Меркулов высшей математики. Избранные разделы. Разд. 1: Аналитическая геометрия: Учеб. пособие (стр. 2 )

Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной.

В дальнейшем курсе аналитической геометрии мы будем изучать алгебраические линии первого и второго порядков, определяемые уравнениями (1.21) и (1.22). В связи с аналитическим представлением линии этими уравнениями возникают задачи двух типов:

1) по заданным геометрическим свойствам линии составить ее уравнение; 

2) по заданному уравнению линии выяснить ее геометрические свойства.

Глава  2. Прямая линия

Эта глава посвящена изучению прямых линий на плоскости. Мы введем в рассмотрение различные виды уравнений прямой и остановимся на их использовании для решения некоторых важнейших задач.

Во всех случаях будем предполагать, что на плоскости задана декартова прямоугольная система координат Оху.

2.1.  Угловой коэффициент прямой

Рассмотрим любую прямую, не параллельную оси Ох (рис. 11). Обозначим через α наименьший положительный угол α , на который надо повернуть против часовой стрелки ось Ох до совмещения с прямой, и назовем его углом наклона прямой к оси Ох.

Если прямая параллельна оси Ох или совпадает с ней, то ее угол наклона будем считать равным нулю.

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох назовем угловым коэффициентом этой прямой и обозначим буквой k: .

Заметим, что если угол наклона прямой к оси Ох острый, то k > 0, если тупой, то k < 0. Для прямой, параллельной оси Ох, k = 0, а для прямой, перпендикулярной оси Ох, угловой коэффициент не существует. В последнем случае формально говорят, что угловой коэффициент равен бесконечности.

В дальнейшем мы увидим, что угловой коэффициент прямой играет очень важную роль.

2.2. Различные виды уравнения прямой

1. У р а в н е н и е п р я м о й, п р о х о д я щ е й ч е р е з д а н н у ю т о ч к у в д а н н о м н а п р а в л е н и и. Пусть прямая проходит через точку М1(х1; у1) и образует с осью Ох угол (рис. 12). Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у). Если провести прямые и , параллельные осям, то образуется прямоугольный треугольник .

Ясно, что

Отсюда (вспоминая, что = k ) получим искомое уравнение

(2.1)

Если бы для той же прямой мы взяли точку М(х; у) не в первом квадранте или рассмотрели бы другую прямую, у которой угол α был бы тупым, то рассуждение, естественно, усложнилось бы. Мы не будем рассматривать всех возникающих здесь возможностей. Отметим лишь, что во всех случаях получится то же уравнение (2.1).

2. У р а в н е н и е п р я м о й с у г л о в ы м к о э ф ф и ц и е н - т о м. Если мы теперь обозначим через «b» постоянную b = y1 – kx1, то уравнение (2.1) примет вид

(2.2)

Уравнение (2.2) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В нем «b» представляет собой величину отрезка, отсекаемого данной прямой на оси Оу, начиная от начала координат. Чтобы убедиться в этом, достаточно найти координаты точки пересечения оси Оу и прямой (2.2): х = 0, у = b. Величина «b» носит название начальной ординаты прямой. Если b = 0, то получаем уравнение прямой, проходящей через начало координат

(2.3)

3. У р а в н е н и е п у ч к а п р я м ы х с ц е н т р о м в д а н н о й т о ч к е. Совокупность лежащих на плоскости прямых, проходящих через некоторую точку этой плоскости, принято называть пучком прямых с центром в данной точке.

Если в уравнении (2.1) угловой коэффициент k – произвольное число, то это уравнение определяет пучок прямых с центром в точке М1(х1; у1), кроме прямой, перпендикулярной оси Ох и не имеющей углового коэффициента.

4. У р а в н е н и е п р я м о й, п р о х о д я щ е й ч е р е з д в е д а н н ы е т о ч к и. Пусть даны две точки М1(х1; у1), М2(х2; у2) и х1 ≠ х2, у1 ≠ у2.

