Меркулов высшей математики. Избранные разделы. Разд. 1: Аналитическая геометрия: Учеб. пособие (стр. 5 )

(4.30)

Далее, принимая во внимание, что и опираясь на установленную выше возможность почленного векторного перемножения векторных многочленов, получим

Из последнего равенства и соотношений (4.30) вытекает следующее разложение вектора по базису `i, `j, `k:

(4.31)

Найденная нами формула для векторного произведения достаточно громоздка. Для её более наглядной записи употребляются определители второго и третьего порядков. Рассмотрим четыре числа а1, а2, b1, b2. Определителем второго порядка называется число записанное в форме

(4.32)

Поэтому

(4.33)

Аналогично, определителем третьего порядка называется число, составленное из данных девяти чисел и записанное в форме

(4.34)

Равенство (4.33) можно окончательно записать теперь в виде символического ''определителя'' третьего порядка

(4.35)

который даёт выражение векторного произведения в координатной форме.

Более подробные сведения об определителях и их свойствах будут изложены в следующем разделе.

4.7. Смешанное произведение трёх векторов

Перейдём к вопросу о перемножении трёх векторов , и . В силу двойственности понятия умножения, из векторов , и можно составить несколько произведений разного рода. Чтобы составить из ,, произведение, мы должны сначала перемножить два вектора, а потом полученный результат помножить на третий вектор.

Если мы перемножим первые два вектора, например и , скалярно, то произведение будет скаляром , который нужно затем умножить на вектор , в результате получится вектор , коллинеарный с вектором . Такого же типа будут произведения и .

Пусть умножается на векторно. Если вектор умножить на полученное произведение скалярно, то получится скалярная величина , которая может быть названа векторно-скалярным произведением трёх векторов.

О п р е д е л е н и е. Смешанным произведением трёх векторов ,, называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор , т. е. равное векторно-скалярному произведению.

Выясним сначала геометрический смысл смешанного произведения. Применим для этого формулу (4.14), по которой скалярное произведение двух векторов, например и , равно длине одного вектора, умноженной на проекцию на него другого вектора:

. (4.36)

Отложим данные векторы , , от общего начала и построим на этих векторах, как на рёбрах, параллелепипед (предполагая, что векторы не лежат в одной плоскости). Построим также вектор , модуль которого равен площади S параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах (рис. 42).

Направление вектора есть направление перпендикуляра к грани параллелепипеда с рёбрами и , поэтому проекция вектора  на это направление равна высоте h параллелепипеда, взятой со знаком плюс, если угол j между векторами и острый, и со знаком минус, если угол j тупой:

(4.37)

Так как произведение площади S грани с рёбрами и на высоту h, опущенную на эту грань, равно объёму параллелепипеда V, то получаем окончательно

(4.38)

Таким образом, смешанное произведение трёх векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах.

Отсюда объём пирамиды, построенной на векторах , , , как на рёбрах, равен

(4.39)

Из формул (4.38) следует, что абсолютная величина смешанного произведения, равная объёму параллелепипеда, останется та же, в каком бы порядке мы ни брали сомножители. На рис. 42 векторы ,, расположены так, что они следуют один за другим против часовой стрелки, если смотреть во внутреннюю часть трехгранного угла. Порядок следования векторов не нарушится, если начать обход с вектора или , лишь бы он совершался в том же направлении, т. е. против часовой стрелки. Множители , , в смешанном произведении при этом обходе переставляются в круговом порядке, а знак смешанного произведения не меняется. Отсюда вытекают следующие свойства смешанного произведения.

1°. При циклической перестановке векторов (замена на , на , на ) смешанное произведение не меняется:

.

2°. Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противоположный, так как это равносильно перестановке сомножителей в векторном произведении:

.

3°. Если два из трех данных векторов равны или коллинеарны, то смешанное произведение равно нулю.

Согласно свойству 1° , т. е. безразлично какую пару векторов перемножать векторно. Это позволяет ввести для смешанного произведения обозначение без знаков умножения: . В этих обозначениях свойства 1° и 2° можно записать следующим образом:

. (4.40)

С помощью смешанного произведения можно записать условие компланарности векторов. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях. Очевидно, что для трех компланарных векторов объем построенного на них параллелепипеда равен нулю.

Следовательно, если , и – компланарны, то

, (4.41)

и наоборот. В случае компланарности между векторами , и существует линейная зависимость вида , где m и n –некоторые однозначно определяемые числа.

Покажем, что если векторы (), () и () заданы своими координатами в ортонормированном базисе `i, `j,`k, то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т. е.

(4.42)

Действительно, по определению имеем . Но по формулам (4.35) и (4.33)

(4.43)

Следовательно, по формуле (4.17) получим

Тем самым формула (4.42) доказана. Отсюда необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов (4.41) в координатной форме принимает вид:

. (4.44)

Пользуясь свойствами (4.40) смешанного произведения и распределительным свойством скалярного произведения, докажем теперь распределительное относительно суммы векторов свойство векторного произведения.

Прежде всего заметим, что если векторы и таковы, что при всяком векторе имеем , то .

