Сделаем приближение четырьмя усеченными конусами (по методике п. 2.9), выделив сначала верхний (почти цилиндр) конус с высотой 2,5 см и разбив нижнюю часть на три равные части с высотами (4,0 – 2,5)/3 = 1,5/3 = 0,50 (см) (см. рис. 12). Последнее число имеет относительную точность до двух значащих цифр, так как получено, как видно из приведенных выкладок, из выражения, элементы которого либо числа, имеющие две значащие цифры (4,0 и 2,5), либо точное число (3). В соответствии с этим, измерив соответствующие радиусы, имеем:

r1 = 8,5 см; r2 = 11,7 см; r3 = 12,3 см; r4 = 12,5 см; r5 = 12,6 см; h1 = h2 = h3 = 0,50 см;

h4 = 2,5 см. (3.3.1)

Воспользовавшись аналогией с п. 2.8 или п. 2.9 и составив соответствующую программу, в лучшем случае просто воспользовавшись Программой 9.2 с N = 4 и массивами

R = {8,5; 11,7; 12,3; 12,5; 12,6} и H = {0,5; 0,5; 0,5; 2,5} (3.3.2)

получаем:

V1 = 1866.383 куб. см

Округлив это значение до двух значащих цифр или записав его в стандартном виде, а затем округлив его первый множитель до десятых долей единицы (так как именно такова точность у всех исходных данных), получаем окончательный ответ:

V ≈ 1,866383 ∙ 103 см3 ≈ 1,9 ∙ 103 см3 = 1,9 дм3 = 1,9 л.

Сравним это значение с вычисленным в п. 2.1, оценив разницу с помощью абсолютной и относительной погрешностей (последнее значение объема возьмем за более точное, т. е. приближенно за истинное его значение):

= |V1 – V| = 2 – 1,9 = 0,1 (л);

= = ≈ 0,053 ≈ 5 %.

Таким образом, здесь, благодаря приближениям с помощью конусов, мы получили значение объема чаши рис. 1а, более точное цилиндрического приближения, описанного в п. 2.1, на 5%.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

А теперь зададим себе вопрос: существенна ли эта разница? Для ответа на этот вопрос вычислим относительную погрешность измерения. Сделаем это следующим образом: абсолютная погрешность наших измерений равна 0,1 см, а полученные в результате измерения значения элементов рассматриваемого блюда (радиусов и высот), которые мы примем за истинные, заключены в интервале между 2,5 см и 12,6 см. Поэтому относительная погрешность измерения для цилиндрического приближения - - заключается между числами 0,1/12,6 и 0,1/4, а относительная погрешность измерения для приближения усеченными конусами - - между числами 0,1/12,6 и 0,1/2,5, т. е.

0,8 < < 2,4 %,0,8 % < < 4 %.

Сравнив эти интервалы с полученным ранее значением относительной погрешности вычисленного значения объема (5 %), заключаем, что последняя больше относительной погрешности измерения. Следовательно, приближение рассматриваемого блюда цилиндром – недостаточно точное, и мы должны отдать предпочтение приближению усеченными конусами.

3.4. Остановимся на многочисленном классе «грушевидных» сосудов, ярким представителем которых является кувшин п. 2.10 (см. рис. 10а). Их чисто внешней особенностью является сходство с грушей. Поскольку характерной особенностью таких сосудов является то, что профиль их боковой части представляет из себя плавную, сугубо кривую линию, возникает желание попытаться сделать приближение рассматриваемой формы не только усеченными конусами, как это делалось в п. 2.10, но и в общем виде, рассмотрев профиль не как ломаную, состоящую из отрезков прямой, а как линию, состоящую из криволинейных отрезков, например, парабол.

3.4.1. Конкретно это можно осуществить и использовать для более точного вычисления объема кувшина следующим образом: сделаем дополнительные построения на рис. 10б (см. рис. 13): введем ось x, приняв за нее ось вращения кувшина и направив ее вверх, а затем – ось y, направив ее по профилю дна кувшина вправо. Пусть y = f(x) – уравнение линии профиля боковой части АВ в построенной системе координат. Известно (см. [29], с. 256), что объем тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции ОАВО1 вокруг оси x, выражается формулой

V = (3.4.1)

3.4.2. Так как для нашего случая функция f(x) неизвестна, мы вынуждены взять для нее приближенное выражение. В п. 2.10 в качестве этой функции мы брали кусочно-линейную функцию с графиком АА1…А14В (проверьте это утверждение самостоятельно).

