а) 264; б) 13332; в) 67332.

Ответы: а) 66+66+66+66=264; б) 6666+6666; в) 66666+666.

Задача №2: Применяя знаки сложения, можно восьмью восьмёрками записать число 1000:

888+88+8+8+8. Используя знаки арифметических действий и скобки, запишите число 1000 восьмью восьмёрками другим способом.

Ответ: ():8 или (88+88)8-8-8-8.

Задача №3: Применяя знаки арифметических действий и скобки, запишите:

а) семью семёрками 700; ((777+7) (7+7):7);

б) тремя пятёрками 1; ();

в) десятью четвёрками 500. (4444 (4+4):4-4-4-4).

Задача №4: Между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 расставьте знаки арифметических действий и скобки так, чтобы полученное выражение имело значение 100.

Ответ: 1+2+3+4+5+6+7+89.

Задача №5: Дана последовательность чисел, в которой числа записаны по некоторому правилу.2, 7, 4, 9, 6, 11, 8,…,…. Запишите следующие два числа.

Ответ: 10, 13 (чередуются чётные и нечётные).

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: Цифрами 0, 1, 2, 3 запишите наибольшее и наименьшее шестизначное число. Каждую цифру использовать не менее одного раза.

Задача №2: Напишите наибольшее и наименьшее десятизначное число, все цифры которого различны.

Задача №3: Запишите в строчку три числа так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была чётная, а сумма всех чисел была нечётная.

Задача №4: Запишите в строчку три числа так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была нечётная, а сумма всех чисел была чётная.

Задача №5: Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

Задача №6: В записи числа 16+12:4+212 расставьте скобки так, чтобы получилось:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

а) наименьшее возможное число;

б) наибольшее возможное число.

Урок №2.

Тема: Переливания.

Задача №1: Имеются два сосуда вместимостью 3 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 4 л воды?

Решение: Начнём с конца. Из пятилитрового сосуда отлить 1 л. Как это сделать? Надо в трёхлитровом иметь ровно 2 л. Как их получить? Из пятилитрового сосуда отлить 3 л.

Задача №2: Имеются два сосуда вместимостью 17 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 13 л воды?

Ответ: Решение задачи задаётся числовым выражением

5-()+5+5.

Задача №3: В первый сосуд входит 8 л, и он наполнен водой. Имеются ещё два пустых сосуда ёмкостью 5 л и 3 л. Как с помощью этих сосудов отмерить ровно 1 л?

Решение: Из восьмилитрового переливаем в трёхлитровый, из трёхлитрового переливаем в пятилитровый. Опять из восьмилитрового переливаем в трёхлитровый, а из трёхлитрового переливаем в пятилитровый (сюда входят ещё 2 л), а в трёхлитровом остаётся 1 л.

Задача №4: Как разделить поровну между двумя сыновьями 12 л хлебного кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами в 8 л и 3 л?

Решение: Из первого переливаем в третий 3 л, в первом остаётся 9 л. Из третьего переливаем во второй 3 л. Опять из первого в третий переливаем 3 л, в первом остаётся 6 л, а во втором и третьем по 3 л. Из третьего во второй переливаем и получаем 6 л.

Задача №5: Имеются два типа песочных часов. Одни отмеряют 7 мин, а другие – 11 мин. Как с их помощью отмерить 15 мин, необходимых, чтобы сварить вкрутую яйцо?

Решение: Одновременно ставим часы. Как 7 мин пройдёт, по другим часам останется 4 мин, и ещё раз их переворачиваем (4+11=15).

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: Как, имея лишь два сосуда 5 л и 7 л, налить из водопроводного крана 6 л воды?

Задача №2: Бидон, ёмкость которого 10 л, наполнен керосином. Имеются ещё пустые сосуды в 7 л и 2 л. Как разлить керосин в два сосуда по 5 л каждый?

Задача №3: Имеются песочные часы в 3 мин и 7 мин. Как с их помощью отмерить 4 мин?

Задача№4: Имеются три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 л. Первый из них наполнен водой. Как разлить воду в два из этих сосудов так, чтобы в каждом было по 4 л?

Урок №3.

Тема: Взвешивания.