Для составления уравнения прямой М1М2 запишем уравнение пучка прямых с центром в точке М1 в виде равенства (2.1). Так как точка М2(х2; у2) лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению пучка:

Отсюда находим угловой коэффициент прямой по двум ее точкам:

. (2.4)

Подставляя найденное значение k в (2.1), после очевидного преобразования получим уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1 и М2 в виде

(2.5)

Записывая это же уравнение в форме

нетрудно установить, что если у1 = у2, то уравнение искомой прямой, параллельной оси Ох, будет

(2.6)

Если х2 = х1, то прямая параллельна оси Оу и ее уравнение

. (2.7)

5. У р а в н е н и е п р я м о й в о т р е з к а х. Найдем уравнение прямой, отсекающей на оси Ох отрезок величины а (а ≠  0), а на оси Оу – отрезок величины b, b ≠ 0.

Используя (2.5), уравнение прямой, проходящей через точки А(а; 0) и В(0 ; b) (рис. 13), запишем в виде

или после преобразований

(2.8)

Уравнение (2.8) называется уравнением прямой в отрезках на осях. В этом уравнении х и у – текущие координаты, а и b – параметры. Заметим, что это уравнение удобно использовать для геометрического построения прямой.

6. У р а в н е н и е п р я м о й в п о л я р н ы х к о о р д и н а т а х. Зададим на плоскости согласованные декартову и полярную системы координат. Начало О декартовой системы координат поместим в полюсе, а положительную полуось Ох примем за полярную ось.

Пусть дана какая-нибудь прямая, не проходящая через полюс О (рис. 14). Проведем из полюса луч ON, перпендикулярный данной прямой. Пусть α – угол между полярной осью Ох и лучом ON, p – расстояние от полюса О до данной прямой, р = | ON |.

Выведем уравнение данной прямой, считая известными величины α и р. Пусть М(r ; j) – произвольная точка данной прямой. Из прямоугольного треугольника ONM имеем:

(2.9)

Уравнение (2.9) называется уравнением прямой в полярных координатах.

7. Н о р м а л ь н о е у р а в н е н и е п р я м о й. Перепишем уравнение (2.9) в виде

Отсюда, учитывая зависимость (1.5) между декартовыми и полярными координатами точки, получим

(2.10)

Уравнение (2.10) называется нормальным уравнением прямой. Числа р и α , где р – расстояние от начала О до заданной прямой, а α – угол наклона нормали ON к оси абсцисс, являются параметрами уравнения.

8. О б щ е е у р а в н е н и е п р я м о й. В предыдущих пунктах было показано, что любая прямая на плоскости в заданной декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением первой степени относительно переменных x и y. Установим теперь общий факт, что любую прямую без каких-либо ограничений можно задать алгебраическим уравнением первой степени.

Т е о р е м а. Каждое уравнение первой степени относительно x и y вида

(2.11)

где А и В – коэффициенты, одновременно не равные нулю, определяет в декартовой прямоугольной системе координат некоторую прямую.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим возможные случаи.

1) А ≠ 0, В ≠ 0, С ≠ 0. Разделив все члены уравнения на В и определяя из него y, запишем уравнение (2.11) в виде

.

Обозначая , , получим уравнение . Это уравнение прямой с угловым коэффициентом (2.2).

2) В ≠ 0, С ≠ 0, А = 0. В этом случае уравнение принимает вид , или . Это уравнение прямой, параллельной оси вида (2.6), отсекающей на оси ординат отрезок, величина которого равна , где .

3) А ≠ 0, С ≠ 0, В = 0. Уравнение (2.11) принимает вид , или . Это уравнение прямой, параллельной оси вида (2.7), отсекающей от оси абсцисс отрезок, величина которого равна , где .

4) А ≠ 0, В ≠ 0, С = 0. Уравнение (2.11) имеет вид , или , где . Это уравнение прямой, проходящей через начало координат (2.3) .

5) А ≠ 0, В = 0, С = 0. Уравнение имеет вид

. (2.12)

Это – уравнение оси ординат.

6) В ≠ 0, А = 0, С = 0. Уравнение имеет вид

. (2.13)

Это уравнение является уравнением оси абсцисс.

Таким образом, во всех случаях уравнение является уравнением прямой линии. Тем самым теорема доказана.

Уравнение (2.11), где А и В одновременно не равны нулю, называется общим уравнением прямой.