Наш опыт показал, что в таких случаях квадратичное приближение дает достаточно хорошие результаты. Действительно, парабола

y = ax2+ bx + c (3.4.2)

определяется своими тремя точками (xн; yн), (xс; yс), (xк; yк), где индексы у координат означают следующее: н – начальные, с – средние, к – конечные, поэтому естественно положить, что

xн < xс < xк. (3.4.3)

Для определения числовых значений коэффициентов a, b, c функции (3.4.2) мы можем поступить следующим образом: составив соответствующую систему трех уравнений с тремя неизвестными a, b, c:

(3.4.4)

и решив ее, получаем:

a = Da/D; b = Db/D; c = Dc/D, (3.4.5)

где

D = xнxс(xн – xс) + xсxк(xс – xк) + xнxк(xн – xк),

Da = yн(xс – xк) + yс(xк – xн) + yк (xн – xс),

Db = x (yс – yк) + x ( yк– yн) + x ( yн – yс),

Dc = x (xсyк – xкyс) + x (xкyн– xнyк) + x (xнyс – xсyн).

Получив таким образом конкретный вид функции (3.4.2), подставляем ее в (3.4.1):

V(1-3)= =

. (3.4.6)

Рис. 13

3.4.3. Приступая к решению конкретной задачи, мы можем определить вид квадратичной функции для любых трех подходящих (правдоподобных) точек из массива {А, А1, …, А14, В}. Подходящими точками мы будем считать такие точки, которые определяют участок данной линии, похожий на параболу. Так, точки А1, А4, А7 можно считать подходящими, так как участок А1А7 похож на параболу. Однако участок А6А9 не похож на параболу, поэтому, какую бы точку между концами этого участка мы ни взяли в качестве третьей, полученная тройка точек не будет подходящей.

Далее, взять необходимые три точки мы можем подряд или нет. Поэтому появляется два варианта действий:

Вариант 1. Возьмем какой-то участок кривой АВ, который, по нашему мнению, можно предположить принадлежащим графику одной и той же параболы. Внимательно посмотрев на кривую АВ, попробуем взять участок АА7 и выбрать внутри него одну точку, например, А4, а затем по трем точкам А(0; 4,0), А4(8,0; 11,9), А7(14,0; 10,7) рассчитать параболу (3.4.2), т. е. вычислить значения коэффициентов a, b, c по координатам этих точек по приведенной выше методике, решив систему уравнений (3.4.4) при соответствующих значениях: xн = 0; yн = 4,0; xс = 8,0; yс = 11,9; xк = 14,0; yк = 10,7. Таким образом мы получим уравнение параболы, проходящей через точки А, А4, А7.

Затем в полученное выражение (3.4.2) подставляем абсциссы промежуточных точек, т. е. точек А1, А2, А3, А5, А6 и сравниваем полученные значения функции с соответствующими значениями ординат этих точек. Если они совпадают, то это означает, что участок АА7 кривой АВ действительно описывается только что выведенным уравнением. Придя к такому результату, можем вычислить квадратичное приближение объема части сосуда, образованного вращением участка АА7, воспользовавшись формулой (3.4.6) и взяв пределы интегрирования от 0 до 14,0. Если же полученные значения функции не совпадут с соответствующими ординатами точек, то мы будем вынуждены сделать вывод о том, что составленное нами уравнение не описывает линию профиля на рассматриваемом участке. Выход из создавшейся ситуации может дать рассмотрение более короткого участка линии АВ. Более того, можно пойти по второму варианту действий:

Вариант 2. Возьмем три точки подряд, начиная с точки А, т. е. точки А, А1, А2, и проделаем с ними все, что делали в варианте 1. Таким образом можно вычислить приближенный объем первых двух слоев. Затем рассматривается тройка точек А1, А2, А3 и теперь для нее проделывается то же самое, только вычисляется объем третьего слоя и т. д. В конце концов, выполнив аналогичные действия с точками А13, А14, В, получим объемы всех слоев. Просуммировав их, получим объем всего кувшина.

