Логика: практикум (стр. 3 )

- сильная (строгая) дизъюнкция (▼) принимает значение «Ложь» в случае одновременной истинности или ложности всех переменных; в остальных случаях сильная дизъюнкция принимает значение «Истина» (См.: Рис. 20);

"или" p "или" q	"то" (p▼q)
И	И	Л
И	л	И
Л	и	И
Л	л	л

Рис. 20.

- импликация (→) принимает значение «Ложь» только в случае истинности основания суждения и ложности следствия суждения; в остальных случаях импликация принимает значение «Истина» (См.: Рис. 21);

"если" p "то" q	"то" (p → q)
И	И	И
И	л	Л
Л	и	И
Л	л	И

Рис. 21.

- эквиваленция (↔) принимает значение «Ложь» в случае истинности основания и ложности следствия суждения, либо наоборот, ложности основания и истинности следствия суждения; в остальных случаях эквиваленция принимает значение «Истина» (См.: Рис. 22).

"если и только если" p "то" q	"то" (p ↔ q)
И	И	И
И	л	Л
Л	и	Л
Л	л	И

Рис. 22.

• отрицание суждения — это операция, состоящая в преобразовании логического содержания отрицаемого суждения, конечным результатом которой является формулирование нового суждения, находящегося в отношении противоречия к исходному суждению. Отрицание простого атрибутивного суждения производится согласно следующим эквиваленциям: А = О; Е = I; I = Е; О = А — где А, Е, I, О — виды простых категорических суждений, - знак внешнего отрицания.

Отрицание сложного суждения производится согласно следующим эквиваленциям:

(р Ù q) ↔ ( р v q) – 1-й закон де Моргана

(р v q) ↔ ( р Ù q) – 2-й закон де Моргана

(р → q) ↔ (р Ù q)

(р ↔ q) ↔ ( р Ù q) v (р Ù q)

Выразим сказанное выше в виде комплексных схем (Рис. 23-26):

Рис. 23

Рис. 24.

Рис. 25.

Примечание:

Происхождение символов "A", "I", "E" и "O" основано на следующем соглашении: "A" и "I" есть первые гласные буквы термина Affirmo (лат. "утверждаю"), а "E" и "O" – первые гласные буквы термина Nego (лат. "отрицаю").

Рис. 26.

Тема 2. Суждение:

(Типовые задания и решения)

Задание 6. Приведите высказывание к правильной логической форме, дайте объединенную классификацию суждений, приведите их схемы и принятые в логике обозначения А, Е, I, О.

Для решения задачи воспользуемся алгоритмом приведения предложений естественного языка к канонической форме категорических суждений и анализа простых суждений.

1. Определить субъект и предикат высказывания, обозначив их соответственно S и Р (составные S и Р подчеркнуть одной сплошной чертой).

2. При определении предиката следует иметь в виду следующее:

- если предикат выражен существительным или словосочетанием с существительным, то в данном случае предикат остается без изменения.

Образец 1:

«Некоторые юристы (S) - адвокаты (Р)».

- если предикат выражен прилагательным или причастием, которое может быть представлено одним словом или словосочетанием, то в этом случае к предикату следует добавить родовое понятие для субъекта высказывания.

Образец 2:

«Некоторые розы (S) красивы (Р)». → «Некоторые розы (S) — красивые цветы (Р)».

- если предикат выражен глаголом, который может быть представлен одним словом или словосочетанием, то в таком случае к предикату следует добавить родовое понятие для субъекта высказывания, а глагол превратить в соответствующее ему причастие.

Образец 3:

«Некоторые студенты нашей группы (S) сдали сегодня по логике (Р)». → «Некоторые студенты нашей группы (S) есть учащиеся, сдавшие сегодня зачет по логике (Р)».

3. Определить кванторное слово («все», «некоторые», «ни одно», «это»).

4. Определить логическую связку («есть», «не есть»)

5. Записать суждение в канонической форме: квантор - субъект (S) - связка - предикат (Р).

6. Записать формулу суждения, определить количественно-качественную характеристику суждения.

7. Графически изобразить отношения между терминами суждения.

8. Определить распределенность терминов.

Пример 1:

« Древние греки внесли большой вклад в развитие философии».

Решение:

1. В данном предложении логически определен только субъект — «древние греки» (S). Предикат выражен словосочетанием «внесли большой вклад в развитие философии» (Р).

2. Приводим предикат к канонической форме. Для этого подбираем к субъекту суждения («Древние греки») родовое понятие («Люди»). В канонической форме предикат будет выражен словосочетанием «Люди, внесшие большой вклад в развитие философии».

3. Кванторное слово в предложении отсутствует, но из анализа смысла предложения ясно, что речь идет только о некоторой части древних греков. Квантор суждения - «Некоторые».

4. В предложении утверждается наличие у субъекта «Древние греки» (S) свойства, выраженного в предикате «Внесли большой вклад в развитие философии» (Р). Значит логическая связка утвердительная («есть»).

5. Каноническая форма суждения: «Некоторые древние греки (S) есть люди, внесшие большой вклад в развитие философии (Р)».

