Меркулов высшей математики. Избранные разделы. Разд. 1: Аналитическая геометрия: Учеб. пособие (стр. 6 )

2) A = 0;  уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ox (поскольку нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен оси Ox).

Аналогично уравнение определяет плоскость, параллельную оси Oy , а уравнение – плоскость, параллельную оси Oz.

3) , ; уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Oxy (ибо эта плоскость параллельна осям Ox и Oy).

Аналогично уравнение (, ) определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Oxz, а уравнение (, ) – плоскость, параллельную координатной плоскости Oyz.

4) , , ; уравнение , или , определяет координатную плоскость Oxy (так как плоскость параллельна координатной плоскости Oxy и проходит через начало координат).

Аналогично уравнение (, , ) определяет координатную плоскость Oхz, а уравнение (, , ) – координатную плоскость Oyz.

4. У р а в н е н и е п л о с к о с т и в о т р е з к а х н а о с я х. Рассмотрим полное уравнение (5.8). Так как в таком уравнении ни один из коэффициентов A, B, C, D не равен нулю, то его можно переписать в виде

Полагая для краткости

получаем:

(5.10)

Уравнение (5.10) называется уравнением плоскости в отрезках на осях, так как знаменатели a, b, c есть величины отрезков, которые отсекает плоскость на осях Ox, Oy и Oz соответственно (отрезки отсчи­тываются от начала координат, см. рис. 44). В самом деле, точка пере­сечения плоскости с осью Ox определяется из уравнения этой плоскости (5.10) при дополнительном условии , . Отсюда находим , и, таким образом, величина отрезка, отсекаемого плоскостью (5.10) на оси Ox, равна a. Аналогично устанавливается, что отрезки, отсекаемые плоскостью (5.10) на осях Oy и Oz, имеют величины, равные соответственно b и c.

5. У р а в н е н и е п л о с к о с т и, п р о х о д я щ е й ч е р е з т р и р а з л и ч н ы е т о ч к и, н е л е ж а щ и е н а о д н о й п р я м о й. Пусть искомая плоскость проходит через три различные точки М1 ( х1; у1; z1 ), М2 ( х2; у2; z2 ) и М3 ( х3; у3; z3 ), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы и не коллинеарны, а поэтому произвольная точка M ( x; y; z ) лежит в одной плоскости с точками М1, М2 и М3 тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны, т. е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих трех векторов равно нулю.

Используя выражение смешанного произведения трех векторов в координатной форме, получим уравнение искомой плоскости в виде определителя

(5.11)

5.3.  Взаимное расположение двух плоскостей

Пусть уравнения двух данных плоскостей P1 и Р2 будут соответственно

(5.12)

Условие параллельности плоскостей (5.12) совпадает с условием коллинеарности их нормальных векторов и . Следовательно, оно имеет вид:

(5.13)

Если же уравнения (5.12) определяют одну и ту же плоскость, то

(5.14)

где t – произвольное число, не равное нулю. Умножая второе из заданных уравнений (5.12) на t и вычитая его из первого уравнения, получаем с учетом равенств (5.14), что , т. е. . Следовательно, условие совпадения плоскостей (5.12) выражается равенствами

(5.15)

Пусть теперь плоскости P1 и P2 не параллельны и не совпадают. Тогда при любом расположении плоскостей (5.12) угол между ними равен углу между их нормалями (рис. 45). Поэтому

(5.16)

Двойной знак здесь поставлен потому, что мы не закрепляем направления нормальных векторов, а перемена одного из этих направлений заменяет угол на угол π –  и тем самым меняет знак косинуса.

Если плоскости P1 и P2 взаимно перпендикулярны, то их нормальные векторы и также перпендикулярны друг другу (), и наоборот. Поэтому из формулы (5.16) непосредственно получаем условие перпендикулярности плоскостей P1 и P2:

(5.17)

5.4.  Расстояние от точки до плоскости

Найдем расстояние d от точки М0(х0; у0; z0) до плоскости P (рис. 46), заданной общим уравнением

(5.18)

Пусть М1(х1; у1; z1) есть проекция точки M0 на плоскость P. Введем вектор , тогда

(5.19)

Координаты точки должны удовлетворять уравнению плоскости (5.18), отсюда . Следовательно, формула (5.19) принимает вид

(5.20)

5.5.  Прямая линия в пространстве

1. О б щ и е у р а в н е н и я п р я м о й. Рассмотрим систему двух уравнений первой степени

(5.21)

Каждое из уравнений этой системы является уравнением плоскости. Если эти плоскости не параллельны (т. е. их нормальные векторы не коллинеарны), то система (5.21) определяет прямую как линию пересечения двух плоскостей.

Уравнения (5.21) называют общими уравнениями прямой.

2. К а н о н и ч е с к и е у р а в н е н и я п р я м о й. Для решения задач уравнения (5.21) не всегда удобны, поэтому используют специальный вид уравнений прямой.

Положение прямой будет вполне определено, если заданы лежащая на ней точка М1 ( х1; у1; z1 ) и ненулевой ве­ктор , коллинеарный данной прямой и поэтому называемый направляющим вектором этой прямой (рис. 47).

Произвольная точка M(x; y; z) лежит на прямой L только в том случае, если векторы и коллинеарны, т. е. когда координаты этих векторов пропорциональны:

(5.22)

Уравнения (5.22) определяют прямую, проходящую через заданную точку М1(х1; у1; z1) и коллинеарную вектору . Эти уравнения принято называть каноническими уравнениями прямой.

Числа l, m и n, называемые направляющими коэффициентами прямой, являются проекциями направляющего вектора на координатные оси. Так как вектор – ненулевой, то все три числа l, m и n не могут одновременно равняться нулю. Но одно или два из них могут оказаться равными нулю.

В частном случае, когда направляющий вектор – единичный, т. е.

[см. формулу (4.24)], уравнения (5.22) имеют следующий вид:

(5.23)

Направляющими коэффициентами здесь являются направляющие косинусы вектора .

Уравнения (5.22) равносильны системе двух уравнений первой степени вида (5.21), например:

(5.24)

В первом уравнении системы (5.24) отсутствует координата z. Следовательно, нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен оси Oz (его проекция на ось Oz равна нулю). Таким образом, это уравнение определяет плоскость P, параллельную оси Oz (рис. 48) и проектирующую прямую L на координатную плоскость Oxy. Точно так же второе уравнение системы (5.24) определяет плоскость Q, которая проектирует прямую L на координатную плоскость Oxz. Вместо системы (5.24) можно рассматривать систему

(5.25)

или систему

(5.26)

каждая из которых определяет ту же прямую L.

В заключение укажем, как общие уравнения прямой (5.21) привести к каноническим уравнениям (5.22). Для этого достаточно найти: 1) хотя бы одну точку М1(х1; у1; z1), координаты которой удовлетворяют системе (5.21); 2) направляющий вектор , в качестве которого можно взять векторное произведение , где , .

3. У р а в н е н и я п р я м о й, п р о х о д я щ е й ч е р е з д в е р а з л и ч н ы е т о ч к и М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2) . Эти уравнения имеют вид :

(5.27)

Для получения их достаточно заметить, что прямая проходит через точку М1(х1; у1; z1) и имеет направляющий вектор , и воспользоваться каноническими уравнениями (5.22).

4. П а р а м е т р и ч е с к и е у р а в н е н и я п р я м о й. Параметрические уравнения прямой в пространстве получаются из канонических уравнений (5.22) этой прямой. Примем за параметр t каждое из отношений (5.22). Тогда

(5.28)

Так как хотя бы один из знаменателей (5.28) отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра t является вся числовая ось: – ∞ < t < + ∞ . Из равенств (5.28) находим

(5.29)

Уравнения (5.29) и есть параметрические уравнения прямой. Если принять параметр t за время, то параметрические уравнения (5.29) определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью .

Параметрические уравнения (5.29) удобны, когда требуется найти точку пересечения прямой L, заданной этими уравнениями, с непараллельной ей плоскостью P, заданной общим уравнением . Для определения точки пересечения нужно выражения для x, y, z из уравнений (5.29) подставить в уравнение плоскости P. В результате очевидных преобразований получим

(5.30)

Подставляя найденное значение параметра t в уравнения прямой (5.29), находим искомую точку M(x; y; z) пересечения прямой L с плоскостью P.

5.6.  Взаимное расположение двух прямых и прямой
с плоскостью

1. У г о л м е ж д у п р я м ы м и в п р о с т р а н с т в е. У с л о в и я п а р а л л е л ь н о с т и и п е р п е н д и к у л я р н о с т и п р я м ы х . Пусть две прямые и заданы своими каноническими уравнениями

и (5.31)

Тогда задача определения угла между этими прямыми сводится к определению угла между их направляющими векторами и . Пользуясь определением скалярного произведения и выражением в координатах указанного скалярного произведения и длин векторов и , мы получим для определения угла следующую формулу:

(5.32)

Условие параллельности прямых и , эквивалентное условию коллинеарности векторов и , заключается в пропорциональности координат этих векторов и имеет вид

(5.33)

Условие перпендикулярности прямых и следует из формулы (5.32) при :

(5.34)

2. У г о л м е ж д у п р я м о й и п л о с к о с т ь ю. У с л о в и я п а р а л л е л ь н о с т и и п е р п е н д и к у л я р н о с т и п р я м о й и п л о с к о с т и. Рассмотрим плоскость P, заданную общим уравнением , и прямую L, заданную каноническими уравнениями .

Поскольку угол между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу между направляющим вектором и нормальным вектором плоскости (рис. 49), то из определения скалярного произведения и из равенства мы получим для определения угла между прямой L и плоскостью P следующую формулу:

(5.35)

Условие параллельности прямой L и плоскости P эквивалентно условию перпендикулярности векторов и и выражается равенством нулю скалярного произведения этих векторов:

(5.36)

Условие перпендикулярности прямой L и плоскости P эквивалентно условию параллельности векторов и и выражается пропорциональностью координат этих векторов:

(5.37)

3. У с л о в и е п р и н а д л е ж н о с т и д в у х п р я м ы х к о д н о й п л о с к о с т и. Пусть две прямые L1 и L2 заданы своими каноническими уравнениями (5.31). Очевидно, что для принадлежности их к одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора , и были компланарны [см. формулу (4.44)]

(5.38)

Если прямые и удовлетворяют условию (5.38), то они либо пересекаются, либо параллельны. Так как условие параллельности прямых и имеет вид (5.33), то для пересечения прямых и необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли условию (5.38) и чтобы нарушалась хотя бы одна из пропорций

4. У с л о в и я п р и н а д л е ж н о с т и п р я м о й к п л о с –к о с т и. Эти условия выражаются двумя равенствами:

(5.39)

первое из которых означает, что точка М1(х1; у1; z1), через которую проходит прямая (5.22), принадлежит плоскости Ax + By + Cz + D = 0, а второе есть условие параллельности прямой и плоскости (5.36).

5.7.  Поверхности второго порядка

Поверхность второго порядка представляет собой геометрическое место точек, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению (5.3), в котором по крайней мере один из коэффициентов A, B, C, D, E, H отличен от нуля. Поверхность, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от одной декартовой системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Для каждого уравнения (5.3) можно указать такую специальную систему координат, в которой уравнение (5.3) примет столь простой вид, что геометрическая характеристика поверхности не будет представлять затруднений. Простейшее для каждой поверхности уравнение называется каноническим. Далее будем определять поверхности только каноническими уравнениями и исследовать по ним вид этих поверхностей.