Задача №1: У хозяйки есть рычажные весы и гиря в 100 г. Как за три взвешивания она может отвесить 700 г крупы?

Решение: придётся использовать взвешенную крупу в качестве гири.

Задача №2: На одной чашке весов лежат 6 одинаковых яблок и 3 одинаковые груши, на другой чашке – 3 таких же яблока и 5 таких же груш. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко или груша?

Решение: Представим, что мы сняли с каждой чаши весов поровну: 3 яблока и 3 груши. 3 ябл = 2 груш, яблоко легче.

Задача №3: имеется три мешка с монетами, в двух их них настоящие монеты весом 10 г каждая, а в одном фальшивые монеты весом 9 г каждая. Есть весы, показывающие общий вес положенных на них монет. Как с помощью одного взвешивания найти, в каком мешке фальшивые монеты, если из любого мешка можно брать любое число монет для взвешивания?

Решение: Взвешивать одну монету из какого-либо мешка не стоит, так как может понадобится ещё одно взвешивание. Взвешивать три монеты – по одной монете из каждого мешка – незачем, их вес известен: 10+10+9=29 г. Возьмём из первого мешка 1 монету, из второго - 2 монеты, из третьего - 3 монеты. Возможны три случая:

1)  фальшивые монеты в первом мешке, тогда вес взятых монет 19+210+310=59 г;

2)  фальшивые монеты во втором мешке, тогда вес взятых монет 110+29+310=58 г;

3)  фальшивые монеты в третьем мешке, тогда вес взятых монет 110+210+39=57 г.

Заметим, что в первом, втором и третьем случаях вес взятых монет на 1, 2, 3 г отличается от веса того же количества настоящих монет, т. е. от (1+2+3)10=60 г. Это означает, что, взвесив 6 монет и получив результат 59, 58 или 57 г, мы будем знать, сколько граммов не хватает до 60 г, - это число укажет нам номер мешка с фальшивыми монетами.

Задача №4: Из девяти монет одна фальшивая – она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?

Решение: три монеты на одну чашу весов, три - на другую, а ещё три - в сторону.

Задача №5: Из трёх одинаковых с виду монет одна фальшивая, но неизвестно, она тяжелее или легче остальных. Как определить фальшивую монету, сделав не более двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?

Решение: одну в сторону, а две - на чаши весов, если в равновесии, то фальшивая в стороне; не в равновесии, то при втором взвешивании сравнить с настоящей.

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: Груша и слива весят столько, сколько весят 2 яблока; 4 груши весят столько, сколько весят 5 яблок и две сливы. Что тяжелее: 7 яблок или 5 груш?

Задача №2: На плохо отрегулированных весах бабушка взвесила два пакета сахарного песка – получилось 500 г и 300 г. Когда же она взвесила на тех же весах оба пакета вместе, то получилось 900 г. Определите по этим данным вес каждого пакета.

Задача №3: Из трёх монет две настоящие и одна фальшивая – она легче остальных. Как за одно взвешивание на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?

Задача №4: Как определить вес тела, если коромысла чашечных весов «неправильные», а гири «правильные»?

Задача №5: Из трёх одинаковых по виду колец одно несколько легче других, имеющих одинаковые массы. Как за одно взвешивание найти более лёгкое кольцо?

Урок № 4-5.

Тема: Признаки делимости.

С признаками делимости на 2, 3, 5, 9, 10 дети познакомились при изучении общего курса математики.

Познакомимся ещё с несколькими признаками.

Признак делимости на 4: Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях - не делится.

Признак делимости на 8 (подобен предыдущему): Число делится на 8, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях - не делится.

Признак делимости на 6: Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и 3.

Признак делимости па 25: На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25

(т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50, 75).

Признак делимости на 11: На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Примеры: Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечётные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих чётные места, 0+7+5=12. число 9163627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечётные места, есть 9+6+6+7=28, а сумма цифр, занимающих чётные места, есть 1+3+2=6, разность между числами 28 и 6 равна 22, а это число делится на 11.

Задача №1: Делятся ли числа на 4: 31700, 16608.

Задача №2: Делятся ли числа 8: 111120.

Задача №3: Делятся ли числа на 25: 7150, 4855.

Задача №4: Делятся ли числа на 11: 3785493.

