Меркулов высшей математики. Избранные разделы. Разд. 1: Аналитическая геометрия: Учеб. пособие (стр. 4 )

Оси называют: Оx – ось абсцисс, Оy – ось ординат, Оz – ось аппликат. Попарно взятые координатные оси располагаются в так называемых координатных плоскостях Oxy, Оyz, Оxz, которые разбивают пространство на восемь октантов.

Пусть М – произвольная точка пространства. Обозначим через Мx, Мy и Мz проекции точки М на оси Оx, Оy и Оz соответственно (рис. 35).

Декартовыми прямоугольными координатами x, y и z точки М будем называть числа

(4.2)

т. е. величины направленных отрезков , , ; при этом x называется абсциссой, y – ординатой, а z – аппликатой точки М. Тот факт, что точка М имеет координаты x, y и z, символически обозначают так: М(х; у; z).

При заданной системе координат каждой точке М пространства соответствует единственная упорядоченная тройка чисел (x; y; z) – её декартовы координаты, и наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел (x; y; z) соответствует, и притом одна, точка М в пространстве. Таким образом, декартова прямоугольная система координат в пространстве устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек пространства и множеством упорядоченных троек действительных чисел.

Если М(x; y; z) – произвольная точка в пространстве, то радиусом-вектором точки М назовём вектор , имеющий своим началом начало О заданной системы координат, а концом – эту точку. Обозначим единичные векторы (орты) осей Оx, Оy, Оz соответственно через `i, `j,`k. Тройка указанных векторов`i, `j,`k образует так называемый ортонормированный базис пространства векторов. Покажем, что

. (4.3)

Действительно, из рис. 35 по правилу параллелограмма сложения векторов находим

На основании равенства (4.1) и определения декартовых координат точки М, данного формулами (4.2), имеем

откуда и следует равенство (4.3), называемое разложением радиус-вектора по базису `i, `j,`k.

Таким образом мы показали, что каждой точке М(x; y; z) в пространстве ставится во взаимно однозначное соответствие её радиус-вектор . При этом декартовы координаты x, y и z точки М называются декартовыми координатами её радиус-вектора .

4.4. Координаты вектора. Линейные операции над
векторами, заданными в координатной форме

Пусть теперь заданы две точки М1(x1; y1; z1) и М2(x2; y2; z2). Покажем, что вектор может быть разложен по базису т. е. представлен в форме линейной комбинации базисных векторов

(4.4)

где коэффициенты аx , аy , аz линейной комбинации называются декартовыми координатами вектора .

Имеем , где (рис. 36). Отсюда, в силу равенства (4.3) и свойств линейных операций 1° – 7° из п. 4.2, находим:

. (4.5)

Полагая получаем формулу (4.4), в которой векторы называются составляющими вектора по осям координат.

Если вектор имеет декартовы координаты , то будем использовать символическую запись (). Отметим, что декартовы координаты вектора определяются единственным образом в силу взаимно однозначного соответствия между точками пространства и их радиусами-векторами.

Непосредственным следствием единственности разложения вектора по базису является то, что если два вектора равны между собой, то их координаты равны между собой и обратно, т. е. если

(4.6)

то из следует и обратно. Таким образом, одно векторное равенство равносильно трём скалярным равенствам.

Из свойств линейных операций над векторами следует, что линейные операции над векторами, заданными в координатной форме (4.6), можно заменить арифметическими действиями над их координатами:

(4.7)

Если два ненулевых вектора и коллинеарны, т. е. , то из равенств следует условие коллинеарности векторов в координатной форме:

(4.8)

Таким образом, два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноимённые координаты пропорциональны.

В заключение укажем, что в формуле (4.5) разности между координатами проекций на координатные оси конца М2 и начала М1 вектора называются проекциями вектора на координатные оси прямоугольной декартовой системы координат.

Обозначим их:

(4.9)

Отсюда следует геометрический смысл декартовых координат вектора: декартовы координаты вектора равны проекциям этого вектора на оси Оx, Оy и Оz соответственно:

(4.10)

Из формул (4.7) видно, что при сложении (вычитании) двух векторов и в координатной форме их соответствующие проекции складываются (вычитаются), а при умножении вектора на любое число α его проекции на оси координат умножаются на число α .