Итак, в декартовой прямоугольной системе координат всякая прямая может быть определена уравнением первой степени, и наоборот, каждое уравнение первой степени относительно x и y определяет некоторую прямую линию.

9. П р и в е д е н и е о б щ е г о у р а в н е н и я п р я м о й к н о р м а л ь н о м у у р а в н е н и ю. Если дано общее уравнение прямой (2.11), то его можно привести к виду нормального уравнения (2.10) умножением на нормирующий множитель

. (2.14)

В результате получим

. (2.15)

Сравнивая уравнения (2.10) и (2.15), заключаем, что

, , . (2.16)

Третье из равенств (2.16) позволяет решить вопрос о выборе знака числа . Так как p > 0, то знак выбирается противоположным знаку коэффициента С общего уравнения прямой. Если С = 0, то для можно выбрать любой знак.

Итак, общее уравнение прямой (2.11) приводится к нормальному уравнению в форме (2.15) путем умножения его на нормирующий множитель вида (2.14), где знак перед квадратным корнем выбирается противоположным знаку коэффициента С общего уравнения.

2.3.  Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Пусть две прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом и . Если α1 и α2 – углы наклона прямых L1 и L2 к оси , а – один из углов между этими прямыми, то из геометрических соображений (рис. 15) вытекает, что

При этом под мы подразумеваем тот наименьший угол, на который надо повернуть (против часовой стрелки) первую прямую L1, чтобы она совпала со второй прямой L2. Таким образом, наши прямые не равноправны. Если то

Мы получаем следующую формулу для определения угла между двумя неперпендикулярными прямыми:

(2.17)

Если в этой формуле поменять ролями k1 и k2 (от чего фактически лишь изменится знак на противоположный), то формула определит нам другой угол между прямыми, смежный по отношению к прежнему углу и равный .

Прямые L1 и L2 параллельны, когда тангенс угла между ними равен нулю, т. е. условие параллельности имеет вид

(2.18)

(при этом числитель в (2.17) равен нулю, а знаменатель строго положителен).

Если же тангенс угла  не существует, т. е. знаменатель в формуле (2.17) обращается в нуль, то котангенс угла  равен нулю и . При этом

Отсюда условие перпендикулярности прямых L1 и L2 принимает вид

(2.19)

2.4. Расстояние от точки до прямой

Найдем расстояние d от данной точки М0(х0; у0) до прямой L (рис. 16), заданной нормальным уравнением (2.10):

Под расстоянием d будем понимать длину перпендикуляра, опущенного из М0 на L. Проведем через точку М0 прямую L1, параллельную L. Запишем нормальное уравнение прямой L1 :

Прямая L1 проходит через точку М0(х0; у0), поэтому

Отсюда находим

(2.20)

Если точка М0(х0; у0) и начало координат лежат по одну сторону от прямой L (рис. 17), то аналогично найдем

(2.21)

Из равенств (2.20) и (2.21) следует, что

(2.22)

Если прямая L задана общим уравнением

то после приведения его к нормальному уравнению в форме (2.15) формула (2.22) принимает вид

. (2.23)

Формулы (2.22) и (2.23) решают поставленную задачу: чтобы найти расстояние от данной точки до данной прямой, надо уравнение прямой привести к нормальному виду, вместо текущих координат подставить в левую часть уравнения координаты данной точки и взять по абсолютной величине полученный результат.

2.5.  Нахождение прямой, проходящей через точку
пересечения двух данных прямых и удовлетво-
ряющей еще одному условию

Выше были рассмотрены типовые задачи на прямую линию на плоскости: нахождение угла между двумя прямыми, установление условий параллельности и перпендикулярности двух прямых, вычисление расстояния от точки до прямой.

Рассмотрим еще четыре задачи, в которых требуется найти уравнение прямой , проходящей через точку пересечения двух данных прямых и , определяемых соответственно уравнениями

и ,

и, кроме того, удовлетворяющей одному из следующих четырех условий (рис. 18):

а) проходящей через данную точку (а; b); 

б) параллельной прямой L3, заданной уравнением

; 

в) перпендикулярной прямой L3, заданной уравнением

; 

г) являющейся биссектрисой угла, образованного прямыми и .

