Меркулов высшей математики. Избранные разделы. Разд. 1: Аналитическая геометрия: Учеб. пособие (стр. 3 )

2) Так как по условию p > 0, то уравнению (3.4) удовлетворяют координаты точек лишь с неотрицательными абсциссами. Следовательно, парабола располагается в правой полуплоскости, где х ³ 0.

3) Точка О(0; 0) удовлетворяет уравнению параболы (3.4) и лежит на ее оси симметрии. Поэтому начало координат, т. е. точка О(0; 0), называется вершиной параболы.

4) При неограниченном возрастании координаты х значения координаты у также неограниченно возрастают по абсолютной величине, хотя и не столь же быстро. Например, при увеличении х в 4 раза ïуï увеличится только вдвое.

5) Если на параболе взять точку (рис. 21), то, согласно формуле (3.5), ее фокальный радиус FK, перпендикулярный к оси симметрии, будет иметь длину r = p. Следовательно, параметр р характеризует «ширину» области, ограниченной параболой. В этом и состоит геометрический смысл параметра р, называемого фокальным параметром параболы.

Таким образом, парабола выглядит так, как показано на рис. 21. Она оказалась бесконечной незамкнутой кривой, у которой ось Ох служит осью симметрии, начало координат – вершиной, а ось Оу – касательной в вершине.

З а м е ч а н и е. Нетрудно понять теперь, что каждому из уравнений

у2 = – 2рх, х2 = 2ру, х2 = – 2ру (р > 0)

соответствует парабола, по форме тождественная с параболой (3.4), но только иначе расположенная.

3.3. Эллипс

Пусть на плоскости даны две точки F1 и F2, расстояние между которыми ïF1F2ï= 2с. Допустим, что М – произвольная точка плоскости, а r1=ïF1Mï и r2=ïF2Mï – ее расстояния до точек F1 и F2.

О п р е д е л е н и е. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а:

. (3.6)

Выведем уравнение эллипса. Для этого введем декартову систему координат Оху так, чтобы фокусы находились в точках F1(-c; 0) и F2(c; 0). Пусть М(х; у) – произвольная точка эллипса (рис. 22). Запишем ее фокальные радиусы r1 и r2 в координатной форме и подставим их в равенство (3.6):

(3.7)

Это и есть уравнение эллипса. Приведем его к более простому виду. Перенесем второй радикал в правую часть и затем возведем обе части равенства в квадрат:

х2+2хс + с2 + у2 = 4а2 – 4а + х2 –2хс + с2 + у2,

откуда находим

. (3.8)

Возведем теперь в квадрат обе части равенства (3.8):

х2 – 2хс + с2 + у2 = а2 –2хс + 2 ,

откуда, после приведения подобных членов и умножения на а2, получим

(а2 – с2) х2 + а2у2 = а2(а2 – с2

Заметим, что по определению эллипса 2а > 2с (сумма двух сторон треугольника больше третьей его стороны). Поэтому, обозначив

b2 = a2 – c2 , (3.10)

после деления обеих частей равенства (3.9) на а2b2, получаем

. (3.11)

Если выполнить выкладки в обратном порядке, то можно показать, что всякая пара чисел х и у, удовлетворяющая уравнению (3.11), удовлетворяет и уравнению (3.7). Таким образом, уравнению (3.11) удовлетворяют координаты точек данного эллипса, и только они.

Уравнение (3.11) называется каноническим уравнением эллипса.

Исследуем свойства эллипса по его каноническому уравнению.

1) Из уравнения (3.11) вытекает, что £  1 и £  1 . Эти неравенства, очевидно, равносильны неравенствам | х | £ а и | у | £ b. Итак, эллипс расположен в прямоугольнике со сторонами 2а и 2b, определяемом неравенствами – а £ х £ а, – b £ y £ b.

2) Уравнение (3.11) содержит х и у только в четных степенях. При замене х на – х, а у на – у это уравнение не изменяется, т. е. эллипс симметричен относительно обеих осей координат Ох и Оу и представляет собой замкнутую кривую.

3) В силу сказанного выше, мы будем знать форму всего эллипса, если установим вид той его части, которая лежит в первом квадранте. Для этого разрешим уравнение (3.11) относительно у:

y = .

Очевидно, что здесь 0 £ х £ а, так как выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. При возрастании х от 0 до a величина у уменьшается от b до 0. Отсюда следует, что часть эллипса, лежащая в первом квадранте, есть дуга, ограниченная точками В(0; b) и А(a; 0), лежащими на осях координат. Воспользовавшись теперь симметрией эллипса, приходим к заключению, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 23.