4.5.  Скалярное произведение двух векторов. Длина и
направляющие косинусы вектора

Вспомним известное из физики простейшее определение работы А, производимой постоянной силой на прямолинейном перемещении при условии, что сила составляет с перемещением постоянный угол j (рис. 37)

(4.11)

Выражения, построенные аналогично выражению (4.11), очень часто встречаются в математике и физике. Поэтому явилось целесообразным ввести операцию составления из двух векторов и выражения, аналогичного (4.11).

О п р е д е л е н и е. Скалярным произведением вектора на вектор называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними.

Будем обозначать скалярное произведение векторов точкой, т. е. , тогда по определению

(4.12)

В дальнейшем под углом j между двумя векторами, приведёнными к общему началу, будем понимать тот угол, который не превосходит p.

Среди других обозначений скалярного произведения отметим, как употребляемые в приложениях к задачам механики и физики, ещё такие: и ().

Если векторы и имеют одинаковое направление, то Отсюда ясно наименование всей операции умножением. В частности скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается , поэтому

(4.13)

В приведённом выше примере выражение для работы – скалярной величины – получилось в виде скалярного произведения вектора силы и вектора перемещения , что и объясняет название скалярного произведения двух векторов.

Формуле (4.12), определяющей скалярное произведение, можно придать иной вид.

Действительно, так как произведение есть проекция вектора на ось, определяемую вектором  (рис. 38), а произведение есть проекция вектора на ось вектора , то из равенства (4.12) следует, что

(4.14)

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно длине одного вектора, умноженной на проекцию на него другого вектора. В частном случае, если вектор – единичный, т. е. , то

(4.15)

т. е. проекция вектора на единичный вектор равна скалярному произведению этих векторов.

Рассмотрим алгебраические свойства скалярного произведения:

1° (переместительное свойство); 

2° (сочетательное относительно числового множителя свойство); 

3° (распределительное относительно суммы векторов свойство); 

4° , если – ненулевой вектор, и , если – нулевой вектор.

Убедимся в справедливости этих свойств. Свойство 1° непосредственно вытекает из формулы (4.12):

Для доказательства свойства 2° воспользуемся формулой (4.14). Учитывая, что проекция вектора на ось обладает линейным свойством , получим

Тем самым свойство 2° доказано.

Для доказательства свойства 3° снова воспользуемся формулой (4.14) и линейным свойством проекции вектора на ось . Получим

Свойство 4° вытекает из формул (4.13) и определения нулевого вектора.

Доказанные свойства имеют фундаментальное значение. Они позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, не заботясь при этом о порядке векторных множителей и сочетая числовые множители.

Используем указанную возможность для вычисления скалярного произведения в координатной форме. Пусть векторы () и () заданы в одном и том же ортонормированном базисе `i, `j,`k. Учитывая, что базисные векторы являются попарно ортогональными и имеют единичную длину, получим

(4.16)

Далее, учитывая, что и опираясь на установленную возможность почленного скалярного перемножения векторных многочленов, получим после использования формул (4.16)

(4.17)

Таким образом, скалярное произведение двух векторов, заданных в координатной форме в одном ортонормированном базисе, равно сумме попарных произведений одноимённых координат этих векторов.

Рассмотрим важные следствия, вытекающие из полученных выше формул.

1. Согласно равенствам (4.13) и (4.17) длина (модуль) произвольного вектора () выражается через его координаты по формуле

(4.18)

2. Косинус угла j между векторами () и (), как следует из равенств (4.12), (4.17) и (4.18), выражается через координаты этих векторов по формуле

(4.19)

3. Необходимым и достаточным условием ортогональности (перпендикулярности) векторов () и () является равенство

(4.20)

Действительно, если векторы и перпендикулярны, то в формуле (4.19) имеем и, следовательно, выполняется равенство (4.20). Наоборот, если равенство (4.20) выполняется, то , т. е. векторы и перпендикулярны.

4. Обозначим буквами α, b, g углы наклона вектора () к осям Оx, Оy и Оz соответственно, направления которых определяются векторами (ортами) `i (1, 0, 0), `j (0, 1, 0),`k (0, 0, 1).

Три числа принято называть направляющими косинусами вектора , так как они аналитически задают направление вектора в пространстве.

