Формирование познавательных умений во внеурочной деятельности по математике в 5-6 классах с учётом государственных образовательных стандартов нового поколения (стр. 8 )

Задача №1: Вычислить: а) 9587; б) 8396; в) 9787.

Урок № 31.

Тема: Решение олимпиадных задач.

Задача №1: Вычислите:

Решение:

Задача №2: Что больше ?

Решение: для сравнения этих дробей дополним каждую из них до 1:

Задача №3: Сумма четырёх последовательных чётных чисел равна 3348. Найти их.

Решение: пусть 2n - первое число, 2n+2- второе, 2n+4 – третье, 2n+6- четвёртое. Составим уравнение и решим:

2n+(2n+2)+(2n+4)+(2n+6)=3348;

n=417.

Ответ: 834, 836, 838, 840.

Задача №4: Найти сумму всех нечётных чисел от 1 до 199.

Решение:

1+3+5+…+195+197+199=(1+199)+(3+197)+99101=20050=10000.

Задача №5: На какую цифру оканчивается число?

А на какие цифры оканчиваются числа , , ?

Решение: поскольку нас интересуют только последние цифры результатов, достаточно определить последние цифры чисел

Число 9 при возведении в степень два варианта последних цифр: 9 (если степень нечётная) и 1 (если степень чётная). Это означает, что имеет последнюю цифру 9, а - цифру 1.

Число 2 при возведении в степень может давать следующие последние цифры: 2, 4, 8, 6. Если показатель степени при делении на 4 даёт остаток 1 – последняя цифра 2; если остаток 2 – последняя цифра 4; остаток 3 – последняя цифра 8; без остатка – последняя цифра 6. Следовательно, имеет последнюю цифру 2, а - цифру 6.

Задача №6: Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 5, 6 (Цифры в записи числа не повторяются)?

Решение:

4321=24(или 4 ), т. к. цифры не повторяются и :

на 1-м месте может быть любая из четырёх цифр;

на 2-м месте может быть любая из оставшихся трёх цифр;

на 3-м месте может быть любая из оставшихся двух цифр;

на 4-м месте – оставшаяся цифра.

Задача №7: Докажите, что 13+132+133+134+...+132001+132002 делится нацело на 7.

Решение:

13+132+133+134+...+132001+132002=13(1+13)+133(1+13)+...

+132001(1+13)=14(13+133+...+132001). Т. к. 14 нацело делится на 7, то и само число делится нацело на 7.

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: Найти сумму всех нечётных чисел от 1 до 199.

Задача №2: На какую цифру оканчивается число ?

Задача №3: Найдите значение дроби: .

Задача №4: Сумма шести последовательных чётных чисел равна 3018. Найдите эти числа.

Задача №5: Вычислите: ...-1+0+1+2+...+98+99+100.

Урок № 32.

Тема: Проценты.

Задача №1: При переоборудовании котельной установки, потребляющей 100 кг топлива в час, были применены два усовершенствования: одно – дающее 25 % экономии топлива, и другое – дающее 20 %. Сколько кг топлива стала потреблять установка после переоборудования в течение часа?

Решение:

1)  100-0,25100=75(кг) – расход топлива (с одним усовершенствованием);

2)  75-0,275=60(кг) – потребление топлива в час после полного переоборудования.

Задача №2: Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов?

Решение:

1)  100-0,99100=1 (кг) – масса сухого вещества;

2)  100-98=2% - доля сухого вещества после подсушивания;

3)  Составим пропорцию:

1 кг – 2%

x кг – 100%

x=50 кг.

Задача №3: Цена билета для входа на стадион была 180 р. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50%, а выручка выросла на 25%. Сколько стоил билет после снижения входной платы?

Решение: входная плата с каждых двух зрителей до снижения была 360 р. После снижения вместо каждых двух зрителей стадион посещали 3 человека, платившие 360+90=450 р. Стоимость билета 450/3=150 р.

Задача №4: Морская вода содержит 5% соли (по весу). Сколько кг пресной воды нужно прибавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в смеси составляло 2 %?

Решение: В 40 кг морской воды содержится воды 40 (5/100)=2 кг соли, что будет составлять 2 % от нового количества воды, значит, новый раствор составит 2/(2/100)=100 кг, поэтому следует добавить 100-40=60 кг пресной воды.

Задача №5: Влажность свежескошенной травы 60%, сена 15%. Сколько сена получится из одной тонны свежескошенной травы?

Решение: В 1 тонне свежескошенной травы 60% влаги, т. е. – 600 кг, поэтому сухой массы =400 кг. Эта масса в сене составит 85%, откуда вес сена составит 400/(85/100)=470 и 10/17 кг.

Задача №6: Рыночная цена картофеля повысилась на 20%. Через некоторое время цена картофеля понизилась на 20%. Когда картофель стоил дешевле: до повышения или после снижения цены и на сколько процентов?

Решение: Если цену картофеля до повышения принять за 100 частей, то после повышения она составила 120 частей, а после снижения на 20% цена уменьшилась на 120/(20/100)=24 части и стала равна 120-24=96 частей, т. е. составит 96%от исходной цены, т. е. после снижения картофель стал стоить на 4% дешевле.

Задача №7: На конечной остановке в трамвай сели пассажиры, и половина их заняла места для сидения. Сколько человек сели на конечной остановке в трамвай, если после первой остановки число пассажиров увеличилось на 8% и известно, что трамвай вмещает не больше 70 человек?

Решение: Искомое число пассажиров делится на 2 и, кроме того, 8/100 или 2/25 от этого числа есть число целое. Следовательно, искомое число делится на 2 и на 25, т. е. на 50, а т. к. оно не превосходит 70, то равно 50.

Задача №8: По пенсионному вкладу сбербанк выплачивает 30% в год. Чему будет равен вклад через 2 года, через 3 года.

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков % воды в свежих грибах?

Задача №2: За весну Обломов сбавил в весе 25%, за лето прибавил 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел или поправился он за год?

Задача №3: Как изменится цена товара, если сначала её увеличить на 100%, а затем уменьшить на 50%?

Задача №4: Путешественник в первый день прошёл 20% всего пути и 2 км. Во второй – прошёл 50% остатка и ещё 1 км. В третий день – 25% оставшегося пути и ещё 3 км. Остальные 18 км пути он прошёл в четвёртый день. Какова длина пути, пройденного путешественником?

Задача №5: Магазин продал одному покупателю 25% имеющегося в куске полотна, второму покупателю – 30% остатка, а третьему – 40% нового остатка. Сколько процентов полотна осталось непроданным?

Урок № 33.

Тема: Логические задачи.

Задача №1: Предположим, что справедливы следующие утверждения:

а) среди людей, имеющих телевизоры, есть такие, которые не являются малярами,

б) люди, каждый день купающиеся в бассейне, но не являющиеся малярами, не имеют телевизоров.

Следует ли отсюда, что справедливо утверждение:

в) не все владельцы телевизоров каждый день купаются в бассейне?

Решение: По условию а) среди владельцев телевизоров заведомо есть не маляры. По условию б) ни один из них не может ежедневно купаться в бассейне (ибо не маляры, ежедневно купающиеся в бассейне, не имеют телевизоров), значит, утверждение в) справедливо (не все владельцы телевизоров ежедневно купаются в бассейне).

Задача №2: Каково наибольшее число утверждений из приводимых ниже, которые одновременно могут быть истинными:

а) Джо ловкач;

б) Джо не везёт;

в) Джо везёт, но он не ловкач;

г) если Джо ловкач, то ему не везёт;

д) Джо является ловкачом тогда и только тогда, если ему не везёт;

е) либо Джо ловкач, либо ему везёт, но не то и другое одновременно.

Решение: 4 утверждения: а), б), г), е).

Задача №3: В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съела трёх щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут насытиться?

Решение: Если, например, 7 щук насытятся (съев каждая по три голодные щуки), то останутся еще две голодные, которые насытятся (съев каждая по три ранее насытившиеся щуки); итак, общее количество насытившихся щук равно 9. Покажем, что 9 – наибольшее количество насытившихся щук.

Пусть k - число оставшихся щук, n – число насытившихся, тогда 3n – число проглоченных щук, поэтому (если каждая щука или насытится, или не съест ни одной щуки) k+3n=30, значит, k=3m и m+n=10. Т. к. заведомо останутся несъеденные щуки, то , значит, наибольшее значение n=9.

Задача №4: a и b – целые положительные числа. Известно, что из следующих четырёх утверждений:

а) a+1 делится на b;

б) a равно 2b+5;

в) a+b делится на 3;

г) a+7b – простое число,

три верных, а одно неверное. Найдите все возможные пары a, b.

Решение: Заметим, что из в) что a+b делится на 3, следует a+7b=(a+b)+6b делится на 3, значит a+7b – не простое число, т. е. одно из утверждений в) или г) - ложно, и, следовательно, а) и б) – истинны. Тогда a = 2b+5, откуда a+b=2b+5+b=(3b+5), т. е. a+b не делится на 3, значит, в) ложно и, следовательно, истинны утверждения:

а) a+1=kb, б) a=2b+5, г) a+7b – простое число, откуда 2b+6=kb, т. е. b(k-2)=6.

Т. о. возможны значения b=1, 2, 3, 6 и соответственно a=2b+5=7, 9, 11,17. Т. к. a+7b – простое число и больше двух, то a+7b – нечётное, значит (т. к. a - нечётно), b чётно, отсюда b=2, a=9; b=6,a =17.

Задача №5: Найти натуральное число А, если из трёх следующих утверждений два верны, а одно – неверно:

а) А+51 есть точный квадрат;

б) последняя цифра числа А есть единица;

в) А-38 есть точный квадрат.

Ответ: 1974.

Задача №6: Олег, Игорь и Аня учатся в 6 классе. Среди них есть лучший математик, лучший шахматист и лучший художник. Известно, что:

а) Аня никогда не проигрывала мальчикам в шахматы;

б) лучший художник не нарисовал своего портрета, но нарисовал портрет Игоря.

Кто в классе лучший математик, лучший шахматист, лучший художник?

Решение: Т. к. Аня не проигрывала мальчикам в шахматы, то она – лучший шахматист. Т. к. художник не нарисовал своего портрета, а нарисовал портрет Игоря, то Игорь - лучший математик, а Олег - лучший художник.

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: В правительстве 20 министров. По крайней мере один из них честен. Из любых двух министров хотя бы один продажен. Сколько честных министров?

Задача №2: Дело происходит на острове, где живут рыцари (они всегда говорят правду) и лжецы (они всегда лгут). Каждый из собравшихся на площади жителей заявил остальным: «Вы все - лжецы». Сколько рыцарей среди них было?

Задача №3: Человек говорит: «Я лжец». Является ли он жителем острова?

Задача №4: В трёх мешках находятся крупа, вермишель и сахар. На одном мешке написано «крупа», на другом – «вермишель», на третьем – «крупа или сахар». В каком мешке что находится, если содержимое каждого из них не соответствует надписи?

Задача №5: Пришёл Иван-царевич в подземелье к Кащею Бессмертному Василису Прекрасную освобождать. В подземелье три темницы. В одной из них томится Василиса, в другой расположился Змей Горыныч, а третья темница – пустая. На дверях есть надписи, но все они ложные. На первой темнице написано: «»; на второй: «Темница №3 не пустая»; на третьей: «Здесь Змей Горыныч». В какой же темнице Василиса?

Урок № 34.

Тема: Координаты на плоскости.

1) Игра «Морской бой».

Каждый, игравший в «Морской бой», знает, что клетки доски в этой игре обозначаются парой – буква и число. Мы будем обозначать клетки парой чисел. При этом первое число – номер столбца, а второе – номер строки.

Правила игры:

1.  Каждый из двух играющих размещает на доске свои корабли: один линкор (полоска из четырёх клеток), два авианосца (полоска из трёх клеток), три крейсера (две клетки рядом) и четыре катера (одна клетка). При этом корабли не должны соприкасаться даже углами.

2.  Каждый по очереди производит по серии выстрелов до первого промаха. После каждого выстрела соперник сообщает одно из трёх: ранил (значит, выстрел попал в корабль, но часть клеток корабля ещё цела), убил (поражена последняя клетка раненого корабля), промах.

Выигрывает тот, кто первым поразит все корабли вражеской флотилии.

2) а) Игра «Остров Сокровищ».

На остове Сокровищ была пещера, в которой капитан Флинт спрятал свои сокровища. Вход в пещеру был тщательно замаскирован, и найти его мог только старый пират Бен Ганн. Перед смертью Бен Ганн решил оставить для потомков шифрованное письмо – описание пути, ведущего к кладу, и места, где он спрятан.

Поскольку старый пират получил в своё время неплохое образование, он решил для своих целей воспользоваться методом координат. Он взял карту острова, нарисовал на ней оси координат, выбрал единицы. В качестве главных ориентиров он указал координаты четырёх дубов:

(3; 5), (-2; 7), (-3; 4), (3; -1).

Клад находился в точке пересечения прямых, соединяющих первый и третий, второй и четвёртый дубы.

Начертите в тетради координатную плоскость (за единичный отрезок можно выбрать расстояние в две клетки). Постройте точки, соответствующие местонахождению дубов, и определите координаты пещеры с сокровищами. А теперь начните заполнять карту острова Сокровищ. Нанесите на карту различные объекты(колодец, наблюдательную вышку, склад, пальмовую рощу и т. д.), опишите их положение с помощью координат и сообщите эти координаты соседу по парте. Пусть он восстановит вашу карту, а вы, в свою очередь, восстановите его карту. Сравните карты в классе. Чья получилась интереснее?

б) Как известно, сокровища Флинта были спрятаны на разных остовах. При этом для шифровки клада неоднократно использовался метод координат. На рисунке изображена карта острова, на которой видны два ориентира (два больших камня). Современные искатели сокровищ не располагают подлинной картой, но они знают, что камни на этой карте имели координаты A(2; 1), B(8; 2), а координаты клада (6; 6). Найдите на карте место клада.

/

3) Игра «Астрономия на координатной плоскости».

Легенда. У древних греков существовала легенда о созвездиях Большой и Малой медведиц. Всемогущий бог Зевс решил взять в жёны прекрасную нимфу Калисто, одну из служанок богини Афродиты, вопреки желанию последней. Чтобы избавить Калисто от преследований богини, Зевс обратил Калисто в Большую Медведицу, её любимую собаку – в Малую Медведицу и взял их на небо.

Задача: изобразите созвездия на координатной плоскости (по вариантам):

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: Нарисуйте свои картины по координатам.
ОТВЕТЫ

к заданиям для самостоятельной работы

№ урока	Ответы
1	1. 332210. 2. , . 3. 1, 3, 5. 4. 1, 2, 3. 5. 5050. Нужно сложить первое число с последним, второе с предпоследним и т. д. Получится 50 пар по 101. 6. а) (16+12):4+212=31; б) (16+12:4+2)12=252.
2	1. Решение задачи задаётся числовым выражением (7-5)+ +(7-5)+(7-5). 2. Сначала из первого сосуда следует отлить во второй 7 л, затем из второго 2 л в третий. 3. Одновременно поставить часы. Как 3 мин пройдёт, по другим часам останется 4 мин. 4. Позаботьтесь о том, чтобы в одном сосуде оказался 1 л воды.
3	1. гр + сл=2 яб; 4 гр=5 яб+2 сл; сложим два равенства: 5 гр=7 яб+1 сл, следовательно, 5 груш тяжелее. 2. Весы уменьшают вес каждого взвешиваемого предмета на 100 г. Пакеты весят 600 и 400 г. 3. На чашки весов надо положить по одной монете, а третью монету отложить в сторону. При взвешивании может получиться два результата: 1) весы в равновесии, значит, фальшивая монета лежит в стороне; 2) весы не в равновесии, по условию – легче фальшивая. 4. Уравновесим на весах груз более тяжёлый, чем тело, которое нужно взвесить. Затем на чашку с гирями положим взвешиваемое тело и снимем несколько гирь, чтобы восстановить равновесие. Вес снятых гирь равен весу тела.
4-5	1. Да, нет. 2. Чтобы число делилось и на 3 и на 4. 3. 92.
6	1. 527. 2. 5. 3..
7	1.5880. 2.. 3. 18564.
8	1. 1155, 3150, 4155, 6150, 7155, 9150. 2. 2970, 6975. 3. Число 7 при возведении в чётную степень оканчивается цифрой 9 или 1, а при возведении в нечётную степень – цифрой 7 или 1, следовательно, не делится. 4. Указание. Если 3n+4=5k, то 3(n+3)=5(k+1). Поэтому n+3 должно делится на 5.
9	1. 1) ТУЗИК - 54271; 2) СПОРТ – 43972; 3) РЕБУС – 79365. 2. книга – 18 р., ручка – 14 р., тетрадь – 2 р., карандаш – 3 р. 3. рис 6.
10-11	1. 23/20=1 (ост. 3). Значит, в худшем случае, если в каждом классе по одному ученику из этого дома, то 3 ученика не ходили бы в школу., Следовательно, все ученики ходят в школу, то по крайней мере в одном классе будет не меньше 2-х учеников с одного дома. 2. В худшем случае в каждом из 12 месяцев родились по три человека – всего 36 человек. 37-й родился с какой-то из этих троек в один месяц 3. а) 33; б) 24. 4. Да. 5. Да.
12	1. 126027;;;;
13	1. 2. ///// 3. 4. // 5. /
14	2. /
15-16	1. в 27 р. 2. Сложите из закрашенных и незакрашенных частей одинаковые фигуры. 3. 100; 120 см3. 4. 17,42; 7,2 см2.
19-21	1.Aили 2. 4. а) 15; б) 16; в) 67; г) круг; д) аист. 5. DÌEÌBÌAÌCÌF.
22	2. . . . 4. чётные натуральные числа, делящиеся на 3. 5. 0; 1; 2.
23	1. а) все учащиеся вашего класса; б) множество натуральных чисел. 2. R. 3. множество, состоящее из любых треугольников. 4. . 5. а) (-2, 5); ; б) ; .
24-25	1. ; 2.7 чел. 3. а) , ; б) , . 4. -5; -4; -3;-2; -1; 0; 1; 2. 5. 60%.
26	1. Запишем коротко высказывания двух белок: 1-я белка: «Заяц -1, лиса -2» 2-я белка: « Заяц -2, лиса -1». Если предположить, что высказывание «Заяц -1» верно, то оба высказывания второй белки будут неверными, а это противоречит условию задачи. Значит, тогда лиса заняла второе место, а лось – первое. 2. 1 м.- Вера, 2 м. – Маша, 3 м. – Катя, 4 м. – Юля. 3. Слева направо: Матроскин, д. Фёдор, п. Печкин, Шарик. 4. Боре – 8 л., Ане – 13 л., Вере – 5 л., Гале – 15 л. 5. Аня в белом платье и белых туфлях, Валя в зелёном платье и синих туфлях, Наташа в синем платье и зелёных туфлях.
28-29	1. 59 мин. 2. Один паломник. 3. Одно яблоко отдать вместе с корзиной. 4. Лестница поднимается вместе с кораблём. 5. Может. Отец сына – это муж; профессор – женщина.
30	1. а) 8265; б) 7968; в) 8439.
31	1. 1+3+5+…+195+197+199=(1+199)+(3+197)+99*101=200*50= =10000. 2. Т. к. нас интересует последняя цифра результата, то определим последнюю цифру числа 92005. Число 9 при возведении в степень даёт два варианта последней цифры – 9 (если показатель степени нечётный) и 1 (если - чётный). Т. к. 2005 – нечётное, то 92005 оканчивается на 9. 3. 1. 4. 498, 500, 502, 504, 506, 508. 5. 955.
32	1. 90%. 2. Похудел на 2,8%. 3. Не изменится. 4. 75 км. 5. 41,5%.
33	1. Никакие два министра не могут быть честными, т. е. сразу двух честных министров не найти. Значит, в этом правительстве самое большее один министр честен, Но, по усл.,один честный министр есть. Значит, ровно один честен 2. один рыцарь 4. В мешке с надписью «крупа» - сахар, с надписью «вермишель» - крупа, с надписью «крупа или сахар» - вермишель. 5. Во второй темнице.

