конца. Интегрирование уравнения (12.1) в бестоковой зоне дало соотношение (12.4). Рассмотрим теперь область, где течет ток. Выделяющаяся в канале мощность W выносится через его границу тепловым потоком : . Поток из канала определяется реально существующим, вопреки сделанному при выводе (12.4), (12.5) допущению, небольшим перепадом температур . По порядку величины , где . Если уточнить эту оценку, проинтегрировав (3.39) в области 0 < r < r0 с прежним допущением об однородности источников , получим

, (12.6)

Новое соотношение (12.6) принесло новую неизвестную: или T0. Но до сих пор не было четко определено, что же такое канал. Умозрительное введение его характеристик - радиуса rо и температуры Тк - еще не дает базы для вычисления этих величин. Следует количествен­но установить, как мы разграничиваем условные понятия прово­дящая - непроводящая среды. Поскольку до решения задачи мы не знаем распределения тока по радиусу столба, условную гра­ницу естественно провести в том месте распределения плотности тока, где она уменьшается в определенное число раз по сравнению с максимальным значением на оси канала. Если принять во внимание большую крутизну функции , этому будет соответствовать не слишком большой перепад темпера­тур . Обычно используется приближенное интегральное соотношение

(12.7)

которое является более общим и по самому своему выводу соответствует наилучшей замене тока, распределенного по сечению трубки, током, сосредо­точенным в канале.

12.11. Температура плазмы. Приближенное соотно­шение (12.6) определяет максимальную темпе­ратуру плазмы в столбе дуги Тк в зависимости от вкладываемой в единицу длины мощности W. При фиксированной мощности Тk не зависит от радиуса трубки и согласно (12.6) мало чув­ствительна к теплопроводностным свойствам газа в непроводя­щей ток периферийной области. Температура Тк устанавливается такой, чтобы обеспечивался сбалан­сированный теплоотвод из канала в бестоковую зону. Подчерк­нем - только за пределы токопроводящего канала. Дальнейшая судьба энергии на максимальной температуре отражается мало (если зафиксирована мощность). Отсюда можно заключить, что температура мало чувствительна к способу охлаждения дуги к условиям организации разряда - в свободной атмосфере, с об­дуванием холодным потоком. Непосредственное влияние на Тк оказывает только вклад мощности в плазму, который уже в свою очередь зависит (и притом сильно) от интенсивности охлаждения. Чем больше можно отвести тепла от горячего газа, тем больше мощности в него можно вложить, сохраняя стацио­нарное состояние.

Из-за резкой зависимости проводимости от температуры для достижения более высоких температур приходится непропорцио­нально увеличивать мощность. Это видно из общих формулы (12.6), но становится еще более наглядным, если найти явную зависимость Tk(W) путем задания функции (Т) с эффективным потенциалом ионизации:

(12.7)

Температура растет в среднем даже медленнее, чем Wl/2, так как в общем теплопроводность повышается с ростом Т. Сдела­ем оценку для угольной дуги в атмосферном воздухе при токе i = 200 А, когда измерения показали Тк ~ 10 000К. Согласно ВАХ, поле в этих условиях, по-видимому, составляет Е ~ 2,5 В/cм, откуда W = 500 Вт/см. Со значением = 1,5 ·10-2 Вт/(см·К) и Iэф = 6,2 эВ по формуле (12.7) найдем Tk = 9800 К, в разумном согласии с измерениями.

При относительно слабом токе (i =10 А) в воздухе (р = 1 атм), согласно ВАХ, Е = 20 В/см, W = = 200 Вт/см. Формула (12.7) дает оценку Tk = 7000 К ( ~ 2 ·10-2 Вт/(см·К), Iэф = 10 эВ - выше, так как степень иони­зации мала (2·10-4)).