Согласно формулам (4.10) и (4.15) имеем

(4.21)

Из формулы (4.19) вытекают теперь следующие выражения для направляющих косинусов вектора через координаты этого вектора:

(4.22)

Так как вектор однозначно определяется заданием трёх его координат и , то из формул (4.22) ясно, что вектор однозначно определяется заданием его длины и трёх направляющих косинусов.

Возвышая в квадрат и складывая почленно равенства (4.22), получим, что

(4.23)

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

Отсюда следует, что вектор

(4.24)

полученный из вектора делением его на число , является единичным вектором, соответствующим вектору ; его длина равна единице, а направление совпадает с направлением вектора .

Заметим, что всё изложенное выше остаётся справедливым и в двумерном случае – для плоскости. Достаточно сохранить лишь два орта `i и `j и две координаты и , либо просто считать, что у всех векторов на плоскости Оxy третья координата .

4.6. Векторное произведение двух векторов

В отличие от скалярного, векторное произведение двух векторов есть вектор. К необходимости рассматривать такую операцию приводят некоторые требования геометрического и физического характера.

О п р е д е л е н и е. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется тремя условиями:

1) длина вектора выражается формулой где – угол между векторами и ; 

2)  вектор перпендикулярен каждому из векторов и , т. е. и ; 

3) направление вектора таково, что если смотреть с конца вектора , то поворот от к на угол j совершается против часовой стрелки (рис. 39).

Будем обозначать векторное произведение векторов и косым крестом, т. е.

(4.25)

Из других обозначений наиболее употребительны [] и []. Заметим, что приведённые три условия определяют векторное произведение, если сомножители – ненулевые векторы. В противном случае векторное произведение по определению есть нулевой вектор.

Наиболее часто используемое геометрическое свойство векторного произведения состоит в том, что его длина численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 39):

(4.26)

Отсюда для треугольника, двумя сторонами которого служат векторы и , получаем формулу для площади

(4.27)

Второе важное геометрическое приложение – построение вектора , перпендикулярного двум данным векторам и , или, что то же самое, построение вектора , перпендикулярного плоскости, параллельной двум данным векторам и .

Если же векторы и коллинеарны, то . Следовательно, , т. е. длина вектора равна нулю и условие в краткой форме можно записать в виде векторного равенства

(4.28)

В частности всегда Напротив, если , то . Отсюда ясно наименование всей операции умножением.

Понятие векторного про­изведения имеет свой источник в механике. Как известно из механики, момент относительно начала координат О силы , приложенной к материальной точке P, характеризуемой радиусом-векто­ром , есть вектор , приложенный к точке  О (рис. 40), равный по величине площади параллелограмма, построенного на векторах и , и направленный по перпендикуляру к этой площади так, что если смотреть с его конца, то поворот точки P вокруг начала О происходит против часовой стрелки.

Из определения векторного произведения следует, что момент представляет собой векторное произведение вектора на вектор :

(4.29)

Рассмотрим теперь основные алгебраические свойства векторного произведения.

1°.  (антиперестановочное свойство).

Действительно, из определения векторного произведения следует, что векторы и имеют одинаковую длину, коллинеарны, но направлены в противоположные стороны. Поэтому векторы и являются противоположными и, следовательно, .

2°.  (сочетательное свойство относительно числового множителя).

Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения векторного произведения. Проведём его для случая . Имеем

Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также перпендикулярен векторам и , так как векторы и , и лежат в одной плоскости. Следовательно, векторы и коллинеарны. Очевидно, что направления их также совпадают. Поэтому  =  Подобным же образом проводится доказательство и для случая .

3°.  (распределительное свойство относительно суммы векторов).

Доказательство этого свойства векторного произведения приводится в следующем п. 4.7.

Свойства 1° – 3° позволяют при векторном перемножении векторных многочленов выполнять действия по обычным правилам алгебраических преобразований, но без перестановки между собой умножаемых векторов. Если же такая перестановка совершается, то надо, согласно свойству 1°, просто поменять знак перед произведением.

На практике векторы обычно задаются своими координатами в ортонормированном базисе `i, `j,`k. Поэтому необходимо получить выражение для векторного произведения в координатной форме.

Прежде всего, составим векторные произведения ортов (рис. 41). Из определения векторного произведения имеем: