Методика реализации принципа единства теории и практики в обучении математике на уровне предвузовского образования (стр. 2 )

ПРОГРАММА 4:

10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА УСЕЧ.-КОН. СОСУДА - 2

20 PRINT «ВВЕДИТЕ R1, R2 И H1, H2»

30 INPUT R1, R2, H1, H2

40 PRINT «V1=»; 3.1R1^2H1/3,

50 PRINT «V2=»; 3.14H2(R1^2 + R1R2 + R2^2)/3; «куб. см»

60 END

С помощью этой программы для нашего примера получаем

V1 = 15.6333 куб. см V2 = 247.8276 куб. см

Округлив первое значение до одной значащей цифры, а второе – до двух, а затем сложив полученные значения, получаем то же число, что и вручную.

2.5. Усеченный конус и цилиндр. Рассмотрим чашу рис. 5 из краснолаковой керамики, найденную в том же месте, что и сосуды предыдущего пункта (см. [26], с. 259, рис. 5,1). Она датирована II половиной I в. - I четвертью II в. н. э. и является представителем многочисленного ряда чаш, очень распространенных среди краснолаковой керамики различных центров производства. О них авторы статьи на с. 241 пишут следующим образом: «Тулово чаш имеет усеченно-коническую форму, стенки слабовогнуты, бортик – прямой или слабовогнутый».

Приложив край линейки к крайним точкам профиля тулова, а затем – бортика, делаем вывод о том, что их «слабовогнутостью» мы можем пренебречь. Поэтому можно считать, что чаша состоит из усеченного конуса и цилиндра.

Воспользовавшись результатами п. 2.1 и 2.2 и методикой п. 2.4, с легкостью составим формулу:

V = V1 + V2 , где V1 = Vусеч. кон.= πh1(r + r1 r2 + r ) и V2 =Vцил.= π rh2, (5.1)

Для нашего конкретного примера с помощью линейки п. 2.1 получаем:

r1 = 2,3 см, r2 = 5,0 см, h1 = 4,3 см, h2 = 1,2 см, (5.2)

откуда видно, что все исходные данные заданы с точностью до одного десятичного знака и до двух значащих цифр.

Рис. 5 Рис. 6

Приложив край линейки к крайним точкам профиля тулова, а затем – бортика, делаем вывод о том, что их «слабовогнутостью» мы можем пренебречь. Поэтому можно считать, что чаша состоит из усеченного конуса и цилиндра.

Воспользовавшись результатами п. 2.1 и 2.2 и методикой п. 2.4, с легкостью составим формулу:

V = V1 + V2 , где V1 = Vусеч. кон.= πh1(r + r1 r2 + r ) и V2 =Vцил.= π rh2, (5.1)

Для нашего конкретного примера с помощью линейки п. 2.1 получаем:

r1 = 2,3 см, r2 = 5,0 см, h1 = 4,3 см, h2 = 1,2 см, (5.2)

откуда видно, что все исходные данные заданы с точностью до одного десятичного знака и до двух значащих цифр.

Программа для вычисления объема этой чаши имеет вид:

ПРОГРАММА 5:

10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛ.-КОН. СОСУДА

20 PRINT «ВВЕДИТЕ R1, R2 И H1, H2»

30 INPUT R1, R2, H1, H2

40 PRINT «V=»; 3.14( H1(R1^2 + R1R2 + R2^2)/3 +R2^2H2); «куб. см»

50 END

Запустив программу и введя значения (5.2) исходных данных, получаем

V = 282.2829 куб. см

Округлив это значение до двух значащих цифр, получаем окончательный ответ:

V ≈ 280 см3.

Предлагаем читателю провести вычисления вручную по формуле (5.1), а затем сравнить вновь полученный результат с полученным на компьютере. То же можно рекомендовать сделать при решении последующих задач.

2.6. Усеченный шар и цилиндр. Рассмотрим сероглиняный лепной сосуд – флягу рис. 6, найденную в «Круглом кургане» (см. [25], с. 210, рис. 1,5). Она датируется серединой I в. н. э. Авторы статьи на с. 188 так описывают этот сосуд: «высокое прямое горло, резко переходящее в шаровидное тулово с плоским дном». Очень точное описание! Действительно, проверка на приближение криволинейной части профиля фляги к окружности, проведенная по методике п. 2.3, подтверждает это: «разброс» центров соответствующей окружности невелик.

Воспользовавшись результатами п. 2.1, формулой для вычисления объема шарового слоя

Vшар. сл.= πh + πh1(r + r )

и методикойп. 2.4, составим формулу для вычисления объема фляги:

V = Vшар. сл.+ Vцил. = πh + πh1(r + r ) + πrh2. (6)

Для нашего конкретного примера измерения линейкой п. 2.1 дают:

r1 = 2,7 см, r2 = 2,2 см, h1 = 7,0 см, h2 = 2,6 см.

Программа 6 для вычисления объема рассматриваемой фляги отличается от предыдущей программы 5 только строкой 40:

40 PRINT «V=»; 3.14 (H1^3/6 + H1(R1^2 + R2^2)/2 + R2^2H2); «куб. см»

С помощью компьютера получаем:

V = 352.3258 куб. см

Округлив это значение до двух значащих цифр, получаем окончательный ответ:

V ≈ 350 см2.

2.7. Шар и конус. Рассмотрим бронзовый котел рис. 7а, найденный в курганном могильнике Первомайский Х, расположенном на территории Волго-Донского междуречья (см. [27], с. 174, рис. 4, 8). Он датирован I в. н. э. и относится к типу VI варианту 1 подварианту А по классификации (см. с. 177). Об этой классификации написал статью [28] – в ней о котлах отмеченного типа на с. 125 читаем: «котлы, имеющие полусферическое тулово с сужающимися к устью стенками на воронковидном поддоне».

а б

в

Рис. 7

Из рис. 7а видно, что котел помят и форма нарушена. Попытаемся восстановить ее. Так как его левая часть и поддон сохранились лучше, возьмем их за основу – ясно, что котел можно представить составленным из шарового сегмента (нижняя часть) и усеченного конуса (верхняя часть), что соответствует вышеприведенному описанию [28].

Начнем восстановление формы котла с нижней части (см. рис. 7б): соединим точки соединения поддона с котлом и таким образом получим хорду окружности АВ, которая первоначально была, естественно, горизонтальной, а теперь наклонена. Чтобы восстановить линию высоты (ось вращения) котла, делим хорду АВ пополам и через ее середину N восставляем перпендикуляр, который и является линией высоты. Из крайней левой верхней точки опускаем перпендикуляр на линию высоты и получаем таким образом верхний радиус CD котла. Стыковка шара и конуса осуществляется, как нам кажется, естественным образом по «горизонтальной» линии орнамента EF (EF ND). Радиус шаровидной части строим аналогично п. 2.3.

Изготовив соответствующую линейку (см. рис. 7в), измеряем ею радиус шаровидной части |АО| = r, ее высоту |NF| = h, радиусы усеченно-конической части |CD| = r1, |EF| = r2 и ее высоту |DF| = h1. Воспользовавшись результатами п. 2.1 и 2.3, запишем формулу для вычисления объема рассматриваемого котла:

V = Vшар. сегм. + Vусеч. кон. = πh(h2 + 3r2) + πh1(r + r1 r2 + r

Для нашего конкретного примера измерения с помощью изготовленной линейки (см. рис 7б) дают:

r = 19,0 см, h = 17,0 см, r1 = 18,3 см, r2 = 17,4 см, h1 = 9,0 см. (7.2)

Составим соответствующую программу:

ПРОГРАММА 7:

10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ШАР.-КОН. СОСУДА

20 PRINT «ВВЕДИТЕ R, H, R1, R2, H1»

30 INPUT R, H, R1, R2, H1

40 PRINT «V=»; 3.142(H(H^2 + 3R^2) + 2H1(R1^2 + R1R2 + R2^2))/6; «куб. см»

50 END

Подставив значения (7.2) исходных данных в Программу 7, получаем:

V = 21223.21 куб. см

Записав это значение в стандартном виде и затем округлив его первый множитель до десятых долей единицы (так как именно такова наименьшая точность у исходных данных, а именно, у h1) или просто округлив до двух значащих цифр, получаем окончательный ответ:

V ≈ 2,122321 × 104 см3 ≈ 2,1 × 104 см3 = 21000 см3 = 21 дм3 = 21 л.

Однако отметим, что проведенное округление достаточно грубое, поскольку менее точное значение (h1) используется только при вычислении объема усеченного конуса и не используется при вычислении объема шарового сегмента. Чтобы уточнить вычисления, поступим аналогично п. 4.2, заменив в Программе 7 строку 40 на две новые строки:

40 PRINT «V1=»; 3.142H(H^2 + 3R^2)/6; «куб. см»,

45 PRINT «V2=»; 3.142H1(R1^2 + R1R2 + R2^2))/3; «куб. см»

В результате после запуска нового варианта программы получаем:

V1 = 12214 куб. см V2 = 9011.915 куб. см

Округлив первое значение до трех, а второе - до двух значащих цифр, приходим к следующему (верные цифры подчеркнуты):

V1 ≈ 00 см3 ; V2 ≈ 00 см3.

Заметим, что оба числа получились с одинаковой абсолютной точностью - до сотен, поэтому их сумму мы должны взять с той же самой точностью – до сотен. Таким образом приходим к результату, более точному, чем полученный ранее:

V ≈ V1 + V2 = 00 см3 + 00 см3 = 00 см3 = 21,2 л.

2.8. Три усеченных конуса. Рассмотрим сосуд рис. 8а, найденный археологами в могильнике на берегу Цимлянского водохранилища в 80-х годах и датированный I веком н. э. (см. [27], с. 183, рис. 3,2). Авторы статьи называют его «биконическим сосудом со сглаженным ребром» (с. 172), что говорит о том, что они считают, что этот сосуд состоит из двух конусов, однако наша «склонность к математической точности» не позволяет нам согласиться с такой формулировкой – из рис.8в видно, что на самом деле данный сосуд состоит из трех усеченных конусов.

Для нашего примера в [27] на с. 172 уже даны некоторые размеры: высота кувшина – 13 см, диаметр венчика (горла) – 16 см, диаметр дна – 8,3 см. Все размеры, как и раньше, приводятся измеренными по наружней стороне сосуда, т. е. отличаются от нужных нам для вычисления фактического, т. е. внутреннего, объема на толщину стенки сосуда. Сконструировав соответствующую линейку (см. рис. 8б) и измерив ею внутреннюю высоту (h1+h2+h3=12,5 см) и внутренний радиус горла (r4=7,5 см), делаем вывод, что толщина сосуда равна 0,5 см. Далее получаем:

h3=2,0 см; h2=2,5 см; h1=8,0 см; r3=7,0 см; r2=7,7 см. (8)

Сложнее получается с измерением внутреннего радиуса дна – из-за того, что соединение боковой стенки сосуда с дном на рисунке изображено нечетко. Чтобы определиться с этим вопросом, можно, переведя рисунок на кальку, «прочистить» интересующее нас место стыковки стенки сосуда с дном, как это было сделано на рис. 8в, и измерить получившийся после этого радиус дна – у нас он получился приблизительно равным 4 см. Однако вспомним, что мы – достаточно хорошо «подкованные» геометры, поэтому, воспользовавшись данными и уже полученными размерами, а также геометрическими свойствами получившихся фигур, составляем следующую геометрическую задачу (рис. 8г).

а

б в г

Рис. 8

Геометрическая задача.