При решении подобных задач бывает удобным уметь писать уравнение любой прямой, проходящей через точку пересечения двух данных прямых и , не вычисляя координат этой точки пересечения .

Для этого составим уравнение

a(+ + 1) – b ( + + ) = 0, (2.24)

где α и b – какие угодно не равные одновременно нулю числа.

Уравнение (2.24), как уравнение первой степени относительно x и y, есть уравнение прямой линии при любых числах α и b, не равных одновременно нулю.

Эта прямая заведомо проходит через точку пересечения двух данных прямых и . В самом деле, так как принадлежит каждой из двух указанных прямых, то справедливы равенства

и ,

из которых вытекает, что при любых a и b

α

т. е. координаты x0 и y0 точки М0 удовлетворяют уравнению (2.24).

Задавая в уравнении (2.24) произвольно два числа a и b, мы будем получать всевозможные прямые, проходящие через точку М0(x0; y0). Совокупность таких прямых называется пучком прямых, а (2.24) называется уравнением пучка прямых с центром в точке пересечения двух данных прямых L1 и L2.

Рассмотрим теперь решения указанных выше задач. Искомая прямая L будет принадлежать пучку, определяемому уравнением (2.24). Для нахождения постоянных α и b будем использовать одно из условий а), б), в), г).

а) Подставим координаты а и b точки М1 в уравнение (2.24) вместо текущих координат x и y:

a(A1а + B1b + C1) – b (A2a + B2b+ C2) =

В полученном равенстве обе круглые скобки не могут обращаться в нуль (иначе точка М1(а; b) совпадет с центром пучка М0(x0; y0) ). Задавая произвольно один из коэффициентов a и b, мы найдем другой из этих коэффициентов. Подстановка найденных a и b в уравнение (2.24) дает решение задачи.

б) Запишем общие уравнения данных прямых L1, L2 и L3 в виде уравнений с угловым коэффициентом y = k1x + b1, y = k2 x + b2 и y = k3 x + b3, где ki = – Ai / Bi, bi = – Ci / Bi , i = 1, 2, 3.

Уравнение пучка (2.24) и угловой коэффициент k прямой пучка примут вид

a ( k1 x  – y  +  b1 )  –  b ( k2 x  – y +  b2 )  =  0, (2.26)

. (2.27)

Так как, согласно (2.18), у двух параллельных прямых угловые коэффициенты равны, то

или . (2.28)

В последнем равенстве обе круглые скобки не могут обратиться в нуль (иначе бы прямые L1 и L2 оказались параллельными), и поэтому из последнего равенства, задавая произвольно один из коэффициентов a и b, мы найдем другой коэффициент. После этого уравнение (2.26) (или (2.24)) дает решение задачи.

в) Используем для прямой (2.26) и прямой L3 условие перпендикулярности (2.19). В результате получим

 или a(1 + k1k3) = b(1 + k2k3). (2.29)

Обращение в нуль обеих круглых скобок последнего равенства невозможно (иначе бы прямые L1 и L2 оказались параллельными), и поэтому задавая произвольно один из коэффициентов a и b, мы найдем из него другой из коэффициентов. Подставив их в уравнение (2.26) (или (2.24)), получим искомое решение.

З а м е ч а н и е. Если одна из данных прямых L1 и L2 перпендикулярна оси Оx и, следовательно, углового коэффициента не имеет, то центр пучка М0(x0; y0) находится непосредственно, и задача решается с помощью уравнения (2.1).

г) Биссектрисы углов, образованных двумя прямыми, являются, как известно, геометрическим местом точек, равноудаленных от этих прямых.

Предположим, что произвольная точка М(x; y) лежит на одной из биссектрис (рис. 18). Используя формулу (2.23) для вычисления одинакового расстояния от точки М(x; y) до прямых L1 и L2, получим равенство

 . (2.30)

Если равны модули двух величин, то эти величины либо равны, либо отличаются только знаками. Следовательно уравнения биссектрис двух углов, образованных прямыми L1 и L2, принимают вид

(2.31)

Нетрудно видеть, что каждое из уравнений (2.31) является уравнением пучка (2.24), в котором числа a и b равны нормирующим множителям уравнений прямых L1 и L2.