3.4.4. Из проведенных выкладок видно, что при решении рассматриваемой задачи требуется провести достаточно много трудоемких вычислений, поэтому целесообразно обратиться к компьютеру. Решение задачи, описанное в варианте 1, - нахождение уравнения параболы, проходящей через три точки, можно выполнить с помощью следующей программы:

ПРОГРАММА 11.1:

10 REM ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛЫ

20 PRINT ВВЕДИТЕ КООРДИНАТЫ ТОЧЕК (XН;YН), (XС;YС), (XК;YК)

30 INPUT XН, YН, XС, YС, XК, YК

40 D=XНXС(XН-XС)+XСXК(XС-XК)+XНXК(XК-XН)

50 DA=YН(XС-XН)+YС(XК-XН)+YК(XН-XС)

60 DB=XН^2(YС-YК)+XС^2(YК-YН)+XК^2(YН-YС)

70 DC=XН^2(XСYК-XКYС)+XС^2(XКYН-XНYК)+XК^2(XНYС-XСYН)

80 A=DA/D:B=DB/D:C=DC/D

90 PRINT «А=»;А; «В=»;В; «С=»;С

100 END

3.4.5. Для вычисления значений функции при значениях абсцисс x промежуточных точек линии АА7 – в данном случае при

x {2,0; 4,0; 6,0; 10,0; 12,0} (3.4.7)

и сравнения полученных значений с соответствующими ординатами

y {7,0; 9,0; 10,7; 12,4; 12,0} (3.4.8)

этих точек в программу необходимо вставить следующие строки (после чего получим программу 11.2):

91 PRINT «ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ТОЧЕК М»

92 INPUT M

93 DIM X(20),Y(20)

94 FOR K=1 TO M

95 PRINT «ВВЕДИТЕ»; K; «-Е ЭЛЕМЕНТЫ МАССИВОВ X, Y»

96 INPUT X(K),Y(K)

97 Y=AX(K)^2+BX(K)+C: АР=ABS(Y-Y(K)):OP=AP/Y(K)

98 PRINT «X=»;X(K);«см»; «Y=»;Y;«см»; «Y-Y(»; K; «)=»; Y-Y(K);«см», «AP=»;AP; «OP=»;OP; «=»;OP100; «%»

99 NEXT K

Здесь сравнение производится с помощью вычисления разности, абсолютной погрешности AP и относительной погрешности OP.

Запустив составленную программу и введя значения координат точек А, А4 и А7, получаем уравнение y = -0,0848143x2 + 1,666071x + 4, после подстановки в которое значений абсцисс x из массива (3.4.7) приходим к выводу о том, что все вычисленные значения y отличаются от соответствующих ординат из массива (3.4.8):

? 2,7

X=2 Y=6.992885 Y-Y(1)= -7.114887E-03 AP=7.114887E-03 OP=.1016413 %

? 4,9

X=4 Y=9.307256 Y-Y(2)=.3072557 AP=.3072557 OP=3.413953 %

? 6,10.7

X=6 Y=10.94311 Y-Y(3)=.2431116 AP=.2431116 OP=2.272071 %

? 10,12.4

X=10 Y=12.17928 Y-Y(4)= -.2207193 AP=.2207193 OP=1.779995 %

? 12,12

X=12 Y=11.77959 Y-Y(5)= -.2204065 AP=.2204065 OP=1.836721 %

При этом различия достаточно большие: абсолютная погрешность этих значений доходит до 0,3 см (для точки А2), что превышает абсолютную погрешность измерения, равную в наших примерах 0,1 см (максимум 0,2 см). Таким образом, наше предположение о том, что точки А, А1, …, А7 лежат на одной параболе, неверно, даже приближенно.

Далее мы можем рассмотреть более короткий участок линии АВ, например, АА4, и выделить на нем точки А, А2, А4. Квадратное уравнение, составленное по этим точкам имеет вид y = - 0,x2 + 1,5125x +4, а абсолютная погрешность вычисленных по этой формуле значений ординат промежуточных точек А1 и А3 составляет порядка 0,24 см (для точки А1), что превосходит абсолютную погрешность измерения. Что касается относительной погрешности полученного значения y при x = 2,0 см, то ее значение (3,4 %) еще более «грубое», т. е. значительно превосходит относительную погрешность измерения ординаты точки А1 (равной 0,1/7,0 = 1,4 %). Следовательно, опять неудача.