AA2CD и АА1OE – прямоугольники, |AA2| = 8,5 см, |A2C| = 8,3 см;

|AB| = 4,15 см,

OEAB, OFBC, |OE| = |OF| = 0,5 см.

Вычислить длину отрезка A1O.

Р е ш е н и е. Из свойства равенства противоположных сторон прямоугольника следует, что |AA2| = |CD| = 8,5 см и |AD| = |A2C| = 8,3 см, откуда |BD| = |AD| - |AB| = (8,3 – 4,15) см = 4,15 см. Величину α угла CBD определяем из прямоугольного треугольника BCD:

α = arctg .

Углы EOF и CBD равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, следовательно, величина угла EOF равна α. Треугольники OEB и OFB равны как прямоугольные по гипотенузе и катету, поэтому углы EOB и FOB равны. А так как в сумме они составляют угол EOF, то величина каждого из них равна α/2. Из прямоугольного треугольника OEB получаем: |EB| = |OE| tg(α/2).

Ясно, что A1O = AE (как противоположные стороны прямоугольника AA1OE), поэтому

|A1O| = |AB| - |EB| = 4,15 – 0,5 tg[(arctg )/2].

Чтобы вычислить числовое значение этого выражения, воспользуемся компьютером (в режиме диалога):

PRINT «R1=»; 4TAN(ATN (8.5/4.15)/2); «см»

На экране дисплея высвечивается:

R1 = 3.837707 см

Округлив это значение до десятых долей, окончательно получаем: r1 ≈ 3,84 см.

Таким образом, теперь мы имеем числовые значения всех необходимых элементов. Воспользовавшись формулой из п. 2.2 три раза, вычисляем искомый объем. При составлении программы можно использовать подпрограмму или функцию пользователя, а для введения исходных данных можно обратиться к операторам DATA и READ (см. [31], пп. 4.4, 4.8, 4.9, 5.2.3, 5.2.7, 5.2.8). Приведем два варианта программы:

ПРОГРАММА 8.1:

10 REM BЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА УСЕЧ.-КОН. СОСУДА – 3

20 PRINT «ВВЕДИТЕ R1, R2, R3, R4, H1, H2, H3»

30 INPUT R1, R2, R3, R4, H1, H2, H3

40 H=H1 : X=R1 : Y=R2 : GOSUB 80 : V=W

50 H=H2 : X=R3 : GOSUB 80 : V=V+W

60 H=H3 : Y=R4 : GOSUB 80 : V=V+W

70 PRINT «V=»; V; «куб. см» : GOTO 110

80 REM ПОДПРОГРАММА

90 W=3.14H(X^2+XY+Y^2)/3

100 RETURN

110 END

ПРОГРАММА 8.2:

10 REM BЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА УСЕЧ.-КОН. СОСУДА – 3

20 DEF FNW(H, X,Y)=3.14H(X^2+XY+Y^2)/3

30 DATA H1, R1, R2, H2, R2, R3, H3, R3, R4

40 READ H, X,Y : W1=FNW(H, X,Y)

50 READ H, X,Y : W2=FNW(H, X,Y)

60 READ H, X,Y : W3=FNW(H, X,Y)

70 V=W1+W2+W3

80 PRINT «V=»; V; «куб. см»

90 END

Второй вариант программы короче первого, но при пользовании им необходимо учесть особенности операторов DATA и READ – из строки 30 видно, что числовые значения радиусов r2 и r3 повторяются; кроме того, при решении конкретной задачи эта строка набирается заново, так как для работы этих операторов вместо буквенных обозначений H1, …, R4 мы должны задать конкретные числа.

В первой программе частичные объемы суммируются последовательно. Это дает возможность, если интересно, проследить «накопление» объема, т. е., например, узнать, какой объем жидкости поместится в рассматриваемом сосуде, если наполнить его не доверху, а только по горло (здесь мы имеем в виду уровень радиуса r3) – для этого достаточно в конце строки 50 добавить оператор

PRINT «V0=»; V; «куб. см»;

и это обеспечит вывод двух объемов – частичного (по горло) и полного (по устье). Вторая программа не дает такой возможности с такой же очевидностью, однако при желании ее легко перестроить, организовав постепенное суммирование объема аналогично тому, как это делается в первой программе или, например, добавив в строку 50 оператор

PRINT «V0=»; W1+W2; «куб. см»

Запустив первую программу и введя затем необходимые значения (8) исходных данных:

? 3.84, 7.7, 7, 7.5, 8, 2.5, 2

или вторую программу, предварительно конкретизировав в ней строку 30:

30 DATA 8, 3.84, 7.7, 2.5, 7.7, 7, 2, 7, 7.5

на экране дисплея получаем:

V = 1622.128 куб. см

Записав это значение в стандартном виде и затем округлив его первый множитель до десятых долей единицы (так как все исходные данные получены именно с такой точностью) или сразу, просто округлив его до двух значащих цифр, получаем окончательный ответ:

V ≈ 1,622128 ∙ 103 см3 ≈ 1,6 ∙ 103 см3 = 1600 см3 = 1,6 дм3 = 1,6 л.

Если мы хотим, кроме того, иметь значение частичного объема сосуда (по горлышко), то, добавив в программу соответствующий оператор (см. выше), на экране получим:

V0 =1291.905 куб. см

После округления запишем:

V0 ≈ 1,3 ∙ 103 см3 = 1,3 дм3 = 1,3 л.

2.9. Сложный сосуд - 1. Рассмотрим кувшин рис. 9а, найденный в могильнике Бельбек IV в Юго-Западном Крыму (см. [26], с. 259, рис. 5,9). Он датирован второй половиной I в. н. э. Авторы так описывают его форму (с. 244): «тулово кувшина вытянуто в виде банки, несколько сужаясь книзу, горло – широкое, стенки его прямые. D = 4,6 см; d = 7,8 см; H = 19,5 см».

а б

Рис. 9

Возьмем обыкновенную линейку (не обязательно измерительную, так как сейчас мы измерять ничего не будем) и исследуем с ее помощью профиль внутренней части нашего кувшина, приложив ее край к очертаниям боковой части. Нижняя и верхняя части тулова, две верхние узкие части горла имеют прямолинейные очертания - им соответствуют усеченно-конические части кувшина. Основная часть тулова имеет почти прямолинейный профиль, однако и достаточно непрямолинейный для того, чтобы мы сочли необходимым разбить эту часть тулова, например, на четыре равные по высоте части и каждую из них приближенно заменить усеченно-коническим сосудом. Из рис. 9б видно, что такое приближение достаточно хорошее – если построить отрезки А2А3, А3А4, А4А5,. А5А6, то они почти совпадут с соответствующими частями профиля тулова кувшина. Горло в своей основной части, действительно, прямое, т. е. цилиндрическое, однако его нижняя часть (см. участок профиля А7А8) имеет усеченно-коническую форму. После проведенного исследования делаем вывод, что рассматриваемый кувшин можно представить составленным из одного цилиндра и девяти усеченных конусов.

Использовав линейку п. 2.1, без труда измеряем размеры десяти радиусов и десяти высот:

r1 = 3,4 см; r2 = 5,1 см; r3 = 5,7 см; r4 = 5,9 см; r5 = 5,8 см; r6 = 5,3 см; r7 = 2,5 см; r8 = 1,9 см; r9 = 2,2 см; r10 = 2,0 см; h1 = 1,9 см; h2 = h3 = h4 = h5 = |O2O5|/4 = (9,0/4) см = 2,25 см; h6 = 1,5 см; h7 = 1,6; h8 = 4,0 см; h9 = 0,3 см = 310-1 см; h10 = 0,7 см =710-1 см, (9.1)

откуда видно, что почти все значения (кроме h2, …, h5) получены с абсолютной точностью до десятых долей единицы (исключение составляют значения высот h2=…=h5) и большинство значений получены с относительной точностью до двух значащих цифр, за исключением значений высот h9 и h10, имеющих одну значащую цифру.

Воспользовавшись один раз формулой (1) для вычисления объема цилиндра, девять раз формулой (2.1) для вычисления объема усеченного конуса и сложив полученные результаты, получим искомый объем рассматриваемого кувшина:

V = πhi (r + ri ri +1 + r ) + πrh + πh9(r + r8r9+ r ) +πh10(r + r9 r10 + r

Чтобы вычислить такое громоздкое выражение, целесообразно воспользоваться компьютером. Поступить можно просто - записать это длинное выражение, предварительно подставив вместо букв их числовые выражения. При этом вычисление можно сделать даже в режиме диалога – в одну строчку. Но это не очень интересно. Интереснее поступить аналогично предыдущему пункту 2.8, т. е. использовать подпрограмму или функцию пользователя для вычисления объема усеченного конуса. Кроме того, если учесть, что формула для вычисления объема цилиндра получается из формулы для вычисления объема усеченного конуса при условии равенства его радиусов:

πrh = πh8(r + r8r8+ r ),

то программа будет отличаться от программ п. 2.8 только большим количеством обращений к подпрограмме или к функции пользователя – вместо трех раз – десять! Так, программу с подпрограммой можно получить из Программы 8.1, если в ней заменить первые три строки и добавить строки 61 – 67 следующим образом (Программа 9.1):

10 REM BЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА КУВШИНА

20 PRINT «ВВЕДИТЕ R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9, R10, H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9, H10»

30 INPUT R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9, R10, H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9, H10

61 H=H4 : X=R5 : GOSUB 80 : V=V+W

62 H=H5 : Y=R6 : GOSUB 80 : V=V+W

63 H=H6 : X=R7 : GOSUB 80 : V=V+W

64 H=H7 : Y=R8 : GOSUB 80 : V=V+W

65 H=H8 : X=R8 : GOSUB 80 : V=V+W

66 H=H9 : Y=R9 : GOSUB 80 : V=V+W

67 H=H10 : X=R10 : GOSUB 80 : V=V+W

Запустив программу при значениях (9.1) исходных данных, на экране получаем:

V=1170.861 куб. см

Возникает вопрос: как округлять это значение – ведь точность значений исходных данных, как отмечалось в начале пункта, не одинаковая.

Так как наименьшая относительная точность исходных данных (у h9 и h10) - до одной значащей цифры, то, естественно, округлив значение V до одной значащей цифры или записав это значение в стандартном виде и затем округлив его первый множитель до целых единиц, получаем окончательный ответ:

V ≈ 1,170861 ∙ 103 см3 ≈ 1 ∙ 103 см3 = 1 дм2 = 1 л.

Опыт п. 2.7 показал, что такой подход к округлению вычисленного значения объема сосуда является достаточно неточным, грубым. Для уточнения результата, по аналогии с п. 2.7, выделим в Программе 9.1 вычисление суммы объемов первых восьми слоев, а затем двух последних слоев, для которых значения высот h9 и h10, записанные в (9.1), имеют наименьшую относительную точность, т. е. перепишем строки 65, 66 и 67, в конце которых необходимо добавить печать значений вычисленных объемов, следующим образом:

65 H=H8 : X=R8 : GOSUB 80 : V=V+W : PRINT «V(0-8)=»;V; «куб. см»,

66 H=H9 : Y=R9 : GOSUB 80 : V=V+W : V9=W

67 H=H10 : X=R10 : GOSUB 80 : V=V+W : PRINT «V(9-10)=»;V9+ W; «куб. см»

Запустив новый вариант программы, кроме вышеприведенного объема всего кувшина, получим:

V(0-8)=1157.195 куб. см V(9-10)=13.66633 куб. см

Округлив первое значение до двух значащих цифр, а второе - до одной, приходим к следующему (верные цифры подчеркнуты):

V(0-8) ≈ 00 см3 ; V(9-10) ≈ 0 см3.