Точки А, В, А1, В1 пересечения эллипса с осями симметрии называются его вершинами. Отрезки А1А и В1В, соединяющие противоположные вершины, а также их длины 2а и 2b, называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

4) Рассмотрим окружность, заданную уравнением

(3.12)

Произведем теперь равномерное сжатие плоскости к оси Ох, т. е. такое преобразование, при котором точка с координатами (х; у) перейдет в точку с координатами , причем , . Очевидно, при этом преобразовании окружность (3.12) перейдет в кривую, определяемую уравнением

,

т. е. в эллипс.

Это показывает, что эллипс можно рассматривать как сжатую окружность. Отсюда, в частности, следует, что параметрические уравнения эллипса (3.11) можно получить из параметрических уравнений x = a cos t, y = a sin t, 0 £ t £ 2p, окружности (3.12) умножением ординаты окружности у на коэффициент :

(3.13)

5) Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине его большой оси, т. е. число

e = . (3.14)

Так как с < а, то для любого эллипса 0 < e < 1. Эксцентриситет характеризует степень сжатия эллипса к оси Ох. Действительно, из формул (3.10) и (3.14) следует

e2 = ,

и значит

.

Отсюда видно, что, чем больше e, тем меньше отношение и тем больше сжат к оси Ох эллипс.

6) Из равенства (3.8) имеем:

,

но по определению эллипса r1 + r2 = 2a, следовательно

.

С учетом обозначения (3.14) полученные формулы можно переписать так:

r1 = a + e х , r2 = a – e х . (3.15)

Из проведенного исследования видно, что длины полуосей а и b, расстояние между фокусами 2с, эксцентриситет e и фокальные радиусы r1 и r2 – параметры, которые полностью определяют эллипс с центром в начале координат.

3.4. Гипербола

Пусть вновь F1 и F2 – две фиксированные точки плоскости, расстояние между которыми равно 2с, а М – произвольная точка плоскости, расстояния которой до точек F1 и F2 соответственно равны r1 и r2.

О п р е д е л е н и е. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний r1 и r2 до двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Введем декартову систему координат так, как указано на рис. 22. На основании определения гиперболы можно утверждать, что для всех точек М(х; у) гиперболы, и только для них, должно выполняться равенство

r1 – r2 = ± 2а, (3.16)

которое в координатной форме принимает вид:

. (3.17)

После упрощений, подобных тем, которые были сделаны при выводе канонического уравнения эллипса, вновь получим уравнение (3.9):

(а2 – с2) х2 + а2у2 = а2(а2 – с2), (3.18)

в котором теперь разность а2 – с2 < 0 (разность двух сторон треугольника на рис. 22 меньше его третьей стороны, т. е. r1 – r2 = 2а < 2c и а2 < c2). Поэтому положим

(3.19)

Тогда уравнение (3.18) после деления на а2b2 приводится к виду

. (3.20)

Уравнению (3.20), как следствию уравнения (3.17), удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) гиперболы. Можно показать, что координаты точек, не принадлежащих гиперболе, этому уравнению не удовлетворяют.

Уравнение (3.20) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследуем свойства гиперболы по ее каноническому уравнению.

1) Из уравнения (3.20) вытекает ³ 1, что равносильно неравенству | х | ³ а. Отсюда очевидно, что в полосе – а < х < а точек гиперболы нет, т. е. гипербола состоит из левой ветви, расположенной в левой полуплоскости при х £ – а, и из правой ветви, расположенной в правой полуплоскости при х ³ а.

2) Уравнение (3.20) содержит х и у только в четных степенях, поэтому гипербола имеет две оси симметрии, совпадающие с координатными осями, и центр симметрии – начало координат.

3) Установим форму части ветви гиперболы, расположенной в первом квадранте, где она, согласно (3.20), имеет уравнение

, х ³ а . (3.21)

Так как при х ® + ¥ отношение ® 0, то из (3.21) следует, что при удалении точки М(х; у) гиперболы в бесконечность (т. е. при х ® + ¥) рассматриваемая часть ветви гиперболы приближается снизу к прямой у = х . В силу симметрии аналогичным свойством обладают и другие части гиперболы, расположенные во втором, третьем и четвертом квадрантах.

Прямые, имеющие уравнения

у = и у = –х, (3.22)

называются асимптотами гиперболы.

Для построения всей гиперболы, изображенной на рис. 24, поступают следующим образом. На осях Ох и Оу строят точки А1(-а; 0), А(а; 0), В1(0; -b), В(0; b). Затем через них проводят прямые, параллельные координатным осям, до их взаимного пересечения и таким образом строят прямоугольник, называемый основным прямоугольником гиперболы. Каждая из диагоналей основного прямоугольника, неограниченно продолженная в обе стороны, является асимптотой гиперболы. После построения по точкам части ветви гиперболы в первом квадранте и симметричном отображении ее относительно осей Ох и Оу получают всю гиперболу.