6. Формула суждения — Некоторые S есть Р. Количественно-качественная характеристика суждения — частноутвердительное

7. Графически изображаем отношения между терминами суждения. Определяем отношение между понятием «Древние греки» (S) и понятием «Люди, несшие большой вклад в развитие философии» (Р) как отношение перекрещивания.

8. Определяем распределенность терминов: оба термина взяты в части объема, значит, они являются нераспределенными (S -, Р -) (Рис. 27).

 

Рис. 27.

Пример 2:

«Никто не может нести уголовную ответственность дважды за одно и то же преступление».

Решение:

1. В данном предложении субъект явно не определен. Из анализа смысла высказывания ясно, что речь идет о понятии «Человек» (S). Предикат выражен словосочетанием «Может нести уголовную ответственность дважды за одно и то же преступление» (Р).

2. Приводим предикат к канонической форме. Для этого подбираем к субъекту суждения («Человек») родовое понятие («Живое существо»). В канонической форме предикат будет выражен словосочетанием «Живое существо, которое может нести уголовную ответственность дважды за одно и то же преступление» (Р).

3. Кванторное слово в предложении отсутствует, но из анализа смысла предложения ясно, что речь идет обо всем объеме понятия «человек» (S). Квантор суждения — «Ни одно».

4. В предложении отрицается наличие у субъекта «Человек» (S) свойства, выраженного в предикате «Может нести уголовную ответственность дважды за одно и то же преступление» (Р). Логическая связка отрицательная («не есть»).

5. Записываем суждение в канонической форме: «Ни один человек (S) не есть живое существо, которое может нести уголовную ответственность дважды за одно и то же преступление (Р)».

6. Записываем формулу суждения - Ни одно S не есть Р. Определяем количественно-качественную характеристику суждения - общеотрицательное (Е).

7. Графически изображаем отношения между терминами суждения. Определяем отношение между понятием «Человек» (S) и понятием «Живое существо, которое может нести уголовную ответственность дважды за одно и то же преступление» (Р) как отношение несравнимости.

8. Определяем распределенность терминов: оба термина взяты в полном объеме, значит, они являются распределенными (S +, Р +) (Рис. 28).

 

Рис. 28.

Пример 3:

«Некоторые грибы не являются съедобными».

Решение:

1. В данном предложении логически определен только субъект - «Грибы» (S). Предикат выражен словом «Съедобными» (Р).

2. Приводим предикат к канонической форме. Для этого подбираем к субъекту суждения («Грибы») родовое понятие («Растения»). В канонической форме предикат будет выражен словосочетанием «Съедобные растения» (Р).

3. Кванторное слово в предложении присутствует, речь идет о части объеме понятия «Грибы» (S). Кванторное слово суждения — «Некоторые».

4. В предложении отрицается наличие у субъекта «Грибы» (S) свойства, выраженного в предикате «Съедобные» (Р). Логическая связка отрицательная («не есть»).

5. Записываем суждение в канонической форме: «Некоторые грибы (S) не есть съедобные растения (Р)».

6. Записываем формулу суждения - Некоторые S не есть Р. Определяем количественно-качественную характеристику суждения - частноотрицательное (О).

7. Графически изображаем отношения между терминами суждения. Определяем отношение отношения между понятием «Грибы» (S) и понятием «Съедобное растения» (Р) как отношение перекрещивания.

8. Определяем распределенность терминов: S взят в части объема, а Р взят в полном объеме, значит, распределенность их такова: S - , Р + (Рис. 29).

 

Рис. 29.

Задание 7. Рассмотрите сложные суждения, выразите их в символической записи. Укажите антецедент и консеквент в импликативных суждениях.

Пример 1:

«Работник имеет право на защиту своих трудовых прав, свобод и законных интересов всеми не запрещенными способами».

Решение:

1. Расчленим данное сложное суждение на простые и выразим их в правильной записи, принятой в русском языке, т. е. в соотношении подлежащего и сказуемого и обозначим эти простые суждения в форме, принятой в формальной логике:

а) «Работник имеет право на защиту своих трудовых прав всеми не запрещенными способами» - (р);

б) «Работник имеет право на защиту своих свобод всеми не запрещенными способами» - (q);

в) «Работник имеет право на защиту своих законных интересов всеми не запрещенными способами» - (r).

2. В данном случае имеет место утверждение одновременного наличия нескольких ситуаций - конъюнкция (Ù);

3. Формула данного сложного суждения выглядит так:

р Ù q Ù r

4. р, q, r – конъюнкты.

Пример 2:

«Человечество может погибнуть то ли от истощения земных ресурсов, то ли от экологической катастрофы, то ли в результате третьей мировой войны».

Решение:

Расчленим данное сложное суждение на простые и выразим их в правильной записи, принятой в русском языке, т. е. в соотношении подлежащего и сказуемого и обозначим эти простые суждения в форме, принятой в формальной логике:

а) «Человечество может погибнуть от истощения земных ресурсов» - (р);

б) «Человечество может погибнуть от экологической катастрофы» - (q);

в) «Человечество может погибнуть в результате третьей мировой войны» - (r).