Задача №5: Сформулируйте признак делимости на 50.

Задача №6: Сформулируйте признак делимости на 18.

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: Делятся ли числа на 6: 126, 253124.

Задача №2: Сформулируйте признак делимости на 12.

Задача №3: Число 82** делится на 90. Найдите делимое.

Задача №4: Придумайте число, делящееся на 11, в записи которого использованы все десять цифр по одному разу.

Задача №5: Сформулируйте признак делимости на 14.

Урок № 6.

Тема: Наибольший общий делитель.

Рассмотрим алгоритм Евклида для нахождения НОД:

Лемма: Пусть a и b- натуральные числа и r – остаток от деления a на b. Тогда наибольший общий делитель чисел a и b равен наибольшему общему делителю чисел b и r, т. е. (a, b)=(b, r).

Пример: Найти НОД(645, 381).

Решение: Разделим (с остатком) 645 на 381. Мы получим:

645=3811+264.

По лемме НОД(645, 381)=НОД(381, 264). Замечаем, что числа стали немного поменьше. Разделим (с остатком) 381 на 264. Мы получим:

381=2641+117.

НОД(381, 264)= НОД(264, 117). Далее аналогично:

264=1172+30.

НОД(264, 117)= НОД(117, 30).

117=303+27.

НОД(117, 30)= НОД(30, 27).

30=271+3.

НОД(30, 27) = НОД(27, 3).Значит,

НОД(645, 381)= НОД(27, 3).

27=39+0, т. е. 27 делится на 3. Значит, НОД(27, 3) =3.

Т. о. НОД (645, 381)= 3.

Приём отыскания НОД, применённый в этом примере и, и представляет собой алгоритм Евклида.

Таким образом, если мы будем шаг за шагом проводить указанным способом деление с остатком, то последний отличный от нуля остаток и будут наибольшим общим делителем данных чисел.

Задача: Найдите с помощью алгоритма Евклида

НОД(846, 246), НОД(1960, 588)

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: Найдите с помощью алгоритма Евклида

НОД(15283, 10013).

Задача №2: Найдите с помощью алгоритма Евклида

НОД(345, 235).

Задача №3: Сократите дробь .

Урок № 7.

Тема: Наименьшее общее кратное.

Наименьшее общее кратное мы используем при приведении дробей к общему знаменателю (а также при сложении и вычитании дробей): наименьшее общее кратное всех знаменателей представляет собой наименьший общий знаменатель, к которому могут быть приведены рассматриваемые дроби.

Теорема: Для любых двух натуральных чисел a и b произведение их наибольшего общего делителя на их наименьшее общее кратное равно произведению самих чисел.

.

Следствие: Наименьшее общее кратное двух чисел можно находить по формуле:

Пример: Найти НОК(645, 381).

Решение:

НОК(645, 381)=645381/НОД(645, 381)=215381=81915.

Задача №1: Найдите НОК(846, 246), НОК(1960, 588).

Задача №2: Приведите дроби и к общему знамена

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: Найдите НОК(1960, 588).

Задача №2: Сложите дроби и .

Задача №3: Найдите НОК(182, 204).

Урок № 8.

Тема: Задачи на делимость.

Задача №1: Пять участников олимпиады стали её победителями, набрав по 15, 14, 13 баллов и заняв соответственно первое, второе и третье места. Сколько участников завоевали каждое призовое место, если вместе они набрали 69 баллов?

Решение: Три участника заняли три первых места, значит, набрали 42 балла. Поэтому два других участника набрали 69-42=27 баллов, т. е. один из них набрал 14, а другой 13 баллов, и т. о., заняли второе и третье места.

Задача №2: Можно ли число 1974 представить как разность квадратов двух натуральных чисел?

Решение: 1974 делится на 2, но не делится на 4, в то время как если разность a2‑b2 чётна, то чётны и a-b и a+b, следовательно, a2‑b2 делится на 4. Ответ: нельзя.

Задача №3: Коля и Петя купили одинаковые беговые лыжи. Сколько стоит одна пара лыж, если Петя уплатил стоимость лыж трёхрублёвыми билетами, а Коля – пятирублёвыми, а всего они дали в кассу меньше 10 кредитных билетов.