Заметим, что оба числа получились, в отличие от примера п. 2.7, с разной абсолютной точностью: первое число - до сотен, а второе – до десятков, поэтому их сумму мы должны взять с точностью до сотен, так как эта точность меньше, чем точность до десятков. Таким образом приходим к результату, более точному, чем полученный ранее:

V ≈ V(1-8) + V(9-10) ≈ 00 см3 + 0 см3 ≈ 00 см3 = 1,2 л.

Интересно, что, как видно из только что проведенных выкладок, объем двух последних слоев настолько мал, что при округлении он не повлиял на объем всего кувшина. Эту ситуацию можно охарактеризовать так – объем двух последних слоев находится за пределом точности объема всего кувшина!

Для данной задачи можно составить другую программу, оформив ввод значений радиусов и высот с помощью массивов (см. [31], пп. 4.3, 4.7, 5.2.6) и с использованием оператора цикла (см. там же, п. 4.7, пример 5 ):

ПРОГРАММА 9.2:

10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА КУВШИНА

20 DIM R(100), H(100)

30 PRINT «ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО СЛОЕВ N»

40 INPUT N

50 F0R K=0 TO N

60 PRINT «ВВЕДИТЕ»; K; «-Й ЭЛЕМЕНТ МАССИВА R»

70 INPUT R(K)

80 NEXT K

90 FOR K=0 TO N-1

100 PRINT «ВВЕДИТЕ»; K; «-Й ЭЛЕМЕНТ МАССИВА H»

110 INPUT H(K)

120 NEXT K

130 V=0 : R0=R(0) : H0 = H(0)

140 FOR I=1 TO N

150 W=3.14H0(R0^2+R0R(I)+R(I)^2)/3

160 V=V+W

170 R0=R(I) : H0=H(I)

180 NEXT I

190 PRINT «V=»; V; «куб. см»

200 END

Предлагаем читателю запустить эту программу для значений (9.1) исходных данных и при этом учесть, что 7-й и 8-й элементы массива R равны r8:

R = {3,4; 5,1; 5,7; 5,9; 5,8; 5,3; 2,5; ; 2.2; 2};

H = {1,9; 2,25; 2,25; 2,25; 2,25; 1,5; 1,6; 4,0; 0,3; 0,7}.

Результат рекомендуем сравнить с полученными ранее. Затем интересно по аналогии с предыдущей программой переработать эту программу с тем, чтобы отделить вычисление двух последних объемов по объясненной выше причине. В отличие от предыдущей программы, здесь переработка более сложная, но и более творческая – можно и организовать еще один цикл, состоящий из двух шагов, можно просто дополнительно два раза записать вычисление объема усеченного конуса по формуле (2.1). Можно при этом, чтобы в программе не фигурировала три раза одна и таже формула, использовать функцию пользователя. Вот сколько возможностей! А результаты должны получиться те же самые!

2.10. Сложный сосуд - 2. Рассмотрим теперь кувшин рис. 10а, найденный в курганном могильнике Первомайский Х на территории Волго-Донского междуречья (см. [27], с. 184, рис. 4,10) и датированный I в. н. э. Названный авторами статьи на с. 174 «сероглиняным круговым сосудом», кувшин имеет сложную форму, однако, после разбиения на тонкие слои, его можно представить состоящим из усеченных конусов и после этого, воспользовавшись методикой п. 2.9, вычислить его объем. При этом целесообразно слои сделать одинаковой высоты (толщины).