3.4.6. Придется воспользоваться вторым вариантом. Для него составим следующую программу:

ПРОГРАММА 11.3:

10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА СОСУДА С КВ. ПРИБЛИЖЕНИЕМ

20 DIM X(100), Y(100)

30 PRINT «ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО CЛОЕВ N»

40 INPUT N

45 REM ВВЕДЕНИЕ МАССИВОВ X, Y

50 F0R K=0 TO N

60 PRINT «ВВЕДИТЕ»; K; «-Е ЭЛЕМЕНТЫ МАССИВОВ X, Y»

70 INPUT X(K),Y(K)

80 NEXT K

85 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФ. А, В,С ДЛЯ КВ. ПРИБЛ. ПО ТОЧКАМ 0–1-2

90 XH=X(0):YH=Y(0):XC=X(1):YC=Y(1):XK=X(2):YK=Y(2)

100 GOSUB 220:PRINT «I=0»; «XH=»;XH; «XC=»;XC; «XK=»;XK; «A=»;A; «B=»;B; «С=»;C

105 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММЫ ОБЪЕМОВ 1 - 2 СЛОЕВ

110 GOSUB 290:PRINT «V(0–2) =»;W; «куб. см.»

120 V=W

124 PRINT

125 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ 3 - N СЛОЕВ И ОБЪЕМА СОСУДА

130 FOR I=1 TO N-2

135 REM ВЫЧ. КОЭФ. А, В,С ДЛЯ КВ. ПРИБЛ. ПО ТОЧКАМ I-(I+1)-(I+2)

140 XH=X(I):YH=Y(I):XC=X(I+1):YC=Y(I+1):XK=X(I+2):YK=Y(I+2)

150 GOSUB 220:PRINT «I=»;I; «XH=»;XH; «XC=»;XC; «XK=»;XK; «A=»;A; «B=»;B; «С=»;C

155 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА (I+2)-ГО СЛОЯ

160 XH=XC:YH=YC

170 GOSUB 290:PRINT «V(»;I+1;«-»;I+2;«)=»;W; «куб. см»

175 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММЫ ОБЪЕМОВ 1 - (I+2) СЛОЕВ

180 V=V+W:PRINT «V(0 -»;I+2;«)=»;V; «куб. см»

184 PRINT

190 NEXT I

200 PRINT «ОБЪЕМ СОСУДА V(0-»;N; «)=»;V; «куб. см»

210 GOTO 330

220 REM ПОДПРОГРАММА ВЫЧ. КОЭФ. A, B, C ДЛЯ КВ. ПРИБЛ.

230 D=XHXC(XH-XC)+XCXK(XC-XK)+XHXK(XK-XH)

240 DA=YH(XC-XK)+YC(XK-XH)+YK(XH-XC)

250 DB=XH^2(YC-YK)+XC^2(YK-YH)+XK^2(YH-YC)

260 DC=XH^2(XCYK-XKYC)+XC^2(XKYH-XHYK)+XK^2(XHYC-XCYH)

270 A=DA/D:B=DB/D:C=DC/D

280 RETURN

290 REM ПОДПРОГРАММА ВЫЧ. ЭЛЕМЕНТАРНОГО ОБЪЕМА

300 DEF FNP(X)=X(A^2X^4/5+ABX^3/2+(B^2+2AC)X^2/3+BCX+ C^2)

310 W=3.14(FNP(XK)-FNP(XH))

320 RETURN

330 END

Поскольку программа достаточно длинная и сложная, в нее введены специальные строки с подзаголовками (их номера оканчиваются на 5) – это строки 45, 85, 105, 125, 135, 155, 175. Кроме того, для удобства считывания результатов с экрана дисплея расчет объемов первых двух слоев и всех последующих слоев друг от друга отделяется пустой строкой (их номера оканчиваются на 4) – это строки 124 и 184.

