В. А. М Е Р К У Л О В
КУРС
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
Избранные разделы
Р а з д е л 1
Аналитическая геометрия
Волгоград 2004
УДК 51
ББК 22.1
М 523
Рецензенты:
, д-р физ.-мат. наук, профессор, зам. директора
по научной работе Волжского гуманитарного института
Волгоградского государственного университета;
кафедра высшей математики Волжского филиала Московского
энергетического института (ТУ)
(зав. кафедрой канд. физ.-мат. наук, доцент ,
доцент, канд. техн. наук )
М 523 Курс высшей математики. Избранные разделы. Разд. 1: Аналитическая геометрия: Учеб. пособие / ВолгГАСУ. – Волгоград, 2004. – 88 с.
ISBN -8
Учебное пособие написано в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов по математике для инженерно-строительных и технических специальностей вузов. Оно содержит четыре независимых друг от друга раздела: «Аналитическая геометрия», «Элементы линейной алгебры», «Введение в анализ», «Теория вероятностей».
Раздел 1 «Аналитическая геометрия» состоит из глав 1 – 5: «Метод координат», «Прямая линия», «Кривые второго порядка», «Векторная алгебра», «Поверхности и линии в пространстве». Дополнительно к традиционному изложению в главе 4 «Векторная алгебра» рассматриваются двойное векторное произведение трех векторов и действия с размерностями векторов.
В основу пособия положены лекции, читаемые автором с 1974 года в ВИСТех (филиале) ВолгГАСУ.
Предназначено для самостоятельного изучения указанных разделов студентами дневной и заочной форм обучения.
Илл. 58. Библиогр. 10 назв.
УДК 51
ББК 22.1
ISBN -8 © Волгоградский государственный
архитектурно-строительный
университет, 2004
© , 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие…………………………………………………………… | 5 |
Раздел 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ........................... | 6 |
Глава 1. Метод координат............................................................... | 6 |
1.1. Декартовы координаты на прямой ....................................... | 6 7 10 12 |
Глава 2. Прямая линия....................................................................... | 17 |
2.1. Угловой коэффициент прямой .............................................. | 17 17 22 23 24 |
Глава 3. Кривые второго порядка.................................................... | 28 |
3.1. Окружность ............................................................................. | 28 29 31 35 |
Глава 4. Векторная алгебра................................................................ | 39 |
4.1. Скаляры и векторы. Равенство векторов............................. | 39 40 44 46 47 52 56 61 |
Глава 5. Поверхности и линии в пространстве............................ | 64 |
5.1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве | 64 66 69 70 71 75 77 |
Литература ............................................................................................. | 87 |
ПРЕДИСЛОВИЕ
Математика определяется как наука, изучающая пространственные формы и математические модели явлений реального мира. Для нее важна не природа рассматриваемых объектов, а лишь существующие между ними количественные и качественные соотношения и их форма.
В силу большой абстрактности одна и та же математическая модель может описывать с определенным приближением свойства очень далеких друг от друга по своему содержанию реальных явлений. Для описания некоторых из них нередко бывает достаточно лишь интуитивных представлений о соответствующих математических понятиях. Однако, когда математика применяется в качестве метода исследования, необходимо иметь ясное представление о математических понятиях, уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать границы допустимого использования рассматриваемой математической модели. Только в этом случае может быть уверенность в правильности сделанных выводов.
Абстрактность математики порождает и определенную трудность ее изучения, связанную во многих случаях с несвоевременным туманным и нечетким изложением основополагающих математических понятий на интуитивном уровне, при котором эти понятия оказываются недостаточно хорошо и полно разъяснены и потому остаются непонятными. Напротив, точное и строгое определение каждого математического понятия позволяет его правильно использовать и не нуждается в дополнительных пояснениях.
Несмотря на то, что область математики, находящая себе применение в технике и строительстве все время расширяется, фундаментом для ее изучения остаются доведенные до уровня умения прочные знания таких разделов как аналитическая геометрия, линейная алгебра, элементы высшего анализа и теория вероятностей.
Основная цель предлагаемой книги помочь студентам инженерно-технических и строительных специальностей приобрести необходимые математические знания по указанным разделам за разумный срок и развить у них способность применять эти знания. Курс написан на основе лекций, которые читаются автором с 1974 г. в ВИСТех (филиале) ВолгГАСУ.
Р а з д е л 1
аналитическая геометрия
Глава 1. Метод координат
1.1. Декартовы координаты на прямой
Аналитическая геометрия есть область математики, изучающая свойства геометрических объектов при помощи метода, в основу которого положено понятие координат.
Ввести координаты на прямой – это значит установить взаимно однозначное соответствие между множеством точек прямой и множеством действительных чисел. Для этого проведем на плоскости горизонтальную прямую. Выберем на ней положительное направление, указываемое стрелкой, точку отсчета О и единицу масштаба (рис. 1).