Отрезок А1А и его длина 2а называются действительной осью, а отрезок В1В и его длина 2b называются мнимой осью гиперболы. Параметры а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями. Точки А1 и А пересечения гиперболы с действительной осью называются вершинами гиперболы. Длина 2с отрезка F1F2 действительной оси называется фокусным расстоянием, числа r1 и r2 – фокальными радиусами точки М.

4) Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине ее действительной оси:

. (3.23)

Так как у гиперболы с > а, то для любой гиперболы . Из формул (3.23) и (3.19) следует

Из последнего равенства получается геометрическое истолкование эксцентриситета гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше отношение b/а, а это означает, что основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.

5) Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (3.15), найдем для фокальных радиусов r1 и r2 следующие выражения:

(3.24)

где знак плюс берется для точек М(х; у) правой ветви, а знак минус – для точек левой ветви гиперболы.

6) Уравнение

(3.25)

представляет собой уравнение сопряженной гиперболы, у которой действительной осью является ось ординат, а мнимой – ось абсцисс. Очевидно, что гиперболы (3.20) и (3.25) имеют общие асимптоты (3.22).

7) Гипербола называется равносторонней (или равнобочной), если a = b. Ее каноническое уравнение:

х2 – у2 = а2. (3.26)

Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения

у = х, у = – х (3.27)

и, следовательно, являются биссектрисами координатных углов. Эксцентриситет равносторонней гиперболы

. (3.28)

ГЛАВА 4. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

4.1. Скаляры и векторы. Равенство векторов

При изучении прикладных наук приходится иметь дело с величинами двух видов: скалярами и векторами. Скаляром называется величина, определяемая при выбранной единице измерения одним числом, например: длина, объём, температура, масса, энергия. Вектором называется величина, определяемая помимо числа ещё своим направлением, например: перемещение точки, скорость, ускорение, сила.

В механике и физике различают векторы трёх видов: свободные, скользящие и связанные векторы. Свободные векторы можно перемещать в пространстве параллельно их направлению, т. е. точку приложения свободных векторов можно выбирать произвольно. У скользящих векторов точку приложения вектора можно перемещать произвольно лишь вдоль самого вектора. Примером скользящего вектора может служить сила, приложенная к абсолютно твёрдому телу, так как две силы, равные и расположенные на одной прямой, оказывают на абсолютно твёрдое тело одинаковое механическое воздействие. Наконец, у связанных векторов точка приложения вектора должна быть зафиксирована. Так, например, при рассмотрении движения жидкости за точку приложения силы, действующей на какую-либо частицу жидкости, принимается некоторая точка самой частицы.

Изучение скользящих и связанных векторов сводится к изучению свободных векторов, почему достаточно ограничиться рассмотрением только последних. Абстрагируясь от конкретных свойств, встречающихся в природе физических векторных величин, мы приходим к понятию геометрического вектора, называемого, для краткости, в дальнейшем просто вектором.

Геометрическим вектором, или просто вектором, будем называть направленный отрезок (рис. 25). Для обозначения вектора используется либо символ (А – точка начала, В – точка конца направленного отрезка), либо какая-нибудь буква с чертой над ней `а, либо буква без черты, выделенная в печатном тексте жирным шрифтом.

Для обозначения длины вектора будем пользоваться символом модуля (или абсолютной величины):½½, ½`а½. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет направления, его длина равна нулю. Это позволяет нам при записи отождествлять нулевой вектор `0 с действительным числом нуль.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 26). Коллинеарность векторов выражают записью .

Теперь мы можем сформулировать понятие равенства двух векторов: два вектора называются равными, если они коллинеарны , имеют одинаковую длину çç = çç и одинаковое направление `а ­­ . Равенство векторов обозначают обычным в алгебре знаком равенства `а = . Все нулевые векторы считаются равными. Для неравных векторов `а и пишут`а ¹ .

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. Такой вектор называется свободным.

4.2. Линейные операции над векторами

Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на действительные числа.

О п р е д е л е н и е 1. Суммой `а + векторов `а и называется вектор, идущий из начала вектора `а в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора `а (рис. 27).

Правило сложения двух векторов обычно называют правилом треугольника, так как слагаемые векторы `а и и их сумма `а + образуют треугольник.

Сложение векторов обладает теми же самыми четырьмя свойствами, что и сложение действительных чисел:

1° `а + = + `а (переместительное свойство); 

2°  (`а + ) +=`а + ( + ) =`а + + (сочетательное свойство); 

3° `а + `0 =` a (особая роль нулевого вектора); 

4° `а + ( –`а) =` 0.

Убедимся в справедливости этих свойств. Из рис. 28 видно, что сумма `а + и сумма  +`а двух векторов `а и является диагональю параллелограмма ABCD, построенного на векторах `а и , что и доказывает свойство 1°.

Чтобы образовать сумму `а + +`с трёх векторов `а, и`с (рис. 29), мы к сумме `а + прибавляем вектор `с, окончательно получаем вектор = (`а + ) +`с. Тот же самый результат получится, если к вектору `а прибавить сумму  +`с. Тем самым свойство 2° установлено.