Запустив эту программу и введя массивы X и Y в соответствии со строками 45 – 80, получаем:

ОБЪЕМ СОСУДА=V(0-15)=6705.776 куб. см

Округлив это значение до двух значащих цифр, приходим к окончательному ответу:

V ≈ 6700 см3 = 6,7 дм2 = 6,7 л,

который совпадает с ответом, полученным в п. 2.10, где при вычислении объема кувшина мы использовали приближение конусами. Значит, разработанное нами в п. 2.10 приближение конусами – достаточно точное.

3.4.7. Предложенную здесь методику приближений можно использовать для вычисления объемов и других сосудов, например, чаши п. 2.1. В п. 2.1 при вычислении объема этой чаши мы применили приближение цилиндром, а в п. 3.3 - конусами. Воспользовавшись дополнительными построениями п. 3.3 (см. рис. 12) и результатами соответствующих измерений и запустив для них Программу 11.3, на экране дисплея получим:

ОБЪЕМ СОСУДА=V(0-4)=1907.693 куб. см

Округлив это значение до двух значащих цифр, приходим к выводу:

V(0-4) ≈ 1900 см3 ≈ 1,9 дм3 = 1,9 л,

что совпадает с ответом, полученным в п. 3.3. Значит, как и в предыдущем примере, приближения конусами были разработаны нами достаточно хорошо, а именно, достаточно удачно нами было сделано разбиение рассматриваемых форм на слои (в первом примере слои достаточно тонкие, во втором – достаточно тонкие там, где профиль чаши имеет наибольшую кривизну).

3.4.8. Для того чтобы убедиться в том, что точность приближения зависит от разбиения, предлагаем читателю выполнить приближение кувшина рис. 10 конусами несколько иначе, взяв за опорные точки его профиля, например, точки А, А2, А4, А6, А8, А10, А12, В ( их более чем в два раза меньше, чем раньше), и затем воспользовавшись Программой 9.2. В результате придете к:

V = 6583.596 куб. см

После соответствующего округления получаем: V ≈ 6,6 л, что не совпадает с полученным ранее результатом и дает относительную погрешность

= ≈ 1,5 %,

что не существенно, поскольку не превышает максимальную относительную погрешность получения исходных данных - измерения исходных элементов – радиусов и высот, значение которой не превышает 2,5 % (действительно, ведь она не больше, чем 0,1/4,0 = 0,025 = 2,5 %).

Для интереса проделайте вычисления с выбранными здесь опорными точками с помощью Программы 11.3 и Вы не пожалеете, так как получите:

V = 6704.306 куб. см

что после округления превращается в V ≈ 6,7 л, т. е. не отличается от результата ранее проведенного приближения, когда мы использовали гораздо больше опорных точек. Таким образом, можно сделать вывод о том, что квадратичное приближение более надежное, нежели приближение конусами.

3.4.9. Теперь интересно, воспользовавшись методикой квадратичного приближения, вернуться к задаче п. 2.1, рассмотрев разбиение формы блюда рис. 1, предложенное в п. 3.3. Запустив Программу 11.3 и введя массивы (3.3.2), на экране дисплея получаем:

ОБЪЕМ СОСУДА=V(0-4)=1907.693 куб. см

После округления до двух значащих цифр приходим к тому, что V ≈ 1,9 л, а этот результат совпадает с полученным в п. 3.3, где использовалось приближение усеченными конусами. Таким образом, для задачи п. 2.1 при разбиении п. 3.3 квадратичное приближение и приближение усеченными конусами дают одинаковые результаты. Какой можно сделать вывод из этого? Только такой, что разбиение п. 3.3 оказалось достаточно хорошим для приближения усеченными конусами.

3.5. Важность качества разбиения нельзя умалять, поскольку часто именно оно имеет решающее значение. Чтобы убедиться в этом, в задаче п 2.1 возьмем другое разбиение, выбрав в качестве внутренних опорных точек не три точки, как мы это делали в п. 3.3, а одну - точку B. Тогда форма блюда разбивается не на четыре слоя, а на два. Воспользовавшись приближением усеченными конусами, т. е. методикой п. 2.4 и Программой 2 (см. п. 2.2), придем к результату:

V1 = 525.5575 куб. см V2 = 1236.401 куб. см

Следовательно, V = 1761,9585 см3 ≈ 1,8 л, что уже не совпадает с результатом, полученным здесь и в п. 3.3, и тем более, с результатом п. 2.1.