ГЛАВА  3.  КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

При изучении линий по их уравнениям естественно располагать их по сложности этих уравнений. Самой простой линией и с этой точки зрения следует считать прямую, ибо ее уравнение имеет первую степень. Следующими по своей сложности за прямой должны считаться линии, уравнения которых имеют вторую степень

Аx2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, (3.1)

где коэффициенты A, B, C, D, E, F – действительные числа и, кроме того, по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля.

В зависимости от значений коэффициентов уравнение (3.1) в произвольно заданной прямоугольной декартовой системе координат может определять окружность, параболу, эллипс, гиперболу, пару пересекающихся прямых, пару параллельных прямых, пару совпадающих прямых, точку и, наконец, может не определять никакой линии. Первые четыре линии обычно называют кривыми второго порядка.

Кривая второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Поэтому при специальном выборе декартовой системы координат уравнение (3.1) примет настолько простой вид, что исследование геометрических свойств этой кривой не будет представлять затруднений. Этим методом мы и воспользуемся для изучения кривых второго порядка, определяемых в специально выбранной декартовой системе координат каноническими (т. е. простейшими) уравнениями.

3.1. Окружность

О п р е д е л е н и е. Окружностью радиуса R с центром в точке С(а; b) называется геометрическое место точек плоскости, находящихся от точки С на расстоянии R (рис. 19).

Для вывода уравнения окружности допустим, что М(х; у) – любая ее точка. Тогда по определению должно выполняться равенство ïСМï=R или СМ 2 = R2. По формуле расстояния между двумя точками (1.7) находим

(х – а)2 + (у – b)2 = R2. (3.2)

Если же точка М(х; у) не лежит на данной окружности, то СМ2 ¹ R2, т. е. координаты точки М не будут удовлетворять уравнению (3.2). Таким образом, каноническое уравнение окружности имеет вид (3.2). Полагая в нем а=0, b=0, получим уравнение (1.17) окружности радиуса R с центром в начале координат.

Раскрывая скобки, запишем уравнение (3.2) в виде:

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0 .

Это уравнение является частным случаем общего уравнения (3.1). Действительно, если в уравнении (3.1) А=С ¹ 0, В = 0, то после деления на А оно примет вид:

,

т. е.

,

или

(3.3)

где a = – D/2A,  b = –E/2A, .

В случае p > 0 это будет уравнение окружности с центром (а; b) и радиусом R = ; в случае р = 0 уравнению (3.3) удовлетворяет единственная пара чисел (а; b), т. е. уравнение определяет точку; в случае р < 0 уравнению (3.3) не удовлетворяет ни одна пара чисел, т. е. уравнение не определяет никакого геометрического образа.

3.2. Парабола

О п р е д е л е н и е. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом параболы, и от данной прямой, называемой директрисой параболы.

Для вывода уравнения параболы введем декартову систему координат Оху так, чтобы фокус находился в точке , а директриса имела уравнение х = – , где р > 0. Пусть М(х; у) – любая точка параболы. Обозначим через r длину отрезка FM, называемого фокальным радиусом точки М, а через d – расстояние ïМNï от точки М до директрисы (рис. 20).

Согласно определению параболы должно выполняться равенство r = d, или по формуле расстояния между двумя точками

.

Возведем обе части равенства в квадрат:

х2 – рх + + у2 = х2 + рх + .

Отсюда окончательно получаем каноническое уравнение параболы

у2 = 2рх . (3.4)

Обратными рассуждениями можно показать, что уравнению (3.4) удовлетворяют только координаты точки М(х; у), лежащей на данной параболе, т. е. для которой r = d, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней. При этом длина r фокального радиуса FM точки М(х; у) параболы выражается через ее абсциссу по формуле

(3.5)

Исследуем форму параболы по ее уравнению.

1) Так как уравнение (3.4) содержит у только в четной степени, то этому уравнению удовлетворяют также координаты точки М¢ (х; –у), симметричной точке М(х; у) относительно оси Ох (рис. 21). Таким образом, ось Ох является осью симметрии параболы.