Если на прямой выбрано направление, начальная точка О и единица масштаба, то говорят, что на этой прямой введена декартова система координат. При этом сама прямая, обозначаемая Ох, называется координатной осью, а точка О – началом координат.
Возьмем на оси Ох точку М, лежащую слева или справа от начала координат. Отрезок оси с началом в точке О и концом в точке М называется направленным и обозначается 
, а его длина обозначается 
.
Кроме длины с каждым направленным отрезком сопоставляется его числовая характеристика – так называемая величина направленного отрезка. Величиной ОМ направленного отрезка называется число, равное длине отрезка , взятой со знаком плюс, если направление совпадает с направлением оси Ох, и со знаком минус, если направление противоположно направлению оси Ох.
Из определения величины направленного отрезка следует, что величины отрезков 
и 
, направленных в противоположные стороны данной оси, отличаются лишь знаком, т. е.
ОМ = – МО . (1.1)
Декартовой координатой точки М называется число х, равное величине ОМ направленного отрезка : х = ОМ.
Тот факт, что точка М имеет координату х, символически обозначают так: М(х). При этом координата начала О считается равной нулю.
Таким образом при помощи декартовой системы координат на прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек прямой и множеством всех действительных чисел: любой точке прямой соответствует определенное действительное число, а любому действительному числу – определенная точка на прямой.
Пусть М1(х1) и М2(х2) – две заданные точки, лежащие на оси Ох. Используя равенство (1.1) и определение декартовой координаты точки нетрудно установить, что при любом расположении точек О, М1 и М2 на координатной оси величина направленного отрезка
будет равна разности величин отрезков 
и 
:
М1М2 = ОМ2 – ОМ1 = х2 – х
Расстояние между точками М1 и М2 (обозначим его d) равно длине отрезка , следовательно, равно модулю величины этого отрезка и находится по формуле
d = | х2 – х1 | . (1.3)
1.2. Декартовы и полярные координаты на плоскости
Ввести координаты на плоскости – это значит установить взаимно однозначное соответствие между множеством точек плоскости и множеством упорядоченных пар действительных чисел.
1. Д е к а р т о в ы к о о р д и н а т ы н а п л о с к о с т и. Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую единицу масштаба (рис. 2). Указанная совокупность осей называется декартовой прямоугольной системой координат на плоскости. Ось Ох называют осью абсцисс, а ось Оу – осью ординат. Эти оси называют также координатными осями. Обозначим через Мх и Му соответственно проекции произвольной точки М плоскости на оси Ох и Оу.
Декартовыми прямоугольными координатами х и у точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков 
и 
: х = ОМх, у = ОМу.
Декартовы координаты х и у точки М называются соответственно ее абсциссой и ординатой. Тот факт, что точка М имеет координаты х и у, символически обозначают так: М(х; у).
Плоскость, на которой введена декартова прямоугольная система координат, называется координатной и обозначается Оху. Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, называемые четвертями, квадрантами или координатными углами. Их нумеруют согласно рис. 3, где указаны знаки координат точек в зависимости от расположения точек в том или ином квадранте.
 |
2. П о л я р н ы е к о о р д и н а т ы. Полярные координаты на плоскости вводятся следующим образом. Зафиксируем на плоскости точку О и выходящую из нее полупрямую Ор, а также выберем единицу масштаба (рис. 4). Точка О называется полюсом, полупрямая Ор – полярной осью.
Полярными координатами точки М (отличной от О) называются два числа r и j, первое из которых (полярный радиус r) равно расстоянию точки М от полюса О, а второе (полярный угол j) – угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось Ор до совмещения с полупрямой ОМ.
Точку М с полярными координатами r и j обозначают символом М(r ; j). Полярный угол j измеряется в радианах. Полюсу О соответствует полярный радиус r = 0, полярный угол для него не определен.
Для того чтобы соответствие между отличными от полюса точками плоскости и упорядоченными парами полярных координат (r ; j) было взаимно однозначным, обычно считают, что r и j изменяются в следующих границах:
. (1.4)
Установим связь между декартовыми координатами точки и ее полярными координатами. При этом будем предполагать, что начало декартовой прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительную полуось Ох примем за полярную ось (рис. 5). Такие две системы координат называются согласованными.
Пусть точка М имеет декартовы координаты (х; у) и полярные координаты (r ; j). Из рис. 5 очевидно, что
, (1.5)
. (1.6)
Формулы (1.5) выражают декартовы координаты точки М через ее полярные координаты. Это можно доказать для любого расположения точки М на координатной плоскости. Формулы (1.6) выражают полярные координаты точки М через ее декартовы координаты и тоже верны при любом положении точки М, если она не лежит на оси Оу, т. е. если х ¹ 0. Заметим, что вторая из формул (1.6) дает два значения j. Поэтому для вычисления полярного угла j точки М по ее декартовым координатам х и у предварительно выясняют, в каком квадранте лежит точка М.