3.5.1. А теперь для последнего разбиения вычислим искомый объем с помощью квадратичного приближения. Для этого конкретного случая достаточно воспользоваться Программой 11.1, добавив в нее две строки:

93 DEF FNP(X)=X(A^2X^4/5+ABX^3/2+(B^2+2AC)X^2/3+BCX+C^2)

96 PRINT «V=»;3.14(FNP(XK)-FNP(XH))

и введя соответствующие значения исходных данных:

XH = 0, YH = 8.5, XC = 1.5, YC = 12.5, XK = 4, YK = 12.6.

На экране дисплея увидим следующий результат:

V = 1925.843 куб. см

После округления получаем результат первого квадратичного приближения.

Таким образом, изменение разбиения на результате квадратичного приближения, точнее, на числовом значении объема рассматриваемого блюда, в противоположность приближению конусами, не отразилось. А это подтверждает то, что квадратичное приближение, если оно возможно, – самое точное из всех рассматриваемых нами в настоящем исследовании.

Предлагаем читателю аналогично исследовать и другие примеры из настоящей работы, сравнивая результаты различных приближений при различных разбиениях.

3.5.2. Для того чтобы иметь возможность сравнения приближений (квадратичного и усеченными конусами) при одном и том же разбиении, внесем некоторые изменения в Программу 11.3 (отделим вычисление объема первого слоя от вычисления объема второго слоя) и добавим в нее несколько строк, в которых параллельно объемам слоев, образованных вращением квадратичных трапеций, будут вычисляться и выдаваться на экран дисплея объемы соответствующих приближающих конусов (новый вариант назовем Программой 11.4):

103 REM ВЫЧ. ОБЪЕМА 1-ГО СЛОЯ

104 XK=XC:YK=YC

105 GOSUB 290:V=W:PRINT «V(0-1)=»;W;«куб. см»;

106 VK=WK:PRINT «VK(0-1)=»;WK;«куб. см»;

107 AP=ABS(W-WK):OP=AP/W100:PRINT «AP=»;AP;«куб. см»;«OP=»;OP;«%»

108 REM ВЫЧ. ОБЪЕМА 2-ГО СЛОЯ

109 XH=XC:YH=YC:XK=X(2):YK=Y(2)

110 GOSUB 290:PRINT «V(1-2)=»;W;«куб. см»;

112 PRINT «VK(1-2)=»;WK;«куб. см»;

113 AP=ABS(W-WK):OP=AP/W100:PRINT «AP=»;AP;«куб. см»;«OP=»;OP;«%»

115 REM ВЫЧ. СУММЫ ОБЪЕМОВ 1-2 СЛОЕВ

120 V=V+W:PRINT «V(0-2)=»;V; «куб. см»;

122 VK=VK+WK:PRINT «VK(0-2)=»;VK;«куб. см»;

123 AP=ABS(V-VK):OP=AP/V100:PRINT «AP=»;AP;«куб. см»;«OP=»;OP;«%»

172 PRINT «VK(»;I+1;«-»;I+2;«)=»;WK;«куб. см»;

173 AP=ABS(W-WK):OP=AP/W100:PRINT «AP=»;AP;«куб. см»;«OP=»;OP;«%»

182 VK=VK+WK:PRINT «VK(0 - »;I+2;«)=»;VK;«куб. см»;

183 AP=ABS(V-VK):OP=AP/V100:PRINT «AP=»;AP;«куб. см»;«OP=»;OP;«%»

202 PRINT «ОБЪЕМ СОСУДА VK=»;VK; «куб. см»

203 AP=ABS(V-VK):OP=AP/V100:PRINT «AP=»;AP;«куб. см»;«OP=»;OP;«%»

312 WК=3.14(XK - XH)(YK^2 + YKYH + YH^2)/3

Здесь строки 103, 108 и 115 введены специально для удобства чтения результатов - для отделения этапов вычислений объемов отдельных слоев, а затем их суммы друг от друга. Строки 107, 123, 173, 183, 203 введены для отслеживания степени приближения по абсолютной и относительной погрешностям. Это может существенно помочь для уточнения разбиения, для выбора оптимального разбиения. Кроме того, с целью компактности записи добавим точку с запятой в конце каждой из строк 110, 170, 180 и 200, предваряющих вновь введенные строки с выводом объемов конусов и значений соответствующих погрешностей.