Рис. 10

Последовательность работы следующая:

1)  По масштабу рис. 10а конструируем линейку (рис. 10в);

2)  Измерив этой линейкой высоту кувшина (30,0 см), принимаем решение разделить кувшин на слои толщиной 2,0 см. Таким образом, получаем 15 усеченных конусов (см. рис. 10б). Измерив соответствующие радиусы, составляем массив

R = {4,0; 7,0; 9,0; 10,7; 11,9; 12,4; 12,0; 10,7; 7,8; 5,8; 5,0; 4,9; 4,9; 5,2; 6,0; 7,8},

состоящий из 16 значений радиусов. При таких условиях программа 9.2 преобразуется в следующую:

ПРОГРАММА 10:

10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА СЛОЖНОГО СОСУДА

20 DIM R(100)

30 PRINT «ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО СЛОЕВ N И ТОЛЩИНУ СЛОЯ H0»

40 INPUT N, H0

50 F0R K=0 TO N

60 PRINT «ВВЕДИТЕ»; K; «-Й ЭЛЕМЕНТ МАССИВА R»

70 INPUT R(K)

80 NEXT K

90 V=0 : R0=R(0)

100 FOR I=1 TO N

110 W=3.14H0(R0^2+R0R(I)+R(I)^2)/3

120 V=V+W

130 R0=R(I)

140 NEXT I

150 PRINT «V=»; V; «куб. см»

160 END

Запустив эту программу и введя значение N=15 и массив R, на экране дисплея получаем:

V=6664.545 куб. см

Округлив это значение до двух значащих цифр или записав его в стандартном виде и затем округлив его первый множитель до десятых долей (так как все исходные данные получены именно с такой точностью), получаем окончательный ответ:

V ≈ 6,664545 ∙ 103 см ≈ 6,7 ∙ 103 см3 =6,7 дм3 = 6,7 л.

3. Завершая решение задач по вычислению объемов различных сосудов, найденных при раскопках, сделаем некоторые выводы.

3.1. Приведенные примеры достаточно разнообразны и достаточно широко представляют предлагаемую методику, т. е. изучив настоящий материал, можно практически, пусть приближенно, на достаточно достоверно, вычислить объем любого сосуда из использованной литературы [25] – [27] - их там, не считая уже изученные сосуды, порядка 75 – от цилиндрических курительниц до сложнейших кувшинов, часто называемых авторами «грушевидными сосудами»! А ведь эти статьи – не единственная литература на эту тему.

3.2. Эту работу можно продолжить, например, в направлении «теоретического» уточнения значений некоторых параметров, особенно это относится к радиусу дна – вспомним, почему и как это делалось в п.2.8. Правда, такую процедуру можно проделать, если толщина дна и толщина стенки сосуда одинаковые. В противном же случае, как например, в п. 2.2, где измерения показывают, что толщина дна чаши n = 0,6 см, а толщина стенки m = 0,4 см, уточнение сведется к несколько более сложной геометрической задаче (см. рис. 11, на котором выделена необходимая часть рис. 2 и сделаны дополнительные построения) – в отличие от рис. 8г, отрезки OE и OF уже не будут равны. Тогда, решая прямоугольные треугольники ОЕВ и OFB, получаем (обозначим угол EOB через β):

|OB| = , откуда tg β = .

Следовательно,

|EB| = ntg β = .

Рис. 11 Рис. 12

Измерения на рис. 2 дают для рис. 11:

|AB| = 2,2 см, tg α = , откуда α.= arctg.

Так как r11 = |AB| - |EB|, то с помощью компьютера можем вычислить |EB|, как и в п. 2.8, в режиме диалога:

PRINT «R11=»; 2.2 – (0.4 – 0.6COS(ATN(3.3/1.3)))/SIN(ATN(3.3/1.3)); «см»

Таким образом получаем:

R11 = 2.006445 см

т. е. r11 ≈ 2 см = r1. Значит, простое «приближенное» измерение было сделано нами достаточно точно – наш натренированный глазомер не подвел.

3.3. В направлении уточнения объемов сосудов тоже можно еще кое-что сделать. Так, например, в примере п. 2.1 вблизи дна блюдо не очень похоже на цилиндр, да и на шаровой слой тоже (см. рис. 1а).