В заключение отметим, что иногда на плоскости вводят и другие координаты. Примером могут служить эллиптические координаты – им соответствуют взаимно перпендикулярные семейства эллипсов и гипербол. Такие координаты оказываются удобными при рассмотрении некоторых конкретных задач механики и физики. Однако, в большинстве случаев пользуются самыми простыми координатами – декартовыми прямоугольными координатами.
1.3. Простейшие задачи на плоскости
1. Р а с с т о я н и е м е ж д у д в у м я т о ч к а м и. Найдем расстояние d между двумя данными точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) (рис. 6). Из прямоугольного треугольника М1NМ2 по теореме Пифагора имеем:
.
Но, согласно рис. 6 и формуле (1.3), |М1N| = |A1A2| = |х2 – х1|, |NМ2| = |B1B2| = |у2 – у1|. Поэтому
. (1.7)
2. Д е л е н и е о т р е з к а в д а н н о м о т н о ш е н и и.
Рассмотрим на плоскости две различные точки М1(х1; у1) и М2(х2; у2) и прямую, определяемую этими точками. Выберем на этой прямой некоторое направление. На полученной оси точки М1 и М2 определяют направленный отрезок .Пусть М(х; у) – любая, отличная от М2 точка указанной выше оси (рис. 7).
О п р е д е л е н и е. Число
, (1.8)
где М1М, ММ2 – величины отрезков 
и 
, называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок 
.
З а м е ч а н и е. При изменении направления на прямой, проходящей через точки М1 и М2, меняют знак величины всех направленных отрезков. Поэтому отношение l в формуле (1.8) не зависит от выбора направления на прямой.
Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению l и данным точкам М1(х1; у1) и М2(х2; у2) найти координаты точки М. Для ее решения опустим из точек М1, М и М2 перпендикуляры на ось Ох (рис. 7), получим на основании теоремы элементарной геометрии о пропорциональности отрезков прямых, заключенных между параллельными прямыми, равенство
.
При выбранном расположении точек согласно формуле (1.2) имеем: А1А = х – х1, АА2 = х2 – х. Поэтому заданное отношение (1.8) принимает вид:
.
Решая его как линейное уравнение относительно х, получим
. (1.9)
Совершенно аналогично вычисляется координата у:
. (1.10)
Соотношения (1.9), (1.10) имеют смысл при любых значениях l ¹ –1. Они называются формулами деления отрезка в данном отношении l. Очевидно, если l = 1, то точка М делит отрезок пополам. Получающиеся при этом формулы
, 
(1.11)
называются формулами деления отрезка пополам.
Для положительных значений l точка М лежит между точками М1 и М2, а для отрицательных значений – вне отрезка . В первом случае говорят, что точка М делит отрезок внутренним образом, а во втором случае – внешним образом.
3. П л о щ а д ь т р е у г о л ь н и к а. Пусть даны три точки М1(х1; у1), М2(х2; у2) и М3(х3; у3), не лежащие на одной прямой. Найдем площадь S треугольника М1М2М3 .
Опустим из точек М1, М2, М3 перпендикуляры на ось Ох (рис. 8).
Неотрицательную площадь треугольника М1М2М3 выразим через площади соответствующих трапеций:
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим
(1.12)
Для любого другого расположения данных точек формула (1.12) выводится аналогично. Если площадь треугольника равна нулю, то это будет означать, что точки М1, М2, М3 лежат на одной прямой.
1.4. Линии и их уравнения
1. Л и н и я к а к г е о м е т р и ч е с к о е м е с т о т о ч е к. В аналитической геометрии линии рассматриваются как геометрические места точек, их составляющих. Например, окружность определяется как геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от некоторой фиксированной точки плоскости (центра окружности). Биссектрису плоского угла можно рассматривать как геометрическое место точек, равноотстоящих от сторон этого угла, и т. д.
2. П о н я т и е о б у р а в н е н и и л и н и и. Сущность метода координат на плоскости заключается в том, что всякой плоской линии сопоставляется ее уравнение, а затем свойства этой линии изучаются путем аналитического исследования соответствующего уравнения.
Предположим, что на плоскости заданы декартова прямоугольная система координат Оху и некоторая линия L (рис. 9). Координаты х и у точки М, лежащей на этой линии, не могут быть произвольными; они должны быть подчинены известным ограничениям, обусловленным геометрическими свойствами данной линии.