В результате, запустив новую Программу 11.4 для кувшина рис. 10 с разбиением п. 3.4.8 и введя исходные данные: количество слоев N = 7 и массивы

X = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 30},

Y = {4; 9; 11,9; 12; 7,8; 5; 4,9; 7,8},

на экране дисплея получим табл. 1:

Таблица 1

I=0 XH=0 XC=4 XK=8 A= -6.562501E-02 B=1.5125 C=4

V(0-1)=585.8623 куб. см VK(0-1)=556.8267 куб. см AP=29.03564 куб. см OP=4.956053 %

V(1-2)=1426.786 куб. см VK(1-2)=1380.386 куб. см AP=46.39978 куб. см OP=3.25205 %

V(0-2)=2012.648 куб. см VK(0-2)=1937.213 куб. см AP=75.43542 куб. см OP=3.748069 %

I=1 XH=4 XC=8 XK=12 A= -8.749998у-02 B=1.775 C= 3.300001

V(2-3)=1864.473 куб. см VK(2-3)=1793.61 куб. см AP=70.86328 куб. см OP=3.800714 %

V(0-3)=3877.121 куб. см VK(0-3)=3730.822 куб. см AP=146.2988 куб. см OP=3.773388 %

I=2 XH=8 XC=12 XK=16 A= -.134375 B=2.7125 C= -1.200002

V(3-4)=1340.517 куб. см VK(3-4)=1249.469 куб. см AP=91.04822 куб. см OP=6.792022 %

V(0-4)=5217.638 куб. см VK(0-4)=4980.291 куб. см AP=237.3472 куб. см OP=4.548939 %

I=3 XH=12 XC=16 XK=20 A=4.374999E-02 B= -2.275 C=33

V(4-5)=504.1126 куб. см VK(4-5)=522.6635 куб. см AP=18.5509 куб. см OP=3.679913 %

V(0-5)=5721.751 куб. см VK(0-5)=5502.955 куб. см AP=218.7964 куб. см OP=3.823941 %

I=4 XH=16 XC=20 XK=24 A=8.437501E-02 B= -3.7375 C=46

V(5-6)=280.5486 куб. см VK(5-6)=307.7619 куб. см AP=27.21329 куб. см OP=9.700027 %

V(0-6)=6002.3 куб. см VK(0-6)=5810.716 куб. см AP=191.5835 куб. см OP=3.191835 %

I=5 XH=20 XC=24 XK=30 A=5.083333E-02 B= -2.261667 C=29.9

V(6-7)=702.0062 куб. см VK(6-7)=772.8796 куб. см AP=70.87341 куб. см OP=10.09584 %

V(0-7)=6704.306 куб. см VK(0-7)=6583.596 куб. см AP=120.7104 куб. см OP=1.800491 %

ОБЪЕМ СОСУДА V(0-8)=6704.306 куб. см VK(0-8)=6583.596 куб. см

Сравнение двух полученных значений объема кувшина мы провели подробно в п.3.4.8. Исследуем теперь сам процесс приведенного в табл. 1 послойного вычисления. Мы видим, что, как абсолютная погрешность AP, так и относительная погрешность OP, для отдельных слоев больше, чем окончательная. Почему? Если Вы еще не догадались, обратите внимание на то, что cначала (по I=2) V > VK, а потом для всех остальных слоев V < VK, из чего мы можем сделать вывод о том, что при общем суммировании объемов всех слоев происходит взаимная компенсация. Чтобы ответить на поставленный вопрос, вернемся к рис. 10б, переведем его на кальку и сделаем приближение профиля кувшина ломаными линиями (что соответствует приближению конусами). После этого увидим, что, так как в начале (считая от дна кувшина) кривая АВ профиля выпуклая, а в конце – вогнутая, то первые приближающие отрезки (АА2, А2А4, А4А6, А6А8) «находятся «внутри» кувшина, а последние (А8А10, А10А12, А12В) – «вне» него. Точка перегиба по счастливой случайности практически совпала с точкой А8.