Решение: Стоимость лыж делится на 3 и на 5, значит, на 15. Каждые 15 рублей Петя уплатил пятью, а Коля – тремя билетами, значит, количество кредитных билетов, которые оба дали в кассу, кратно 8, а т. к. оно меньше 10, то оно равно 8, значит, лыжи стоят 15 р.

Задача №4: Сколько всевозможных делителей имеет число:

а) ; б) ?

Решение: а) (10+1)(2+1)=33; б) 346=72.

Задача №5: Если целые числа a и b делятся на целое число m, то и сумма a+b делится на m. Докажите это.

Решение: По определению делимости существуют такие целые числа k и l, что a=km, b=lm. Имеем: a+b=km+lm=(k+l)m.

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

Задача №2: Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них 97?

Задача №3: Делится ли число на 5?

Задача №4: При каких натуральных n число целое?

Задача №5: Если целые числа a и b делятся на целое число m, то и разность a-b делится на m. Докажите это.

Урок № 9.

Тема: Решение олимпиадных задач.

Задача №1: Разделите сад (рис. 1) на четыре равные части.

Решение: рис. 2.

Задача №2: Можно ли из таблицы (рис. 3) выбрать пять чисел, сумма которых равна 50?

Решение: все числа в таблице нечётные, а сумма пяти нечётных чисел – число нечётное, поэтому нельзя.

Задача №3: Проведите через шесть точек четыре прямые так, чтобы на каждой прямой было по три точки.

Решение: рис. 4, 5.
 
 

1

15

17

3

13

19

5

11

21

7

9

23
 
 

рис. 1 рис. 2 рис. 3

рис. 4 рис. 5 рис. 6

Задача №5: УРАН

+УРАН

НАУКА

Решение подобных задач достигается не механическим перебором вариантов, а строго логическим. Можно рассуждать, например, так:

сумма двух четырёхзначных чисел равна пятизначному. Это возможно, если буква Н = 1 , следовательно, А=2, следовательно, К=4 (в ответе: 12У42), следовательно, У=6,

следовательно, Р=3. Получаем: 6321+6321=12642.

Задача №6: Восстановите цифры в примере,

ВОРОН

+ СТАЯ

ЛЕТЕЛА

если разные буквы означают разные цифры, и число СТО делится на 139.

Решение: Заметим, что сумма пятизначного и четырёхзначного чисел может быть шестизначной только когда первая цифра суммы 1, вторая цифра 0, а первая цифра пятизначного числа 9. Поэтому данный пример принимает вид 9ОРОН+СТАЯ=10Т01А. Т. к. СТО делится на 139, то оно является одним из следующих чисел: 139, 278, 417, 556, 695, 834, 973, и поскольку разные буквы означают разные числа, то надо рассмотреть только два случая: СТО=278 и СТО=834.

В первом случае в разряде тысяч «сверху вниз» стоят цифры 8, 2, 7, но при сложении 8+2 даже при переносе единицы из разряда сотен не может получиться цифра 7, и, следовательно, этот случай невозможен, т. е. =834. Теперь пример принимает вид 94Р4Н+83АЯ=10301А.

Ясно, что при сложении в разряде десятков переносится единица, и поэтому Р=6, и из того же разряда десятков видно, что А=7. Для букв Н и Я остаются две возможности: одна из них 2, другая 5.

Т. о., данный пример расшифровывается двумя способами: =94642, =94645.

Задача №7: Восстановите цифры в примере:
 
ДВА

ДВА

****

***В

Е*** 

ЧЕТЫРЕ

Решение: буква А обозначает не 1, не 5 и не 6, т. к. последние цифры множителей и произведения разные. Значит, втрое частное произведение ДВА*В=***В может оканчиваться буквой В, только если она означает 5, а буква А – какую-нибудь нечётную цифру.

Из столбца шестого разряда видно, что Е меньше Ч. Следовательно, Е не может оюозначать9, поэтому (см. первый разряд произведения) А не может быть 3 или 7. Отсюда А=9, Е=1.

После этого несложно найти, что Ч=2, Д=4. Окончательно,
 
459

459

4131

+ 2295

1836  

210681

Решение единственное.