1. Ц и л и н д р и ч е с к и е п о в е р х н о с т и в т о р о г о п о р я д к а. Если в уравнении (5.3) одна из координат равна нулю, то определяемая этим уравнением поверхность называется цилиндрической. Предположим, что равна нулю координата z. Тогда уравнение

(5.40)

в котором по крайней мере один из коэффициентов A, B и D отличен от нуля, определяет в плоскости Oxy одну из кривых второго порядка, которая называется направляющей цилиндрической поверхности. Соответствующая цилиндрическая поверхность получается параллельным переносом направляющей вдоль прямых, параллельных координатной оси Оz и называемых образующими этой поверхности. Рассмотрим примеры цилиндрических поверхностей второго порядка.

Поверхность, определяемая уравнением

(5.41)

является цилиндрической и называется эллиптическим цилиндром (рис. 50).

Ее образующие параллельны оси Oz, а направляющей является эллипс с полуосями a и b, лежащий в плоскости Oxy. В частности, если a = b, то направляющей является окружность, а поверхность является прямым круговым цилиндром. Его уравнение

(5.42)

Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

(5.43)

называется гиперболическим цилиндром (рис. 51). Направляющей цилиндра служит расположенная в плоскости Oxy гипербола с действительной полуосью a и мнимой полуосью b.

Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

(5.44)

называется параболическим цилиндром (рис. 52). Направляющей цилиндра является парабола, лежащая в плоскости Oxy, а образующие параллельны оси Oz.

2. К о н у с в т о р о г о п о р я д к а. Конусом второго порядка или, кратко, конусом (рис. 53) называется поверхность, определяемая уравнением

(5.45)

Эта поверхность симметрична относительно координатных плоскостей. Начало координат, являющееся центром симметрии, принадлежит поверхности и называется вершиной конуса. Сечениями конуса плоскостями и являются прямые и . В плоскости имеем эллипс

с полуосями Если то поверхность называется прямым круговым конусом. Его уравнение

(5.46)

3. Э л л и п с о и д и с ф е р а. Поверхность, определяемая уравнением

(5.47)

называется эллипсоидом. Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. Так как в уравнение (5.47) текущие координаты входят в четных степенях, то эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей. Точки пересечения осей координат с эллипсоидом называются вершинами эллипсоида.

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью , и пусть при этом Тогда линия, которая получается в сечении, определяется системой уравнений

(5.48)

где Из уравнений (5.48) видно, что сечение эллипсоида (5.47) плоскостью () представляет собой эллипс с полуосями уменьшающимися с увеличением При имеем и сечение стягивается в точку – вершину эллипсоида. При эллипсоид с плоскостью , очевидно, не пересекается.

Аналогично можно показать, что при пересечении эллипсоида плоскостями и также получатся эллипсы. Эллипсоид имеет вид, изображенный на рис. 54.

Если две полуоси эллипсоида равны, например , то получаем уравнение

(5.49)

которое определяет эллипсоид вращения, получаемый вращением вокруг оси Oz эллипса

расположенного в плоскости Oxz. Если все три полуоси эллипсоида (5.47) равны между собой, то получается сфера, определяемая уравнением

(5.50)

Таким образом, сфера оказывается частным случаем эллипсоида.

4. Г и п е р б о л о и д ы. Поверхность, определяемая уравнением

(5.51)

называется однополостным гиперболоидом. Установим вид поверхности (5.51). Для этого рассмотрим сечения ее координатными плоскостями Oxz () и Oyz (). Получаем соответственно уравнения

и

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

При пересечении однополостного гиперболоида плоскостью , параллельной координатной плоскости Oxy, получится эллипс, уравнения которого имеют вид:

Полуоси этого эллипса возрастают с возрастанием абсолютной величины h. При получится эллипс, лежащий в плоскости Oxy и имеющий наименьшие полуоси a и b.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополостный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления от плоскости Oxy (рис. 55).

При получим однополостный гиперболоид вращения

(5.52)

При пересечении его плоскостями получаются окружности.

Поверхность, определяемая уравнением

(5.53)

называется двуполостным гиперболоидом.