3.5.3. Теперь можно сказать, что с предыдущим примером нам повезло – новое выбор более «редкого» разбиения не отразился на значении объема, по крайней мере, полученного с помощью квадратичного приближения. Однако надо помнить, что не всегда так получается. Чтобы убедиться в этом, достаточно еще раз уменьшить количество опорных точек, например, взять в качестве опорных точки А, А5, А9, А12, В – всего пять точек, которые определяют разбиение кувшина всего на четыре слоя.

Пересняв на кальку рисунок 10б и сделав соответствующие построения, видим, что приближение конусами в этом случае значительно более «грубое» по сравнению с предыдущим и, тем более, с первоначальным приближением. Что касается квадратичного приближения, то здесь мы совсем не можем сказать ничего определенного, так как построить соответствующие участки парабол-приближений – дело сложное и трудоемкое, тем более что наверняка эти приближения будут не очень точными – вспомним хотя бы наши не очень-то удачные попытки в этом направлении, описанные в п. 3.4.5. Чтобы все-таки оценить приближения объемов с помощью рассматриваемого разбиения, опять обратимся к Программе 11.4. Запустив ее для данного случая, получаем табл. 2:

Таблица 2

I=0 XH=0 XC=10 XH=18 A= -.09 B=1.72 C=4

V(0-1)=3083.898 куб. см VK(0-1)=2236.099 куб. см AP=847.7998 куб. см OP=27.49117 %

V(1-2)=2582.317 куб. см VK(1-2)=2120.463 куб. см AP=461.8542 куб. см OP=17.88527 %

V(0-2)=5666.216 куб. см VK(0-2)=4356.562 куб. см AP=1309.654 куб. см OP=23.11339 %

I=1 XH=10 XC=18 XK=24 A=4.642857E-02 B= -2.1 C=28.55714

V(2-3)=486.1174 куб. см VK(2-3)=540.5197 куб. см AP=54.40225 куб. см OP=11.19118 %

V(0-3)=6152.333 куб. см VK(0-3)=4897.081 куб. см AP=1255.252 куб. см OP=20.40286 %

I=2 XH=18 XC=24 XK=30 A=5.277778E-02 B= -2.366667 C=31.3

V(3-4)=699.3783 куб. см VK(3-4)=772.8796 куб. см AP=73.50134 куб. см OP=10.50953 %

V(0-4)=6851.711 куб. см VK(0-4)=5669.961 куб. см AP=1181.75 куб. см OP=17.24752 %

ОБЪЕМ СОСУДА V(0-4)=6851.711 куб. см

ОБЪЕМ СОСУДА VK(0-4)=5669.961 куб. см

Исследовав эту таблицу аналогично тому, как мы делали это с табл. 1, отмечаем те же особенности обоих приближений. Далее, округлив полученные значения объемов:

V(0-4) ≈ 6900 см3 = 6,9 л, VK(0-4) ≈ 5700 см3 = 5,7 л,

и сравнив их с ранее полученными, убеждаемся в том, что последнее разбиение неудачное, поскольку его результаты значительно отличаются от них. Найдем относительные погрешности этих значений, взяв за истинное значение наиболее точное ранее найденное приближенное значение 6,7 л:

Отсюда видно, что квадратичное приближение имеет вполне приемлемую относительную погрешность, всего на полпроцента отличающуюся от наибольшей относительной погрешности измерения (см. п. 3.4.8). Однако приближение усеченными конусами имеет совершенно неподходящую относительную погрешность, в несколько раз превышающую погрешность измерения исходных данных (в 6 раз). Опять квадратичное приближение оказалось «лучше» приближения конусами.

3.5.4. Возникает вопрос, спровоцированный выше сделанным замечанием: всегда ли, для любой ли формы сосуда возможно квадратичное приближение? Для ответа на этот вопрос выйдем из области археологии или гончарного дела (назовите, как хотите, а скорее, и так, и так) в «чистую» математику и, находясь уже среди абстрактных объктов – точек, прямых, кривых осей, координат, функций и, возможно, т. п., пересформулируем наш вопрос на сугубо абстрактном математическом языке:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4