Свойство 3° непосредственно вытекает из определения 1.

Свойство 4° следует из рис. 30 и определения 1 для векторов `а и  = –`а, где под вектором –`а мы будем понимать вектор, противоположный `а, т. е. равный по величине, но противоположный по направлению вектору `а.

З а м е ч а н и е. При доказательстве свойства 1° нами обосновано ещё одно правило сложения векторов, называемое правилом параллелограмма: сумма `а + векторов `а и , приведённых к общему началу, представляет собой идущую из общего начала диагональ параллелограмма, построенного на данных векторах (рис. 28).

Доказанные свойства 1° – 4° позволяют оперировать с суммой любого конечного числа векторов так же, как с суммой действительных чисел. Наконец, свойства 1° – 4° позволяют решить вопрос о вычитании векторов.

О п р е д е л е н и е 2. Разностью – вектора и вектора называется вектор , равный сумме вектора`а и вектора –, противоположного вектору : = – = + (–).

Геометрически разность `а – , приведённых к общему началу векторов `а и , представляет собой диагональ параллелограмма, идущую из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора `а (рис. 31). Очевидно при этом, что из векторного равенства `а –  = `с следует равенство `а = +`с , т. е. при переносе слагаемого из одной части равенства в другую его часть знак меняется на противоположный точно так, как это имеет место для действительных чисел.

Перейдём к рассмотрению операции умножения вектора на действительное число.

О п р е д е л е н и е 3. Произведением (или ) вектора `а на действительное число a называется вектор `b, удовлетворяющий трём условиям:

1)  вектор`b коллинеарен вектору `а, т. е. `b çç`а ; 

2)  ç`b ç = ça ç · ç`а  ç; 

3)  векторы и одинаково направлены ­­, если a > 0 , и направлены противоположно ­¯, если a < 0; если a = 0 , то = .

Из определения 3 следует, что если = a, то векторы и коллинеарны, и наоборот, из коллинеарности векторов и следует, что = a.

Геометрический смысл операции умножения вектора ¹ на число a ¹ 0 можно выразить так: вектор = a получается из вектора растяжением в ça ç раз при ça ç>1 и сжатием в  раз при ça ç< 1. При a < 0, кроме растяжения или сжатия, происходит ещё изменение направления вектора на противоположное.

Операция умножения вектора на число обладает следующими тремя свойствами:

5°  (распределительное свойство числового сомножителя относительно суммы векторов); 

6°  (распределительное свойство векторного сомножителя относительно суммы чисел); 

7°  (сочетательное свойство числовых сомножителей).

Справедливость свойства 5° при a > 0 следует из свойства подобных фигур (рис. 32): при изменении сторон параллелограмма в a раз его диагональ также изменяется в a раз. Случай a < 0 рассматривается аналогично.

Свойство 6° следует из определения 3 и правила сложения векторов и , лежащих на одной прямой.

Свойство 7° следует из определения 3 и определения равенства двух векторов. Действительно, при a и b, отличных от нуля, векторы и коллинеарны и одинаково направлены (если a или b равны нулю, то оба вектора нулевые). А так как

| a ( b`а) | = | a | · | b`а | = | a | · | b | · |`а | = | ab | · |`а | ,

то эти векторы имеют одинаковую длину, и свойство 7° выполняется.

Применяя введённые линейные операции, мы можем теперь составлять линейные комбинации векторов, умноженных на числа:

Числа, входящие в линейную комбинацию, называются её коэффициентами.

Основное значение свойств 1° – 7° линейных операций состоит в том, что эти свойства позволяют преобразовывать выражения, составленные из линейных комбинаций, по обычным правилам элементарной алгебры.

В заключение рассмотрим важный частный случай двух коллинеарных векторов, когда один из них имеет длину, равную единице. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Пусть вектор `а коллинеарен орту`i , который примем за ось.

Из определения величины направленного отрезка оси, данного в п. 1.1, следует, что величина а вектора`а равна его длине, взятой со знаком плюс, а = ê`а ê, если`а ­­`i (рис. 33), и равна длине, взятой со знаком минус, а = – ê`а ê, если `а ­¯`i (рис. 34). Тогда в обоих случаях будем иметь:

(4.1)

В формуле (4.1) указаны два элемента, характеризующие вектор `а : его величина и его направление, т. е. каждый вектор равен произведению его величины на орт, коллинеарный этому вектору.

Равенство (4.1) будет неоднократно использоваться в дальнейшем.

4.3.  Декартовы координаты точки в пространстве.
Радиус - вектор точки

Три взаимно перпендикулярные координатные оси Оx, Оy и Оz с общим началом О и одинаковой единицей масштаба образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве (рис. 35).