ЛИТЕРАТУРА

1. , Ерганжиева геометрия. Учебное пособие для учащихся 5-6 классов. –М.; МИРОС, КПЦ «Марта», 1992. – 208 с.; ил.

2. Фарков работа по математике. 5-11 классы. – 3‑е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 288 с.: ил.

3. Фарков к олимпиадам по математике: учеб.-метод. пособие. – 4-е изд., сиереотип. – М.: Издательство «Экзамен», 2007. – 157 с.

4. , Соловьёва . Занятия школьного кружка. 5-6 кл. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2006. – 208 с.

5. Сикорский главы по курсу математики 6-8 классов для факультативных занятий. Пособие для учащихся. М., «Просвещение», 1969. – 320 с.

6. В царстве смекалки/ Под редакцией . – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 19с.

7. , Канин шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1988. – 160 с.: ил.

8. Я иду на урок математики. 6 класс: Книга для учителя. М.: Я11 Издательство «Первое сентября», 2001. – 320 с.

9. Спивак и одна задача по математике: кн. для учащихся 5-7 кл. – М.: Просвещение, 2005. – 207 с. : ил.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2.

Разработки внеклассных мероприятий.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КВН (6-7 КЛАССЫ)

Цели и задачи:

·  активизировать мыслительную деятельность учащихся,

·  развивать внимание, наблюдательность, память, речь, быстроту реакции, интуицию;

·  повышать интерес к изучаемому предмету,

·  способствовать развитию коммуникативных способностей учащихся, созданию атмосферы взаимовыручки.

Участники математической игры:

·  Команда учащихся 6 «А» класса (7 человек);

·  Команда учащихся 6 «Б» класса (7 человек);

·  Команда учащихся 6 «В» класса (7 человек);

В каждой команде выбран капитан.

Ход мероприятия:

Добрый день, дорогие друзья!

Почему торжественность вокруг?!

Слышите как быстро смокли речи?

Это о царице всех наук

Начинаем мы сегодня вечер.

Не случайно ей такой почёт –

Это ей дано давать советы,

Как хороший выполнить расчёт

Для постройки здания, ракеты.