Тот факт, что числа х и у являются координатами точки, лежащей на данной линии, аналитически записывается в виде некоторого уравнения, которое выделяет среди всех точек плоскости точки данной линии. Так как линия рассматривается как геометрическое место точек, то можно сказать, что уравнение линии представляет собой запись свойства, определяющего данное геометрическое место точек.
Сформулируем теперь точнее определение уравнения линии. Рассмотрим некоторое уравнение, связывающее две переменные величины х и у, вида
(1.13)
О п р е д е л е н и е. Уравнение (1.13) называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты х и у ни одной точки, не лежащей на линии L.
Если рассматриваемое уравнение вида (1.13) является уравнением линии L, то мы будем говорить, что это уравнение определяет линию L. Сама линия L в этом случае представляет геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1.13).
Пусть точка М(х; у) передвигается по линии L, тогда ее координаты х и у, изменяясь, все время удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты точки М(х; у) называются текущими координатами точки линии L.
Задача о нахождении точек пересечения двух линий, имеющих уравнения F(х; у) = 0 и Ф(х; у) = 0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:
(1.14)
Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.
3. П а р а м е т р и ч е с к о е п р е д с т а в л е н и е л и н и и. Для аналитического представления линии L часто бывает удобно выражать текущие координаты х и у точек этой линии при помощи третьей вспомогательной переменной (параметра) t двумя уравнениями вида
(1.15)
в некоторой области изменения параметра t. Они называются параметрическими уравнениями линии L. Исключение из двух уравнений (1.15) параметра t приводит к рассмотренному выше уравнению вида (1.13).
Параметрическое представление линии на плоскости естественно возникает, если эту линию рассматривать как путь, пройденный материальной точкой, непрерывно движущейся по определенному закону. В самом деле, если переменная t представляет собой время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то задание закона движения и представляет собой задание координат х и у движущейся точки как некоторых функций 
времени t.
Разумеется, роль параметра t могут играть также некоторый угол, длина дуги или другая неименованная переменная.
П р и м е р. Установим параметрические уравнения окружности радиуса R > 0 с центром в начале координат. Пусть М(х; у) – любая точка этой окружности, а t – угол между радиусом-вектором 
и осью Ох, отсчитываемый против часовой стрелки (рис. 10). Очевидно, что тогда
(1.16)
Заметим, что для исключения параметра t из уравнений (1.16) достаточно возвести в квадрат и сложить эти уравнения. С учетом тождества 
мы получим при этом уравнение окружности вида (1.13):
(1.17)
З а м е ч а н и е. Часто линию L определяют не уравнением (1.13), а разрешенным (например, относительно у) уравнением
(1.18)
Подчеркнем, что определение линии разрешенным уравнением (1.18) представляет собой частный случай параметрического определения этой линии (при х = t, у = f (t)).
4. У р а в н е н и е л и н и и в р а з л и ч н ы х с и с т е м а х к о о р д и н а т. Вид уравнения линии L зависит не только от вида самой линии L, но и от выбора системы координат. Уравнение линии меняется как при переходе от одной декартовой системы координат к другой, так и при переходе от декартовых координат к каким-нибудь другим координатам.
Если (1.13) представляет собой уравнение линии L относительно заданной декартовой прямоугольной системы координат Оху, то, чтобы получить уравнение той же линии L относительно любой другой системы координат, достаточно подставить в (1.13) на место х и у их выражения через новые координаты.
Так, например, линия L, определяемая в декартовой системе Оху уравнением (1.13), в полярной системе будет определяться уравнением
(1.19)
где, согласно формулам (1.5), введено обозначение 
Использование для определения некоторых линий недекартовых систем координат объясняется тем, что уравнение линии имеет при этом более простой вид. В частности, уравнение окружности (1.17) в полярных координатах (после подстановки в него х и у, выраженных через r и j согласно формулам (1.5)), примет вид
r = R . (1.20)
5. А л г е б р а и ч е с к и е л и н и и. Д в е о с н о в н ы е з а д а ч и. Уравнение F(х; у) = 0 называется алгебраическим, если выражение F(х; у) есть сумма конечного числа слагаемых вида 
где k и m – целые неотрицательные числа, А – действительное число. При этом наибольшая из сумм n = k + m называется степенью уравнения. Так, например, уравнения
будут алгебраическими. Степени их соответственно равны 1, 2, 5.
Общий вид алгебраического уравнения первой степени:
(1.21)
где А, В, С – некоторые числа, называемые коэффициентами уравнения.
Общий вид алгебраического уравнения второй степени:
(1.22)
где А, В, С, D, E, F – коэффициенты уравнения.
О п р е д е л е н и е. Линия L называется алгебраической линией порядка n, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат она определена алгебраическим уравнением степени n с двумя переменными.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