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: Восстановите цифры в примере:

1)  ТУЗИК 2) СПОРТ 3) РЕБУС

+ ТУЗИК + СПОРТ * Р

КАРТУЗ КРОСС ССССС

Задача №2: Тетрадь, ручка, карандаш, книга стоят 37 руб. Тетрадь, ручка, карандаш стоят 19 руб. Книга, ручка, карандаш стоят 35 руб. Тетрадь и карандаш вместе стоят 5 руб. Сколько стоит каждая вещь в отдельности?

Задача №3: Проведите через 10 точек пять прямых так, чтобы на каждой было по четыре точки.

Урок № 10-11.

Тема: Принцип Дирихле.

Принцип Дирихле выражает соотношение между двумя множествами. Существует несколько формулировок данного принципа. Самая популярная следующая: «Если в n клетках сидит m зайцев, причём m>n, то хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два зайца».

Задача №1: В магазин привезли 25 ящиков с яблоками 3-х сортов, причём в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками какого-то одного сорта?

Решение: Самый неблагоприятный случай, когда 8 ящиков по 3 сорта (38=24). Но, у нас есть ещё один ящик 25-й, т. е. можно утверждать, что по крайней мере в 9 ящиках будут яблоки одного сорта.

Другой способ рассуждения: предположим, что 9 ящиков с яблоками одного сорта нет, тогда их не больше 8, а т. к. сортов 3, тогда всего ящиков не больше 38=24, а их 25. Противоречие. Следовательно, есть 9 ящиков одного сорта.

Задача №2: В школе 370 человек. Докажите, что среди всех учащихся найдутся два человека, празднующие свой день рождения в один и тот же день

Решение: В году дней, значит, учащихся с различными днями рождения может быть не больше , а в школе 370 учащихся; значит, найдутся 2 человека, празднующие свой день рождения в один и тот же день.

Задача №3: Коля подсчитал, что за день в завтрак, обед и ужин он съел 10 конфет. Докажите, что хотя бы один раз он съел 4 конфеты.

Решение: 10/3=3 (ост. 1). Следовательно, один раз он съел 4 конфеты.

Задача №4: Пять мальчиков собрали вместе 14 грибов, каждый нашёл хотя бы 1 гриб. Докажите, что хотя бы 2 мальчика нашли одинаковое число грибов.

Решение: В худшем случае у пяти мальчиков могло быть различное число грибов, а всего 1+2+3+4+5=15, но грибов было 14, следовательно, кто-то один нашёл на один гриб меньше, кроме первого. Тогда найдутся два мальчика, которые нашли одинаковое число грибов.

Задача №5: Учительница объявила результаты диктанта. Больше всего ошибок было у Пети - 13. Докажите, что среди 28 учащихся, допустивших ошибки, найдутся три человека с одинаковым числом ошибок.

Решение: Наибольшее число учащихся, имеющих разное число ошибок, -13 (от 1 до 13). Если бы одинаковое число ошибок имели по 2 человека, то их было бы 213=26. Из 28 учащихся найдутся трое имеющих одинаковое число ошибок.

Задача №6: В классе 25 учащихся. Из них 20 занимаются английским языком, 17 увлекаются плаванием, 14 посещают математический кружок. Докажите, что в классе найдётся хотя бы один ученик, который занимается английским, увлекается плаванием и посещает матем. кружок.

Решение: Занимаются английским и увлекаются плаванием не меньше 20+17-25=12 человек, кроме них – в классе не больше 25-12=13 человек, а посещают матем. кружок 14, значит, в классе найдётся хотя бы один ученик, который занимается английским, увлекается плаванием и посещает матем. кружок.

Задача №7: В классе 33 ученика, а сумма их возрастов составляет 430 лет. Справедливо ли утверждение, что найдутся в классе 20 учащихся, сумма возрастов которых больше260?

Решение: Если бы сумма возрастов 20 старших учащихся класса была не больше 260, то среди них были бы ученики в возрасте не больше 13 лет, значит каждый из 13 младших школьников не старше 13 лет, откуда сумма их возрастов не превышает 1313=169, но тогда сумма возрастов всех одноклассников не превышала бы 260+169=429 лет, что противоречит условию задачи. Итак, от противного доказано, что сумма возрастов 20 старших школьников больше 260.