В самом деле, из равенства следует или, в силу распределительного свойства скалярного произведения,

.

Взяв , согласно формуле (4.13) получим

,

но квадрат длины вектора равен нулю только тогда, когда вектор нулевой. Следовательно, и .

В силу сделанного замечания для доказательства распределительного свойства векторного произведения

достаточно лишь проверить, что для любого вектора выполняется равенство

.

Имеем:

что и требовалось доказать.

4.8. Двойное векторное произведение трёх векторов.
Размерность операций над векторами

Пусть вектор умножается на вектор векторно: . Если вектор умножить на полученное произведение тоже векторно, то получится вектор , который называется двойным векторным произведением векторов , и . Такого рода векторы находят свое применение в физике.

Вектор , с одной стороны, перпендикулярен , с другой стороны, будучи перпендикулярным к , т. е. к перпендикуляру к плоскости, определяемой векторами и , он должен быть компланарен векторам и . Итак, вектор направлен по линии пересечения плоскости, перпендикулярной к , с плоскостью, компланарной векторам и .

Вектор , компланарный векторам и , можно разложить по этим векторам, так что

, (4.45)

где m и n – подлежащие определению числа. Векторное равенство (4.45) равносильно трем скалярным равенствам, выражающим равенство координат:

Используя формулы (4.32), (4.33), (4.35) и (4.43), найдем:

Прибавим и вычтем по , тогда получим

=

Так как совершенно аналогичные формулы получаются для двух других координат и , то имеем право написать окончательное векторное равенство

. (4.46)

При циклической перестановке векторов , , формула (4.46) приводит к трем разным векторам:

Складывая эти три равенства вместе, получаем тождество:

(4.47)

Важное применение формулы (4.46) состоит в выводе разложения данного вектора на две составляющие, из которых одна параллельна, а другая перпендикулярна к заданному вектору .

А именно, положив в формуле (4.46) , найдем

Решаем это уравнение относительно :

(4.48)

Первый из слагаемых векторов правой части, очевидно, параллелен , а второй перпендикулярен.

Формула (4.48) упрощается, если будет единичный вектор:

(4.49)

Разобранные случаи произведений трех векторов играют большую роль в векторной алгебре. Произведения четырех и большего числа векторов могут быть сведены к уже рассмотренным низшим произведениям.

В приложениях математики часто рассматриваются величины, изображаемые векторами: силы, скорости, моменты сил и т. д. Векторам, изображающим такие величины, приписывается размерность.

С формальной точки зрения размерность – это одночлен, составленный из какого-то набора символов. Такие одночлены перемножаются и делятся по обычным правилам действий над одночленами. Имеют место следующие правила действий с размерностями:

1. Складывать векторные величины можно только в том случае, когда их размерности совпадают. При этом размерность суммы та же, что и у слагаемых.

2. При умножении векторной величины на скалярную их размерности перемножаются.

3. Модуль векторной величины имеет ту же размерность, что и сама величина.

4. Скалярное и векторное произведение имеют размерность, равную произведению размерностей сомножителей. Это легко следует из их определений и предыдущих правил.

ГЛАВА  5 .  ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

5.1.  Уравнение поверхности и уравнения линии в
пространстве

1. У р а в н е н и я с т р е м я п е р е м е н н ы м и. Пусть х,  у и z – три произвольные переменные величины. Соотношение вида

F(x; y; z) = 0, (5.1)

где F(x; y; z) означает какое-нибудь выражение, содержащее x, y и z, будем называть уравнением с тремя переменными, если F(x; y; z) = 0 есть равенство, верное не для всяких троек чисел x, y и z. В противном случае соотношение (5.1) называют тождеством.

Если выражение F (x; y; z) есть сумма конечного числа слагаемых вида Axkylzm, где k, l, m – целые неотрицательные числа, а A – действительное число, то уравнение (5.1) называется алгебраическим уравнением, а большее из чисел (k + l + m) называется его степенью.

Алгебраическое уравнение первой степени с тремя переменными имеет вид:

Ax + By + Cz + D = 0, (5.2)

где A, B, C, D – некоторые числа, называемые коэффициентами уравнения. Алгебраическое уравнение второй степени с тремя переменными запишется в виде:

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Hyz + Kx+Ly+Мz+N = 0 (5.3)

и т. д.

2. П о в е р х н о с т ь и ее у р а в н е н и е. В аналитической геометрии поверхность рассматривается как геометрическое место точек, ее составляющих.

Предположим, что в пространстве введена декартова прямоугольная система координат Oxyz и задана некоторая поверхность S. Пусть М – произвольная точка этой поверхности. Положение точки М должно подчиняться определенному условию, характеризующему данное геометрическое место точек (данную поверхность). Так как положение точки М в пространстве определяется ее координатами x, y и z , то условие, которому должно удовлетворять положение точки М, сводится к условию, которому должны удовлетворять ее координаты, т. е. сводится к некоторому уравнению вида (5.1).

