Формирование познавательных умений во внеурочной деятельности по математике в 5-6 классах с учётом государственных образовательных стандартов нового поколения (стр. 6 )

Задача №2: Уложите все 12 пентамино в прямоугольник 6x10. Сколько разных вариантов вы можете предложить? Фигурки пентамино можно переворачивать.

Решение: Эта задача имеет более двух тысяч решений.

Задача №3: На рисунке фигурки пентамино, похожие на T, уложены на плоскости без промежутков (говорят, что из них составлен паркет). Из каких ещё фигурок пентамино можно составить паркет? Нарисуйте на клетчатой бумаге эти паркеты.

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: Изготовьте набор 12 пентамино. Лучше, если сторона квадратика будет равна 2 см, а фигурки вырезаны из картона.

Задача №2: Квадрат 8x8 полностью нельзя покрыть пентамино, останется четыре свободные клетки. Если вырезать в середине квадрат 2x2, то оставшиеся клетки покрываются двенадцатью фигурками пентамино. Как это сделать?

Урок № 15-16.

Тема: Вычисление площади и объема.

Задача №1: Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 2 раза? В 3 раза?

Задача №2: Нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат, площадь которого равна 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 25 клеткам.

Задача №3: Какая часть площади фигуры, изображённой на рисунке, закрашена?

Задача №4: Противоположные стороны шестиугольника, изображённого на рис. 1, равны. Взяв три вершины шестиугольника через одну, получим треугольник. Покажите, что площадь этого треугольника равна половине площади шестиугольника.

Решение: Сложите из трёх «внешних» треугольников один треугольник, равный «внутреннему».

рис. 1

Равные фигуры – это фигуры, равные по форме и размерам. Если две различные плоские фигуры можно разрезать на одинаковые части, то они будут иметь равные площади. Такие фигуры называют равносоставленными. Фигуры, имеющие равные площади, называют равновеликими. Плоские равновеликие многоугольники также являются равносоставленными. Иными словами, один многоугольник всегда можно перекроить в любой другой с такой же площадью. Объёмные тела, составленные из одинаковых частей, имеют одинаковый объём. В отличие от многоугольников, два многогранника, имеющих одинаковый объём, не всегда можно разделить на одинаковые части.

Если, не меняя формы плоской фигуры, увеличить её размеры в n раз, то её площадь увеличится в раз. Если, не меняя формы тела, увеличить его размеры в n раз, то его объём увеличится в раз.

Задача №5: Нарисуйте линию той же длины, что и на рис. 2, но ограничивающую площадь на 1 кв. см больше.

Рис. 2

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: Ребро куба увеличили в три раза. Во сколько раз увеличился его объём?

Задача №2: Через точку внутри квадрата проведены прямые по сторонам и диагоналям клеток (см. рисунок 3). Докажите, что сумма площадей закрашенных частей равна сумме площадей незакрашенных частей.

рис. 3

Задача №3: Дан куб размером 5x5x5 см, состоящий из кубиков со стороной 1см. Чему будет равен объём куба, если: а) с него снять верхний слой кубиков; б) посередине сделать отверстие по сторонам кубика через весь куб и удалить его?

Задача №4: Измерьте площади фигур, изображённых на рис. 4.

Рис. 4

Урок № 17.

Тема: Задачи со спичками.

Задача №1: Положите 12 спичек так, чтобы получилось 5 квадратов.

Задача №2: Из спичек сложена фигура, состоящая из 9 равных треугольников (рис. 1). Уберите 5 спичек так, чтобы осталось 5 треугольников.

Задача №3: Из спичек сложена фигура, состоящая из 9 равных треугольников (рис. 1). Уберите 6 спичек так, чтобы осталось 6 треугольников.

Задача №4: Из спичек сложена фигура (рис. 2):

а) уберите 4 спички так, чтобы осталось 5 квадратов;

б) уберите 8 спички так, чтобы осталось 2 квадратов;

в) уберите 6 спички так, чтобы осталось 3 квадратов;

Задача №5: Из спичек сложена фигура, состоящая из 6 равносторонних треугольников (рис. 3). Переложите 4 спички так, чтобы получилось 3 равносторонних треугольника.

Задача №6: Расположите 6 спичек так, чтобы каждая спичка касалась всех остальных спичек.

рис. 1 рис. 2 рис. 3

Задача №7: Из десяти спичек выложите 3 квадрата. Затем уберите одну спичку и сделайте из оставшихся спичек один квадрат и два ромба.

Задача №8: Расположите 3 спички на столе так, чтобы их головки не касались ни стола, ни друг друга.

Задача №9: 8 спичек уложите так, чтобы образовались один восьмиугольник, два квадрата и восемь треугольников – все в одной фигуре!

рис. 4 рис. 5

Решения:

задача № 1 задача № 2 задача № 3

задача № 4 (а) задача № 4(б) задача № 4 (в)

задача № 5 задача № 6 задача № 7

задача № 8 задача № 9

Задания для самостоятельной работы

Задача № 1: Придумайте несколько задач со спичками и предложите решить их своим друзьям.