Задача №8: Доказать, что из любых трёх целых чисел можно найти два, сумма которых делится на 2.

Решение: Среди трёх целых чисел обязательно найдутся два числа одинаковой чётности (так как чисел 3, а классов - чётных и нечётных чисел – лишь два). Сумма их, очевидно, делится на два.

В худшем случае.

Задача №9: В непрозрачном мешке лежат 5 белых и 2 чёрных шара.

а) Какое наименьшее число шаров надо вытащить из мешка, чтобы среди них обязательно оказался хотя один белый шар?

Решение: Какой случай здесь самый худший? Очевидно, тот, когда мы будем вытаскивать всё время только чёрные шары. Если мы вытащим 3 шара, то тогда уж точно из трёх шаров по крайней мере один шар будет белым.

б) Сколько шаров надо вытащить, чтобы среди них обязательно оказался хотя бы один белый и хотя бы один чёрный?

Решение: Худшим здесь будет случай, когда мы сначала будем вытаскивать одни белые шары и только потом попадётся один чёрный шар. Поэтому потребуется вытащить 5+1=6 шаров. Отметьте, что случай, когда сначала попадаются одни чёрные шары, «лучше», поскольку уже третий шар окажется белым. Выбор «худшего» случая зависит от того, каких шаров больше – белых или чёрных.

в) Какое наименьшее число шаров надо вытащить, чтобы среди них наверняка оказались 3 белых шара и 1 чёрный?

Решение: В худшем случае мы сначала вытащим все белые шары, и затем лишь пойдут чёрные. Тогда придётся вытащить 5+1=6 шаров. (Убедитесь, что в случае, когда сначала идут чёрные, а потом белые шары, число вытаскиваемых шаров будет меньше).

г) Сколько шаров надо вытащить, чтобы среди них оказались 2 шара одного цвета?

Решение: Худший случай – когда сначала идут шары разных цветов. Это возможно, если мы вытащим 2 шара, А если мы вытащим третий, то уже будем иметь 2 шара одного цвета.

Задача №10: На карточках написаны двузначные числа. Сколько карточек нужно взять не глядя, чтобы по крайней мере одно делилось: а) на 2; б) на 7?

Решение:

а) В худшем случае, «вытаскивая из мешка» числа от 10 до 99, мы сначала будем иметь только нечётные числа – их 45, и поэтому 46-е число обязательно будет чётным.

б) Среди 90 чисел от 10 до 99 имеется всего 13 чисел, делящихся на 7. То есть в худшем случае мы вытащим сначала 90-13=77 чисел, не делящихся на 7, но 78-е число уже Тосно будет делиться на 7.

Задача №11: В коробке, которая стоит в тёмной комнате, лежат 10 пар коричневых и 10 пар чёрных перчаток одного размера. Сколько перчаток нужно взять из коробки, чтобы среди них оказалась пара перчаток одного цвета?

Решение: В худшем случае можно вытащить сначала 10 перчаток одного цвета на одну руку и 10 перчаток другого цвета тоже на одну руку – из них нельзя составить ни одной пары. Лишь вытащив 21-ю перчатку (всё равно какого цвета), можно составить требуемую пару.

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: В школе 20 классов. В ближайшем доме живёт 23 ученика этой школы. Можно ли утверждать, что среди них обязательно найдутся хотя бы два одноклассника?

Задача №2: В классе 37 человек. Докажите, что среди них найдутся 4 человека, родившиеся в один и тот же месяц.

Задача №3: В ящике лежат разноцветные шарики: 5 белых, 12 красных, 20 чёрных. Какое наименьшее число шариков надо вынуть из ящика, не заглядывая внутрь, чтобы среди них оказалось:

а) хотя бы по одному шарику всех указанных цветов (33);

б) 10 шариков одного цвета (24).

Задача №4: В классе 35 учеников. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной буквы?

Задача №5: В школе 33 класса, 1150 учеников. Найдётся ли класс, в котором меньше 35 учеников?

Урок № 12.

Тема: Быстрое умножение.

Умножение трёхзначного числа на трёхзначное осуществляется по следующей схеме (ответ записывается справа налево):

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9