О п р е д е л е н и е. Уравнение (5.1) называется уравнением поверхности S (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x, y, z любой точки, лежащей на поверхности S, и не удовлетворяют координаты x, y, z ни одной точки, не лежащей на поверхности S.

С точки зрения этого определения сама поверхность S представляет собой (в заданной системе координат) геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (5.1).

Если рассматриваемое уравнение (5.1) является уравнением поверхности S, то говорят, что это уравнение определяет поверхность S. Иногда говорят короче: дана поверхность F(x ; y; z) = 0.

В аналитической геометрии изучаются поверхности, имеющие в декартовой системе координат алгебраические уравнения первой степени (5.2) и второй степени (5.3).Их называют алгебраическими поверхностями соответственно первого и второго порядков. Всякая неалгебраическая поверхность называется трансцендентной.

3 . У р а в н е н и я л и н и и в п р о с т р а н с т в е. Линию в пространстве естественно рассматривать как пересечение двух поверхностей, т. е. как геометрическое место точек, находящихся одновременно на двух поверхностях.

Пусть F1(x; y; z) = 0 и F2(x; y; z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по данной линии L. Тогда координаты каждой точки линии L удовлетворяют обоим уравнениям.

Таким образом, два уравнения, записанные в форме системы

(5.4)

совместно определяют линию L, т. е. являются уравнениями этой линии.

Разумеется, данную линию L можно представить системой двух уравнений с тремя переменными бесчисленным множеством способов: вместо данных двух поверхностей можно взять любую пару поверхностей, пересекающихся по той же линии L. Аналитически это означает, что вместо системы (5.4) можно взять любую эквивалентную систему.

Пространственная линия называется алгебраической, если она может быть определена как пересечение двух алгебраических поверхностей. Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной.

4. П а р а м е т р и ч е с к и е у р а в н е н и я л и н и и и п о в е р х н о с т и в п р о с т р а н с т в е. Возможен и очень естествен с кинематической точки зрения и другой подход к понятию линии в пространстве, основанный на рассмотрении этой линии, как пути, пройденного материальной точкой, непрерывно движущейся по определенному закону.

Этот подход приводит к параметрическому представлению линии в пространстве, заключающемуся в том, что координаты x, y, z любой точки данной линии L задаются как непрерывные функции некоторого параметра t (представляющего собой время):

(5.5)

определенные и непрерывные в некотором промежутке изменения параметра t. Конечно, этот способ определения линии в пространстве эквивалентен определению ее в виде пересечения двух поверхностей.

Для параметрического задания поверхности координаты любой точки этой поверхности должны быть заданы как функции не одного, а двух параметров a и b:

(5.6)

что равносильно определению той же поверхности уравнением с тремя переменными (5.1).

5.2.  Различные виды уравнения плоскости

1. У р а в н е н и е п л о с к о с т и, п р о х о д я щ е й ч е р е з д а н н у ю т о ч к у п е р п е н д и к у л я р н о д а н н о м у в е к т о р у. С в я з к а п л о с к о с т е й. Пусть дана точка M0(x0; y0; z0) и ненулевой вектор (А; В; С). Составим уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору , который называется нормальным вектором этой плоскости.

Рассмотрим произвольную точку M(x; y; z) этой плоскости. Так как вектор (x ‑ x0; y ‑ y0; z ‑ z0) лежит в плоскости, то он пер­пендикулярен вектору (рис. 43).

Следовательно, их скалярное произведение равно нулю: . Это равенство, записанное в координатной форме

(5.7)

называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Оно имеет первую степень относительно координат x, y и z. Таким образом, мы показали, что всякой плоскости соответствует уравнение первой степени с тремя переменными x, y и z.

Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (5.7) различные значения, мы можем получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку М0 ( х0; у0; z0 ).

Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку М0(х0; у0; z0), называется связкой плоскостей (с центром в М0). Уравнение (5.7), в котором коэффициенты А, В и С могут принимать любые значения, не равные одновременно нулю, называется уравнением связки плоскостей.

2. О б щ е е у р а в н е н и е п л о с к о с т и. Введя обозначение уравнение(5.7) можно переписать в виде

(5.8)

Пусть в уравнении (5.8) по крайней мере один из коэффициентов A, B или C не равен нулю, так как иначе мы имели бы не уравнение, а тождество . Предположим для определенности, что . Тогда уравнение (5.8) можно переписать следующим образом:

(5.9)

Уравнение (5.9) равносильно уравнению (5.8). Сравнивая уравнение (5.9) с уравнением (5.7), видим, что оно, а следовательно и равносильное ему уравнение (5.8), является уравнением плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору

Итак, всякое уравнение первой степени с тремя переменными x, y  и  z вида (5.8) определяет плоскость.

Уравнение (5.8) называется общим уравнением плоскости.

3. Н е п о л н ы е у р а в н е н и я п л о с к о с т и.

О п р е д е л е н и е. Общее уравнение (5.8) называется полным, если все коэффициенты его A, B, C, D отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, то уравнение (5.8) называется неполным.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений.

1) D = 0; уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат (поскольку координаты начала О удовлетворяют этому уравнению).