Задача №2: Переложите три спички так, чтобы рыбка (рис. 4) поплыла в противоположную сторону.

Задача №3: Переложите две спички так, чтобы корова (рис. 5) повернулась в противоположную сторону.

Задача №4: Из 12 спичек выложите имя Толя. Переложите одну спичку так, чтобы получилось женское имя.

Задача №5: Как из трёх спичек сделать четыре, не ломая их?

Урок № 18.

Тема: Лабиринты.

Слово «лабиринт» (греч.) означает «ходы в подземельях». Как бы ни были сложны и запутаны эти ходы, всегда, однако, найдётся выход. Безвыходных лабиринтов нет!

Решение (т. е. маршрут, ведущий к цели) каждого лабиринта может быть найдено одним из трёх сравнительно простых методов.

Первый метод – МЕТОД ПРОБ И ОШИБОК. Выбирайте любой путь, а если он заведёт вас в тупик, то возвращайтесь назад и начинайте всё сначала.

Второй метод – МЕТОД ЗАЧЁРКИВАНИЯ ТУПИКОВ. Незачёркнутая часть коридоров будет выходом или маршрутом от входа к выходу или к центру (рис. 1).

Третий метод – ПРАВИЛО ОДНОЙ РУКИ. Если лабиринт имеет один выход, то идти по нему надо не отрывая от стены правой (левой) руки.

Разобравшись в правилах, попробуйте пройти по следующим лабиринтам.

Задача №1: Помогите Вини-Пуху пройти в домик Пятачка (рис. 2).

рис. 1 рис. 2

Задача №2: Как муравью достать из муравейника зёрнышко

(рис. 3)?

рис. 3 рис. 4

Задача №3: Можно ли пройти по этим лабиринтам (рис. 4), пользуясь правилом одной руки?

Задача №4: Пользуясь правилом одной руки, пройдите к дереву по лабиринту, построенному в Англии в XIII веке (рис. 5).

рис. 5

Задача №5: Это лабиринт английского короля Вильгельма III, состоящий из аллей и изгородей (рис. 6). Нужно пройти в центр к деревьям и скамейкам под ними.

рис. 6

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: Найдите путь к беседке, расположенной в парке

(рис. 7).

рис. 7

Задача №2: Как попасть в центр лабиринта, начиная с любой его стороны? При этом нельзя передвигаться по диагонали и можно проходить только через комнаты с чётными номерами, которые делятся на 3.

1	23	6	14	19	2	24	10	7
9	8	7	12	24	6	18	5	16
3	4	24	8	7	1	6	24	12
6	5	12	6	8	10	15	12	6
12	2	7	21	*	6	15	30	7
11	6	5	6	10	12	9	6	11
12	8	11	30	15	18	6	24	9
2	13	24	6	12	8	6	7	18
9	8	12	10	9	7	15	3	8

Урок № 19-21.

Тема: Понятие множества. Элементы множества. Способы задания множеств. Числовые множества. Подмножества.

Одно из основных понятий математики – множества. Когда говорят о множестве, то объединяют в одну группу предметы или понятия по какому-либо признаку и рассматривают эту группу объектов как одно целое.

Основатель теории множеств, немецкий математик Георг Кантор () писал: «Множество есть многое, мыслимое как единое целое».

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. Пустым множеством является:

- множество млекопитающих, имеющих шесть ног;

- множество пятилетних мастеров спорта;

- множество правильных треугольников, у которых углы не равны;

- множество чисел, которые больше 10, но меньше 1.

Произвольные множества обозначают большими латинскими буквами A, B, C,…

Элементы множества.

Об объектах, составляющих множество, говорят, что они принадлежат этому множеству или являются его элементами.

Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами b, c, k,… или какой-нибудь одной буквой с индексом, например, b1,b2, b3,...

Предложение a принадлежит множеству A или a- элемент множества A записывают в виде .

Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, а если в нём бесконечно много элементов, то бесконечным. Так множество делителей числа 568 конечно, а множество точек на прямой бесконечно.

Способы задания множеств.

Множество может быть задано непосредственно перечислением всех его элементов (в произвольном порядке). В этом случае названия всех элементов множества записывают в строчку, отделяя между собой знаком ; и заключая в фигурные скобки.

Например, - множество цифр десятичной системы счисления, - множество, состоящее из элементов a, b, c. Но этот способ применим только к конечным множествам, да и то далеко не ко всем. Например, хотя множество всех рыб в океане конечно, вряд ли его можно задать списком. А уж бесконечные множества никак нельзя определить с помощью списка – попробуйте, например, составить список всех натуральных чисел.

Имеется другой, универсальный способ задания множеств. Множество (конечное или бесконечное) может быть задано указанием свойства, которым обладают все элементы этого множества и не обладает ни один объект, не являющийся его элементом. Данное свойство называют характеристическим свойством этого множества.