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии для двуполостного гиперболоида, а начало координат – его центром симметрии. Пересекая эту поверхность координатными плоскостями Oxz и Oyz, получим соответственно гиперболы

и

Если двуполостный гиперболоид (5.53) пересечь плоскостью ( при ), то в сечении получится эллипс

с полуосями, возрастающими с возрастанием . При поверхность (5.53) с плоскостью , очевидно, не пересекается. Двуполостный гиперболоид состоит из двух отдельных частей (полостей), чем и объясняется его название. Поверхность имеет вид, показанный на рис. 56.

При уравнение (5.53) имеет вид

(5.54)

и является уравнением двуполостного гиперболоида вращения. В сечении последнего с плоскостью ( при ) получается окружность

радиуса

5. П а р а б о л о и д ы. Поверхность, определяемая уравнением

(5.55)

при условии, что p и q имеют одинаковые знаки, называется эллиптическим параболоидом. В дальнейшем для определенности будем считать, что p > 0, q > 0.

При пересечении эллиптического параболоида координатными плоскостями Oxz и Oyz получатся соответственно параболы

и

а при пересечении плоскостью () – эллипс

с полуосями и (рис. 57). В случае получим параболоид вращения

(5.56)

Поскольку переменные x и y входят в уравнение (5.55) в четных степенях, эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии: Oxz и Oyz. Начало координат является вершиной поверхности.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая уравнением

(5.57)

при условии, что p и q имеют одинаковые знаки. Для определенности будем считать, что p > 0, q > 0.

При пересечении гиперболического параболоида координатными плоскостями Oxz и Oyz получаются соответственно параболы (рис. 58)

и

Линии пересечения гиперболического параболоида с плоскостями представляют собой при h > 0 гиперболы

(5.58)

с полуосями , , а при h < 0 – сопряженные гиперболы для гипербол (5.58)

(5.59)

с полуосями , .

При h = 0, т. е. при пересечении гиперболического параболоида координатной плоскостью Oxy, получится линия, уравнение которой в плоскости Oxy имеет вид

Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Это означает, что гиперболический параболоид пересекается с плоскостью Oxy по двум прямым

и (5.60)

лежащим в плоскости Oxy и проходящим через начало координат. Из уравнений (5.58) и (5.59) вытекает, что прямые (5.60) являются асимптотами гипербол, определяемых этими уравнениями.

Гиперболический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, расположенной на рис. 58 в плоскости Oyz, когда ее вершина движется вдоль параболы, расположенной на том же рис. 58 в плоскости Oxz.

В заключение укажем, что кроме двух прямых (5.60), существуют и другие прямые, полностью лежащие на гиперболическом параболоиде. Более того, можно показать, что через каждую точку гиперболического параболоида проходит по одной прямой каждого из двух семейств прямых

и (5.61)

где α и β – произвольные параметры, ибо уравнение (5.57) представляет собой алгебраическое следствие уравнений (5.61) (уравнение (5.57) получается из уравнений каждого семейства прямых (5.61) путем их перемножения).

Поверхности, составленные из прямолинейных образующих, называются линейчатыми. Кроме гиперболического параболоида линейчатыми являются цилиндрические и конические поверхности, а также однополостный гиперболоид.

Возможность составления указанных поверхностей из прямых линий широко используется в практике для сооружения строительных конструкций с помощью балок, расположенных по прямолинейным образующим.

ЛИТЕРАТУРА

1.  , Общий курс высшей математики. – М.: Просвещение, 1995.

2.  Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1981.

3.  Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. – М.: Наука, 1965.

4.  , Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1986.

5.  Кудрявцев Л. Д. Мысли о современной математике и ее изучении. – М.: Наука, 1977.

6.  Меркулов В. А. О некоторых принципах преподавания математики школьникам и студентам // Вестник ВолгГАСА. Сер.: Гуманит. науки. Вып.1(3). – Волгоград: ВолгГАСА, 2000. С. 96 – 101.

7.  Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1968.

8.  Конспект лекций по высшей математике. 1 ч. – М.: Рольф, 2001.

9.  Высшая математика / Под ред. акад. . – М.: Высш. шк., 1985.

10.  , , Краткий курс высшей математики. Т. 1. – М.: Высш. шк., 1978.