2. В данном случае имеет место утверждение наличия хотя бы одной их нескольких ситуаций, но могут одновременно наличествовать и другие ситуации - слабая дизъюнкция (v);

3. Формула данного сложного суждения выглядит так:

р v q v r

4. р, q, r – дизъюнкты.

Пример 3:

«Гражданин вследствие физического недостатка, болезни или неграмотности не может собственноручно подписаться, то по его просьбе сделку может подписать другой гражданин».

Решение:

1. Расчленим данное сложное суждение на простые и выразим их в правильной записи, принятой в русском языке, т. е. в соотношении подлежащего и сказуемого и обозначим эти простые суждения в форме, принятой в формальной логике:

а) «Гражданин вследствие физического недостатка не может собственноручно подписаться» - (р);

б) «Гражданин вследствие болезни не может собственноручно подписаться» - (q);

в) «Гражданин вследствие неграмотности не может собственноручно подписаться» - (r);

г) «По просьбе этого гражданина сделку может подписать другой гражданин» - (s).

2. В данном случае имеет место утверждение наличия хотя бы одной их нескольких ситуаций, но могут одновременно наличествовать и другие ситуации - слабая дизъюнкция (v); одна из этих ситуаций или все они одновременно является достаточным условием для возникновения другой ситуации - импликация (→); таким образом, имеет место совместно слабая дизъюнкция и импликация;

3. Формула данного сложного суждения выглядит так:

(р v q v r) → s

4. р, q, r – дизъюнкты; (р v q v r) – антецедент; s – консеквент.

Пример 4:

«Брак расторгается, если судом будет установлено, что дальнейшая совместная жизнь супругов и сохранение семьи стали невозможными».

Решение:

1. Расчленим данное сложное суждение на простые и выразим их в правильной записи, принятой в русском языке, т. е. в соотношении подлежащего и сказуемого и обозначим эти простые суждения в форме, принятой в формальной логике:

а) «Судом установлено, что дальнейшая совместная жизнь супругов стала невозможной» - (р);

б) «Судом установлено, что сохранение семьи стало невозможным» - (q);

в) «Брак расторгается» - (r).

2. В данном случае имеет место утверждение одновременного наличия нескольких ситуаций - конъюнкция (Ù); обе эти ситуации являются достаточным условием для возникновения другой ситуации - импликация (→); таким образом, имеет место совместно конъюнкция и импликация;

3. Формула данного сложного суждения выглядит так:

(р Ùq) → r

4. р, q – конъюнкты; (р v q) – антецедент; r – консеквент.

Задание 8. Запишите логические формулы сложных суждений на языке логики высказываний и постройте для них истинностные таблицы.

Для решения задачи воспользуемся алгоритмом анализа сложных высказываний:

1. Определить и записать все простые суждения, из которых состоит предложение. Обозначить их символами.

2. Определить логическую связь между простыми суждениями.

3. Записать формулу сложного суждения. Если суждение условное, то необходимо определить основание и следствие.

4. Составить и заполнить таблицу истинности сложного суждения.

Пример 1.

«Оскорбление может быть нанесено случайно или намеренно»

Решение:

1.  Определяем и записываем простые суждения:

а) «Оскорбление может быть нанесено случайно» — (р)

б) «Оскорбление может быть нанесено намеренно» – (q)

2. Союз «или» в высказывании утверждает наличие только одной из двух ситуаций. Логическая связь в данном суждении - сильная дизъюнкция (▼).

3. Формула сложного суждения: р▼q.

4. Строим таблицу истинности для суждения данной формы.

Для построения таблицы истинности необходимо знать количество столбцов при входе в таблицу (количество переменных) и количество строк в таблице (х = 2 n, где х - количество строк в таблице, n — количество переменных формуле). В данной таблице три столбца (р, q, р▼q) и четыре строки (22 = 4). В первом столбце записываем все варианты истинности для р (И и Л). Во втором столбце против каждого из значений первого столбца фиксирует значения сначала оба раза как И, а затем оба раза как Л. Под знаком логического союза сильная дизъюнкция (▼) записываем конечный результат, ориентируясь на таблицу истинности, помещенную на стр. 3, рис. 20. Формула данного суждения является выполнимой, так как она принимает и значение И, и значение Л.

р	q	р▼q
И	И	Л
Л	И	И
И	Л	И
Л	Л	Л

Система построения таблиц истинности для любого количества пропозициональных может быть понята из следующих соображений:

В общем случае число всех возможных наборов значений n переменных равно 2n. Например, число допустимых интерпретаций для одной переменной равно 21 = 1; для двух переменных - 22 = 4; для трех переменных – 23 = 8; для четырех переменных равно 16, для пяти - 32 и т. д.

К примеру, пусть последовательность пропозициональных переменных р1, р2, …pn состоит только из одной переменной (n = 1). Тогда существует только два набора значений: <и> и <л>:

	р1
1	и
2	л

Пусть последовательность пропозициональных переменных р1, р2, …pn состоит из двух переменных (n = 2). В этом случае наборами указанных значений будут такие пары (всего их четыре):