Например, множество может быть задано как множество всевозможных остатков от деления любого натурального числа на 5.

Одно и то же множество может быть задано различными характеристическими свойствами. Так, например, множество правильных треугольников – это множество треугольников, в каждом из которых стороны равны между собой,… или множество треугольников, в которых все углы равны между собой.

Множество элементов, определённых характеристическим свойством, обозначают так: в фигурных скобках пишут сначала элементы множества (его буквенное обозначение), затем после вертикальной черты записывают характеристическое свойство. Например, запись означает, что A – множество чётных чисел.

Числовые множества.

Элементами множества могут быть объекты различной природы (буквы, числа, люди, атомы, слова, точки, уравнения и т. д.). Для математики особую роль играют изучаемые множества, элементами которых являются математические объекты (числа, точки, уравнения и т. д.).

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

N – множество всех натуральных чисел;

Z – множество всех целых чисел;

Q – множество всех рациональных чисел;

Q+ - множество всех положительных рациональных чисел.

Особое место занимают множества, называемые числовыми промежутками. Например:

Отрезок - множество всех x, удовлетворяющих неравенству ;

Полуинтервал - множество всех x, удовлетворяющих неравенству ;

Полуинтервал - множество всех x, удовлетворяющих неравенству ;

Интервал - множество всех x, удовлетворяющих неравенству ;

Полуинтервал - множество всех x, удовлетворяющих неравенству ;

Интервал - множество всех x, удовлетворяющих неравенству ;

Полуинтервал - множество всех x, удовлетворяющих неравенству ;

Полуинтервал - множество всех x, удовлетворяющих неравенству .

Вопросы и задания:

1.  Приведите примеры множеств, взятых из геометрии.

2.  Запишите множество цифр, с помощью которых записаны числа: а) 140576; б) 223301; в) .

3.  Запишите множество всех цифр.

4.  множество цифр числа A, - множество цифр числа B. Можно ли утверждать, что число A меньше числа B?

5.  Назовите элементы, принадлежащие множествам: а) целых чисел; б) натуральных чисел; в) неотрицательных чисел; г) чисел, кратных 3; д) чётных чисел; е) квадратов целых чисел; ж) чисел, обратных кубам натуральных чисел.

6.  Задайте перечислением элементов следующие множества:

а) однозначных нечётных чисел;

б) двузначных чётных чисел, меньших 20;

в) однозначных чётных чисел;

г) двузначных нечётных чисел, больших 10, но меньших 20.

7. Задайте перечислением элементов множество всех натуральных чисел, которые являются делителями 36.

8. Пусть K – множество всех натуральных чисел, для которых справедливо неравенство . Выпишите все элементы данного множества.

9. Какой отрезок координатной прямой является решением неравенства

10. Задайте характеристическим свойством:

а) множество квадратов;

б) множество параллельных прямых.

11. Перечислите элементы множеств, заданных характеристическими свойствами:

а) ;

б) .

12. Сколько элементов в множестве:

а) сторон треугольника;

б) букв в алфавите русского языка;

в) букв в слове «ЧИСЛО»;

г) цифр числа ?

13. Сколько элементов содержит множество всех трёхзначных чисел, которые можно составить из трёх данных цифр, если две из них равные?

Подмножества.

Рассмотрим множество положительных делителей числа 24 и множество положительных делителей числа 8. Сравнивая эти множества, замечаем, что все элементы множества B являются также элементами множества A, или множество A включает множество B, или B – подмножество множества A. Этот факт обозначается так: .B

Определение: Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является элементом множества A.

Определение: Два множества A и B называются равными, если и , т. е. если множества A и B состоят из одних и тех же элементов. (A=B).

Вопросы и задания.

1.  Даны два множества: множество девочек и множество мальчиков данного класса. Какому множеству принадлежат оба эти множества?

2.  Пусть A – множество прямоугольных треугольников, B – множество треугольников, у каждого из которых два острых угла. Какое из следующих высказываний истинно: ,, ?

3.  Даны множества:

A –множество целых чисел;

B - множество чётных чисел;

C – множество нечётных чисел;

D - множество чисел, кратных 3;

E - множество чисел, кратных 6;

T - множество чисел, оканчивающихся цифрой 0;

K - множество чисел, которые при делении на 8 дают в остатке 5;

F - множество чисел, кратных 2 и 3 одновременно;

M - множество чисел, кратных 2 и 5 одновременно.

Имеются ли среди данных множеств равные? Укажите, какие из множеств являются подмножествами других множеств. Ответы на вопросы запишите с помощью символов.

Задания для самостоятельной работы

Задача №1: Задайте множество всех двузначных чисел, кратных 19.

Задача №2: Задайте перечислением элементов множество всех натуральных чисел, которые являются делителями 36.

Задача №3:Приведите примеры подмножеств.

Задача №4: В следующих множествах все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Найдите элементы, не обладающие этим свойством:

а) ; б) ; в) ;